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RACINES CARREESEmilien Suquet, suquet@automaths.comI Définitions, calcul avec les radicaux La racine carrée d’un nombre positifbest le seulnombre positifddont le carré est égal àb. 2 On a doncd=bet on noted=b2 Par définition, on a donc avecb0,b0 et(b) =b24 2 Ex :9 = 3 (car 3= 9) ;0 = 0 ;1 = 1 ;16 = 4 ;25 = 5 ;= 9 3 Remarque : les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée A partir de la définition, nous allons obtenir les trois règles suivantes : 2 Sibest un nombre positif, alorsb=b-bn’est pas forcement un 2 Sibest un nombre négatif, alorsb= -b nombre négatif. -bdésigne l’opposé deb. Démonstration : 2 22 Par définition on a :b=dad≥ 0 etd=b2 2 Commed=b, on a alorsd=boud= -b(voir cours sur les équations) er 2 1 cas: si b est positif, alors on prendd=bcarddoit être positif. On a doncb=bème 2 2 cas: si b est négatif, alors on prendd= -bcarddoit être positif. On a doncb= -b2 263 3 2 Exemples :3=3; (-55 = -() =-5(10 =) ;10) =10Le produit de deux racines carrées est égal à la racine carrée du produit. Poura³0 etb³0 :a´b=a´bEvolution du symbole racine Démonstration : 2 22 ( )( )( ) ab =a´b´a´b=a´b=ab 1220 :R 2 (ab)=abpuisqueab>02 2 2 On a doncab =abet on peut conclure carab> 0 etab> 01450 :R ( )( ) Le quotient de deux racines carrées est égal à la racine carrée du quotient.1525 :\/a aPoura³0 etb³0 :=b1572 : R.q. b Démonstration : 1637 : 2 2 2 a aa( )a aaa a   =´ == etcomme >0, on a aussi := 2 b bb b b bb    (b) On peut donc conclure de la même façon qu’à la question précédente Il faut parfaitement connaître son cours pour ne pas risquer d’inventer de nouvelles règles qui très souvent seront fausses. Par exemplea + bn’est pas du tout égale àa +b Les démonstrations de cette partie ne sont pas à apprendre mais à comprendre. 1 ©www.automaths.com
II Applications a) Simplification d’écritures On préfère écrire une racine sous la formea baetbsont des entiers avecble plus petit possible : 2 200 =100´1002 =´ 2= 10´ 2= 102 On utilise ici la règle : On utilise ici la règle : 2 aa = ab=a bL’intérêt de modifier ainsi l’écriture des racines est, par exemple, de pouvoir simplifier des expressions numériques contenant des racines et des sommes. 50+ 62 =25´22 =+ 65 22+ 62 = 11 On préfère parfois ne pas avoir des fractions contenant des radicaux au dénominateur. Il existe quelques techniques permettant de l’éviter : 25 25×77 25 A == = 7 7 7×7 On multiplie le dénominateur 7.et le numérateur par 3 +2(3 +2)×(5 – 1)210 –– 3 +3 5210 –– 3 +3 5 B == == 5 – 14 ( )( ) 5 + 15 + 1× 5– 1 On multiplie le dénominateur On obtient ainsi une forme que l’on et le numérateur par5 – 1. connaît bien : (a+b) (ab) b)Factorisations 2 En utilisant le fait que pour tout nombre positifbon a(b)=b:, on effectue des factorisations Exemples similaires sans racine : 222 A = 2x+ 62x+ 9 =(2x)+ 2 × 32x= (2+ 3x+ 3 )2 2 A’ = 4x+ 4x+ 1 = ( 2x+ 1 )
2 22 B =x– 5 =x(5)= (x– 5) (x+ 5)
22 2 C = 2x– 7 =(2x)(7)= (2x2) (– 7x)– 7
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2 B’ =x– 9 = (x– 3 ) (x+ 3 )
2 C’ = 4x– 9 = ( 2x– 3 ) ( 2x+ 3 )
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2 c) Equations du typex=a2 L’équationx=axest l’inconnue possède 0, 1 ou 2 solutions suivant le signe dea. a< 0 : pas de solution a= 0 : 0 est l’unique solution de l’équation a> 0 :aet –asont les deux uniques solutions de l’équation Démonstration : a < 0 : un carré ne peut être négatif,l’équation n’a donc pas de solution 2 a = 0 :x= 0 si et seulement six= 0, l’équation a donc une unique solution 0 2 a > 0 :x=a2 xa= 0  (xa) (x+a) = 0  ab= 0 si et seulement si a = 0 ou b = 0  xa= 0 oux+a= 0  x=aoux= -a{ } S =-a,a2 Exemple :x= 5 Attention : on a très souvent tendance xou= 5x= -5 à oublier la solution négative.  L’équationa deux solutions : -5 et5 d) Développements La présence de racines carrées dans des expressions numériques ou algébriques n’entraîne aucune modification des règles que l’on utilise pour les développements. Voici quelques exemples : 2 22 ère utilisation de la 1 A = (2 + 5 )=(2)+ 2´ 2´5 + 5= 2 + 105 + 25 = 27 + 105 identité remarquable 2 22ème 2utilisation de la 2 B = (2x= (2– 7 )x2) –´ 2´14 22x –+ 497 =7 + identité remarquable 2 2 ème C = (3 –5 ) (3 +5 ) =(3)(5)= 3 – 5 = -2utilisation de la 3 identité remarquable 2 ème 2 2 utilisation de la 3 D = (x– 2) (x+ 2) =x(2)- 2= x identité remarquable E = 4´5( 2– 3 ) –´2 – 12 –( 10– 5 ) = 4502 – 12 –+ 55 = 45 25 –122 + 55 = -+ 5 F =2´( 2x– 6) = 22 x –12 4 3× 53 = 4 × 5 ×3 ×3 = 20 × 3 =60En allant trop vite, on répond parfois 203
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