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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
TESIS DOCTORAL
SOBRE PERTURBACIONES DE
POLINOMIOS ORTOGONALES
CLÁSICOS
AUTOR:
Herbert Alonso Dueñas Ruiz
DIRECTOR:
Francisco Marcellán Español
Leganés, Febrero de 2009UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
SOBRE PERTURBACIONES DE POLINOMIOS
ORTOGONALES CLÁSICOS
Autor: Herbert Alonso Dueñas Ruiz
Memoria presentada para optar al grado de doctor por el programa de Ingeniería
Matemática. Realizada bajo la dirección de Dr. Francisco Marcellán Español.
Febrero, 2009.TESIS DOCTORAL
Sobre perturbaciones de polinomios ortogonales
clásicos
Autor: Herbert Alonso Dueñas Ruiz
Director: Francisco Marcellán Español
Tribunal Calificador
Firma
Presidente:
Vocal:
Vocal:
Vocal:
Secretario:
Calificación:
Leganés, de de 200ÍNDICE GENERAL
Agradecimientos 1
Introducción 3
0.1. Introducción histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2. Esquema y aportaciones de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1. Preliminares 13
1.1. Funcionales lineales y función de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. Polinomios Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. La clase Laguerre Hahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1. Determinación del orden de la clase . . . . . . . . . . . . 29
1.3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2. Polinomios ortogonales de tipo Laguerre 33
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Fórmula de conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Ecuación diferencial holonómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4. Análisis de los ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5. Modelo electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6. Representación Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7. Comportamiento Asintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
iii ÍNDICE GENERAL
3. Polinomios ortogonales de tipo Jacobi 51
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Fórmula de conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3. Ecuación diferencial holonómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4. Análisis de los ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5. Modelo electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6. Representación Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4. Perturbaciones del funcional de Laguerre Hahn 67
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Modificación mediante una derivada de Delta de Dirac. . . . . . . 68
4.2.1. Determinación de la clase . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3. Algunos resultados sobre perturbaciones de los polinomios asoci
ados de Laguerre de primera especie mediante una derivada Delta
de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5. Polinomios ortogonales tipo Laguerre Sobolev 85
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2. Fórmula de conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3. Ecuación diferencial holonómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4. Comportamiento de los ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.5. Modelo Electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6. Representación Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7. Comportamiento asintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6. Polinomios ortogonales de tipo Laguerre Sobolev. Caso no diagonal 115
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2. Comportamiento Asintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3. Fórmula de conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4. de recurrencia a cinco términos . . . . . . . . . . . . . . 127
6.5. Ecuación diferencial holonómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.6. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7. Polinomios ortogonales de tipo Laguerre Sobolev de orden superior 137
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2. Fórmula de conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.3. Comportamiento de los ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145ÍNDICE GENERAL iii
7.4. Comportamiento asintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Problemas abiertos. 155iv ÍNDICE GENERAL

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