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Th`ese: Familles de mesures au bord et bas duspectreOlivier Mohsen2RemerciementsJe tiens a` remercier chaleureusement Gilles Courtois pour avoir accept´ed’ˆetre mon directeur. Merci pour les nombreuses heures de travail qu’il m’aconsacr´e, mais aussi pour sa bonne humeur et pour son amiti´e. Merci aussi`a toute sa famille que j’ai rencontr´eavecbeaucoupdeplaisir.Je remercie avec plaisir tous les professeurs qui ont particip´e`amonjuryde th`ese : Fr´ed´eric Paulin, Vadim Ka¨ımanovich, Yves Benoist, Marc Bourdon,Francois¸ Ledrappier. Merci pour vos remarques, vos conseils, et pour l’int´erˆetque vous portez a` mon travail. Merci ´egalementaU` rsulaHamenstadt¨ d’avoir´et´e rapporteur pour ma th`ese et de l’avoir lu avec beaucoup d’int´eret.Merci aux secr´etaires et informaticiens du centre de math´ematiques LaurentSchwartz pour tous les services qu’ils m’ont rendu et toujours avec le sourire :Claudine, Mich`ele, Carole, Alain, Florence et St´ephane.Merci `atouslesmath´ematiciens avec qui j’ai eu l’occasion de discuteret qui ont r´epondu `a mes questions : Paul Gauduchon, Andr´ei Moroianu,Jean-Michel Bony, Emmanuel Ferrand, Jean Barge, Jean Lannes, Constan-tin Vernicos, Barbara Schapira, Jean-Claude Picaud, G´erard Besson, SylvainGallot et bien d’autres encore. Merci `a Vincent Humili`ere et `atouslespar-ticipants du s´eminaire des th´esards avec qui j’ai pass´e de bons moments ded´ etente.Merci `a toute ma famille et `a tous mes amis pour leur ...

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Langue Français

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Th`ese: Familles de mesures au bord et bas du
spectre
Olivier Mohsen2
Remerciements
Je tiens a` remercier chaleureusement Gilles Courtois pour avoir accept´e
d’ˆetre mon directeur. Merci pour les nombreuses heures de travail qu’il m’a
consacr´e, mais aussi pour sa bonne humeur et pour son amiti´e. Merci aussi
`a toute sa famille que j’ai rencontr´eavecbeaucoupdeplaisir.
Je remercie avec plaisir tous les professeurs qui ont particip´e`amonjury
de th`ese : Fr´ed´eric Paulin, Vadim Ka¨ımanovich, Yves Benoist, Marc Bourdon,
Francois¸ Ledrappier. Merci pour vos remarques, vos conseils, et pour l’int´erˆet
que vous portez a` mon travail. Merci ´egalementaU` rsulaHamenstadt¨ d’avoir
´et´e rapporteur pour ma th`ese et de l’avoir lu avec beaucoup d’int´eret.
Merci aux secr´etaires et informaticiens du centre de math´ematiques Laurent
Schwartz pour tous les services qu’ils m’ont rendu et toujours avec le sourire :
Claudine, Mich`ele, Carole, Alain, Florence et St´ephane.
Merci `atouslesmath´ematiciens avec qui j’ai eu l’occasion de discuter
et qui ont r´epondu `a mes questions : Paul Gauduchon, Andr´ei Moroianu,
Jean-Michel Bony, Emmanuel Ferrand, Jean Barge, Jean Lannes, Constan-
tin Vernicos, Barbara Schapira, Jean-Claude Picaud, G´erard Besson, Sylvain
Gallot et bien d’autres encore. Merci `a Vincent Humili`ere et `atouslespar-
ticipants du s´eminaire des th´esards avec qui j’ai pass´e de bons moments de
d´ etente.
Merci `a toute ma famille et `a tous mes amis pour leur affection, et sans
qui je n’aurais jamais pu accomplir tout le chemin jusqu’ici.Table des mati`eres
1 Introduction 5
2 Familles de mesures 9
2.1 Le bord a` l’infini . . . ...................... 9
2.2 Structure hold¨ ´eriennesurlebord.....10
2.3 Cocycles : d´efinition .12
2.4 Constructiondecocycles..........14
2.5 Cocyclescohomologues......................18
2.6 Construction de familles de mesures....2
2.7 Lelemmedel’ombre.27
2.8 Distancessurlebord.29
2.9 Unicit´e d’une famille de mesures.................34
2.10 Les p´eriodesd’uncocycle..........38
3Lebasduspectre 49
3.1 QuotientdeRayleigh.......................50
3.1.1 Les familles de mesures sur Γ, et leur quotient de Rayleigh 52
2 ˜3.1.2 On ´etale une fonction L sur X en utilisant l’action du
groupeΓ....53
3.1.3 Le quotient de Rayleigh de la limite faible est la limite
desquotientsdeRayleigh ................56
3.1.4 Familles de mesures minimisant le quotient de Rayleigh 59
3.2 Le bas du spectre d’une vari´et´ehyperbolique..........62
3.2.1 Rappels de g´eom´etriehyperbolique63
3.2.2 Comportement de λ (g) dans la tranche d’Ebin : . . . 651
4 Rigidit´edanslaclasseconforme 75
3`4 TABLE DES MATIERES
5 Annexe 79
5.1 Espaces de Hadamard `a courbure pinc´e............79
5.2 Le lemme de sp´ecification ...............83
5.2.1 Densit´edesg´eod´esiques p´eriodiques...........83
5.2.2 Densit´e des feuilles instables ..........84
5.2.3 Le“Closinglemma” ........8
5.2.4 Le lemme de sp´ecification ...........91
15.2.5 Il existe une orbite dense dans T X ...........92
5.3 La mesure de Liouville est invariante .........93
5.3.1 La forme de Liouville sur le fibr´ecotangent.......93
5.3.2 La forme de et la mesure de Liouville94
5.3.3 La forme de Liouville est invariante ...........96Chapitre 1
Introduction
Dans ce m´emoire, j’expose la th´eorie des familles ´equivariantes de me-
sures sur le bord a` l’infini du revˆetement universel d’une vari´et´ecompacte`a
courbure strictement n´egative. Ensuite j’utilise cette th´eorie pour ´etudier le
comportement du bas du spectre du laplacien des fonctions sur le revˆetement
universel lorsqu’on fait varier la m´etrique sur la vari´et´e compacte. J’utilise
aussi cette th´eorie pour d´emontrer la rigidit´e du spectre marqu´edeslon-
gueurs dans la classe conforme d’une m´etrique a` courbure n´egative sur un
vari´et´ecompacte.
Sur une vari´et´ecompacteX qui porte une m´etrique a` courbure stricte-
˜ment n´ egative, le revˆetement universel X de X a une croissance exponen-
tielle pour toute m´etrique g sur X, ce qui se traduit par la non nullit´ede
certains invariants de la m´etrique g comme par exemple l’entropie volumique
1 ˜h(g) = lim log VolB(R)(ou`B(R) est une boule de rayon R dans X),R→∞ R
ou le bas du spectre du revˆetement universel λ (g), d´efini comme la borne1R
2|df|˜X ˜Rinf´erieure des quotients de Rayleigh des fonctions f sur X `a support2f˜X
compact. Lorsque X admet une m´etrique hyperbolique g (c’est-`a-dire une0
m´ etrique de courbure constante ´egale a` −1), on peut se poser la question
de savoir si cette m´etrique est un extremum pour ces invariants. Un r´esultat
classique de Besson Courtois et Gallot est que les m´etriques hyperboliques
sont des minima de l’entropie volumique (voir [BCG1]). Plus pr´ecis´ement
la fonctionnelle g → h(g) restreinte aux m´etriques de mˆemevolumequeg0
atteint son minimum en g et de plus si dim X ≥3etsih(g)=h(g )alorsg0 0
et g sont isom´etriques, et ce r´esultat est valable plus g´en´eralement lorsque0
g est une m´etrique localement sym´etrique a` courbure strictement n´egative.0
56 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
En ce qui concerne le bas du spectre du revˆetement universel, on sait d´eja
que g est un point critique de la fonctionnelle g → λ (g), et Besson Cour-0 1
tois et Gallot ont montr´equeλ (g ) est maximal en restriction aux m´etriques1 0
conformes a` g et de mˆeme volume. En particulier si dim X = 2 alors par uni-0
formisation λ (g ) est un maximum de la fonctionnelle g → λ (g) restreinte1 0 1
aux m´etriques de mˆemevolumequeg .Danslechapitre3decem´emoire on0
montre le th´eor`eme suivant : (voir th´eor`eme 3.9 et corollaire 3.11 ) :
Th´eor`eme 1.1. Soit X une vari´et´ecompactededimension≥ 3 et g une0
m´ etrique hyperbolique sur X.Sig est une m´etrique conforme a` g de mˆeme0
volume et diff´erente de g alors le bas du spectre du revˆetement universel pour0
g est strictement sup´erieur `a celui pour g : λ (g ) >λ(g). D’autre part il0 1 0 1
existe un voisinage de g dans sa tranche d’Ebin tel que pour toute m´etrique0
g contenue dans ce voisinage et diff´erente de g , le bas du spectre pour g est0
strictement sup´erieur `aceluideg : λ (g )<λ(g).0 1 0 1
Dans ce th´eor`eme, la tranche d’Ebin de g est une classe de m´etriques qui0
contient g et dont l’espace tangent en g est un suppl´ementaire orthogonal a`0 0
la somme des espaces tangents en g de la classe conforme de g et de l’orbite0 0
de g par les diff´eomorphismes de X.Ilvasansdirequeλ (g)estconstant0 1
le long de l’orbite de g par les diff´eomorphismes, et donc le th´eor`eme nous0
dit que g est un point selle de la fonctionnelle g→ λ (g).0 1
(g)pourd´emontrerUne difficult´e que l’on rencontre lorsqu’on ´etudie λ1
˜le th´eor`eme 1.1 est qu’il n’existe pas de fonction sur X dont le quotient de
˜Rayleigh soit minimal et ´egal a` λ (g)`a cause de la non compacit´edeX.Pour1
2surmonter cette difficult´e, on va consid´erer certaines suites de fonctions L
dont les quotients de Rayleigh sont arbitrairement proches de λ (g)etqui1
2convergeront non pas vers une fonction L mais vers un objet d´efini sur le
˜bord a` l’infini de X, que l’on peut voir comme une famille ´equivariante de
mesures sur le bord. A cette famille, on associe un “quotient de Rayleigh”
qui co¨ıncide avec la limite des quotients de Rayleigh de la suite de fonctions,
et on montre alors que λ (g)estlaborneinf´erieure des quotients de Rayleigh1
des familles de mesures sur le bord (th´eor`eme 3.1), et de plus, lorsque g = g ,0
alors il existe une famille canonique de mesures dont le quotient de Rayleigh
est minimal et ´egal a` λ (g ). Consid´erer les quotients de Rayleigh de familles1 0
2 ˜de mesures plutˆ ot que des quotients de Rayleigh de fonctions L sur X va
nous permettre d’´etudier λ (g) au voisinage de g pour d´emontrer le th´eor`eme1 0
1.1. Par ailleurs une question ouverte est de savoir si pour toute m´etrique g il
existe une famille de mesures dont le quotient de Rayleigh soit ´egal a` λ (g).17
Ces familles de mesures que l’on vient d’introduire sont d´efinies dans le
chapitre2decem´emoire et leurs principales propri´et´es y sont ´etablies. On y
donnera ´egalement la classification de ces familles de mesures. Cette th´eorie,
dˆ ue `a Ledrappier, (voir [L1]) et c’est une g´en´eralisation de la th´eorie des
familles de mesures de Patterson-Sullivan. Ces derni`eres sont des exemples
de familles ´equivariantes de mesures. Les r´esultats de ce chapitre sont d´ej`a
connus (voir [L1]), mais l’approche ici est parfois diff´erente de [L1], notam-
ment dans la preuve du fait que les mesures consid´er´ees n’ont pas d’atomes,
et du fait que chaque p´eriode d’un

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