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Chapitre 3 : Contributions dans le cadre de cetteth`ese
Cechapitreapourbutd´enoncerlesre´sultatsprincipauxdecetteth`ese,ainsiqueplusieursre´sultatsinterm´ediairesobtenus,quiontleurinte´rˆetpropreendehorsduproble`me ´etudi´e.
1Ge´n´ericite´delaproprie´t´edeMorseSmale Dans le cadre de la dimensiondn,1=chdu.4e4reitapil´slete´hoe`rmeousavonsg´en´era 2 au cas de la dissipation nonconstante, y compris pour une dissipation sur le bord. Ce r´esultatestlobjetduchapitre4decetteth`ese. k Soitk2, on noteGl’espaceC(]0,1[×R,ReintdnreydeenWghogie´oepeolletanudim) par les ouverts i i {gG/|D f(x, u)D g(x, u)| ≤δ(u), i= 0, ..., k,(x, u)Ω×R}. Onconsid`erel´equationdesondesamortiesa`linte´rieurdunintervalle utt(x, t) +γ(x)ut(x, t) =uxx(x, t) +f(x, u) (x, t)]0,1[×R+ u(0, t) = 0 (ouux(0, t) = 0)t0 u(1, t) = 0 (ouux(1, t) = 0)t0 1 21 2 t(x,0)) = (u0(x), u (u(x,0), u1(x))H0(]0,1[)×L(Ω) (ouH(]0,1[)×L(Ω)) (1.1) o`uγL(]0,ur un ouvert de1[) est une fonction positive qui est strictement positive s ]0,rvalintedelbordrueleissomtredasonesndioatqu´elte,[1el utt(x, t) = Δu(x, t) +f(x, u) (x, t)Ω×R+ ∂ u (x, t) +γ(x)ut(x, t) = 0(x, t)Ω×R+(1.2) ∂ ν 1 2 (u(x,0), ut(x,0)) = (u0(x), u1(x))H(Ω)×L(Ω) ou`γ(0) etγent positif et tels(1) sont deux nombres positifs, dont au moins un est strictem queγ(0)6= 1 etγ(1)6= 1.
Th´eor`eme1.1.e´sLesneelbmsndelon´einitarfGt,edseqseuleelles´touslibrequi le´quationdesondesavecamortissementinterne(1.1)sonthyperboliquesetqueleurs
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vari´et´esstablesetinstablessecoupenttransversalement,estge´ne´riquedansG. Lensembledesnonline´arite´sfGeqs´leustouesqlelet,ondesationdesedle´uqiuilrbse amortiessurlebord(1.2)sonthyperboliquesetqueleursvarie´te´sstablesetinstablesse coupenttransversalement,estg´en´eriquedansG.
Notonsqueler´esultatduchapitre4estenfaitplusge´ne´ralqueleth´eor`eme1.1etest valablepourunecertaineclassedEDPdedimensionun,dontles´equationsdesondes(1.2) et (1.1) ne sont que les exemples principaux.
Lastructuredelapreuveduthe´ore`me1.1estsemblablea`celledur´esultatde[1].La plupartdesdiculte´snouvellesprovientdelastructureduspectredelope´rateurline´aire A).Da(1.2casdnsleitnoqeau)1te(s.1soas´ecix´auissidalenoitapγconstante, les valeurs γ propresnonr´eellessonttoutessurlamˆemedroiteverticale{zC/ Re(z) =− }et 2 lesvaleurspropresainsiquelesvecteurspropressontlie´sdemani`ereexplicite`aceuxdu Laplacien. En dimension 1, dans le cas de la dissipationγ(x) non constante, ou d’un amor tissementa`supportdansleborddelintervalle,lespectredeAest plus complexe. On sait toutefoisquelasuitedespartiesr´eellesdesvaleurspropresaunseulpointdaccumulation quieststrictementn´egatifetquelesvecteurspropresformentunebasedeRiesz(voir[2]et [3]).Cettestructurespectralepluscomplexeame`nedesproble`mesnouveauxparrapport au cas de la dissipation constante. Par exemple, il faut montrer que si (e,0) est un point d´equilibre,laline´arisationdusyste`medynamiquepr`esde(e,no´n)0d,lroeeapateup´err   0 0 Ae=A+, f(x, e) 0 u
poss`edelesmˆemeproprie´t´esspectralesqueAtirtviaidlnalsceas,cequi´etaγconstant. Dautrepart,lad´emonstrationde[1]utiliselefaitque,siγest constant, pour une fonction f(x, u´eeng´)lee,quriunevalerapportdopisitevrurppoerλdeAeapeltiartdee´reelle de n’importe quelle autre valeur propreµdistincte deλest irrationnel. Dans le casγ(x) variable, nous ne pouvons le montrer que siµ.Ilfautdoncadaptserte´legraselrestnemu finaux de la preuve du casγconstant et montrer que siµestpnxeseemmˆilesr´asl,ee posantsretRe(µ)tn(s.4)9lepoepem1desd´evtnostnede´ce´rperitapchdu0).1(4et ´egaux,lasommedestermesdominantsdeI0etI1ne s’annule pas. Lautrediculte´principaleconcernele´tudeasymptotiquedelafonctiont7ψ(x0, t) quelonutilisedanslede´veloppement(4.10)delapreuveduthe´ore`me4.4duchapitre pre´ce´dent.Eneet,onnepeutplusutiliserlespropri´et´esdepresquepe´riodicite´dele´quation desondeslibrescommecelae´taitlecaspourunamortissementconstant.Ilfaututiliser enremplacementunargumentdetransform´eedeLaplace. Enoutre,commedanslade´monstrationdeBrunovsky´etRaugel,ilfautmontrerquesi f(x, u) est analytique enu´neessruoitttnuobsroslessolu,alorRsont analytiques en temps. Sicetteproprie´te´e´taitconnuepourle´quationdesondesamorties`alinte´rieur(1.1),cest
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