La lecture en ligne est gratuite
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Partagez cette publication

UNIVERSITE DE REIMS CHAMPAGNE-ARDENNE
U.F.R. Sciences exactes et naturelles
THESE
pour obtenir le grade de
Docteur de l’Universit´e de Reims Champagne-Ardenne
Discipline :Math´ematiques
pr´esent´ee et soutenue publiquement par
Abdellah BECHATA
le18 juin 2001
Titre :
Analyse pseudo-diff´erentielle
p¡adique
Directeur de th`ese :
Andr´e Unterberger
JURY
Pr´esident M.J.NOURRIGAT Universit´e de Reims
Rapporteurs M. N.LERNER Universit´e de Rennes-1
M. P.TORASSO Universit´e de Poitiers
Examinateurs Mme C.CANCELIER Universit´e de Reims
M.P.GERARDIN Universit´e de Paris 7
M.S. KICHENASSAMY Universit´e de Reims
Directeur de th`ese M. A.UNTERBERGER Universit´e deRESUME :
On d´eveloppe ici l’analyse pseudodiff´erentielle des op´erateurs agissant sur les fonctions
na` valeurs complexes sur k , ou` k est un corps non archim´edien. Cette ´etude met en jeu,
pour commencer, une g´en´e-ralisation au cas p–adique des m´ethodes obligatoires (calcul de
Weyl, repr´esentation d’Heisenberg) ou souhaitables (utilisation de familles d’´etats coh´erents
et caract´erisation des classes d’op´erateurs par leur action sur ces ´etats) de l’analyse pseudo-
diff´erentielle.Onend´eduitunecaract´erisation“`alaBeals”declassesd’op´erateurs,ainsiqu’un
calcul fonctionnel des op´erateurs de poids un. L’absence d’op´erateurs de d´erivation interdit
biensurˆ toutd´eveloppement“`alaMoyal”delacompositiondedeuxsymboles:mais,utilisant
£la th´eorie des caract`eres multiplicatifs de k , on donne une formule de composition reliant
la d´ecomposition en termes “homog`enes” d’un produit f #f aux d´ecompositions de cette1 2
esp`ece de f et f .1 2
1Table des mati`eres
1 Introduction 4
2 Le calcul de Weyl p¡adique. 6
2.1 D´efinitions et notations g´en´erales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Un autre espaceS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Caract´erisation des espaces de fonctions par les familles d’´etats coh´erents. . . . 9
2.3.1 D´efinition des familles d’´etats coh´erents et premi`ere application. . . . . 9
d2.3.2 Caract´erisation de l’espaceS(k ) par les familles d’´etats coh´erents. . . 11
2.4 D´efinition du calcul de Weyl p -adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
22.4.1 D´efinition dans le cadre L : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.2 Calcul de Weyl et calcul standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.3 de la fonction de Wigner de deux ´etats coh´erents (cf d´efinition ). 19
3 Calcul de Weyl et classes de symboles d´efinies par des poids. 21
3.1 D´efinition des espaces de symboles `a poids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Caract´erisation par les ´etats coh´erents des op´erateurs poss´edant un symbole a`
poids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Cons´equences sur la r´egularit´e des op´erateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 La caract´erisation de Beals et une application. 32
4.1 La caract´ de Beals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Applications `a l’existence de symboles pour certains op´erateurs. . . . . . . . . 34
5 Une formule de composition en calcul de Weyl p¡adique. 36
5.1 L’analogue non-archim´edien de la transformation de Mellin. . . . . . . . . . . 37
5.2 D´etermination de la forme du noyau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Explicitation des “constantes” a : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45”
5.4 La formule de composition en analyse pseudo-diff´erentielle p¡adique: . . . . . 56
6 Bibliographie : 73
2Remerciements
En premier lieu, je tiens `a exprimer ma plus profonde gratitude a` l’´egard de Monsieur
Andr´e Unterberger pour sa fraˆıcheur d’esprit, son enthousiasme math´ematique, pour l’infinie
patienceainsiqueladisponibilit´epermanentequ’ilasum’accorderdurantcesann´eesdeth`ese.
Je tiens a` remercier vivement Monsieur Nicolas Lerner et Monsieur Pierre Torasso pour
toute l’attention qu’ils ont port´ee `a cette th`ese, pour leurs remarques int´eressantes, et pour
avoir accept´e d’en ˆetre les rapporteurs.
Je remercie Monsieur Paul G´erardin pour l’honneur qu’il m’accorde en faisant partie de ce
jury.
Je suis ´egalement tr`es honor´e que Monsieur Jean Nourrigat soit le pr´esident de mon jury
de th`ese.
J’exprime mes plus sinc`eres remerciements `a .Madame Claudy Cancelier et Monsieur Sa-
tyana Kichenassamy qui ont accept´e d’ˆetre examinateurs de cette th`ese.
J’adresse mes plus vifs remerciements `a l’ensemble des membres du laboratoire qui m’ont
accord´e un excellent accueil, ainsi que leur sympathie pendant ces ann´ees de recherches. Plus
particuli`erement,jetiensa`exprimerdechaleureuxremerciements`aBriceCamus,AlainNinet,
Odile Fleury-Barka pour l’aide et le soutien qu’ils ont su m’apporter.
Pour finir, je remercie mes proches qui m’ont soutenu et encourag´e.
3Chapitre 1
Introduction
Lecalculpseudo-diff´erentiel,enparticulierlecalculdeWeyl,estunoutilfondamentaldans
l’´etudedesop´erateursapparaissantnaturellementdanslesprobl`emesd’´equationsauxd´eriv´ees
partielles. Cette th`ese a pour but le d´eveloppement du calcul de Weyl dans le cadre des corps
locaux non-archim´ediens . Une telle ´etude a ´et´e initi´ee en 1993 par S.Haran [H] . La m´ethode
employ´ee ici fait une large part `a des m´ethodes directement issues de l’analyse harmonique
(repr´esentation d’Heisenberg, repr´esentation m´etaplectique, familles d’´etats coh´erents). Elle
g´en´eralise ainsi les m´ethodes d´evelopp´ees dans ([U1], chapitre 1) dans le cas non-archim´edien.
D´esignons par k un corps local non-archim´edien et soit ˆ un caract`ere non trivial de k:
d dConsid´erons le groupe d’Heisenberg produit semi-direct de k £k par k: Au caract`ere ˆ est
attach´ee une repr´esentation irr´eductible unitaire bien d´efinie ( la repr´esentation d’Heisenberg)
2 ddu groupe d’Heisenberg dans l’espace L (k ): On introduit le calcul de Weyl, qui d´efinit une
2 d dapplication lin´eaire de L (k £ k ) (espace des symboles) dans l’espace des op´erateurs de
2 dHilbert-Schmidt sur L (k ); par une g´en´eralisation naturelle de la formule usuelle dans le cas
archim´edien. L’un des objets de ce travail est d’´etendre la signification de l’op´erateur Op(f)
2 d dde symbole f a` des cas plus g´en´eraux que celui ou` f appartient `a L (k £k ):
Il n’existe pas, dans le cas local non-archim´edien, d’op´erateur de d´erivation, non plus que
de fonction polynomiale `a valeurs complexes : mais il est n´eanmoins possible, comme l’avait
fi flremarqu´e S.Haran, d’introduire deux familles (I ) et (J ) d’op´erateurs se substituant aux
classiques op´erateurs de d´erivation et de multiplication, et permettant de d´efinir l’analogue
des espaces de Sobolev ou les images de ces derniers par la transformation de Fourier. Ceci
dconduit a` une d´efinition naturelle aussi bien de l’espace S(k ) “de Schwartz” et de son dual
que des classes de symboles associ´ees `a des poids poss´edant des propri´et´es analogues `a celles
du cas archim´edien.
2 dLam´ethodeemploy´eeiciconsiste`apartirdelafonction`2L (k );fonctioncaract´eristique
ddel’ensembledespointsdek `acoordonn´eesdansl’anneaudesentiersde k,quel’onanorma-
lis´eeconvenablement,etdelafamille(` )quel’onend´eduitenfaisantagirlarepr´esentationy;·
d’Heisenberg.Toutlecalculsymboliquedesop´erateursdansdesclassesdesymboles`apoidsest
obtenu`apartird’unecaract´erisationdesop´erateursOp(f)dansuneclassedonn´eeparunepro-
0 0pri´et´erelativeauxproduitsscalaires(Op(f)` ;` ):Poussantcette m´ethodeplusloin (sui-y;· y ;·
vant [U-U]), on parvient `a une caract´erisation “`a la Beals” de certaines classes d’op´erateurs :
ceci permet de justifier l’existence d’un calcul fonctionnel de ces op´erateurs.
Unpointsurlequell’analysepseudo-diff´erentiellenon-archim´edienneestfondamentalement
diff´erente de l’analyse usuelle concerne la formule de composition des symboles, qui exprime
le symbole f#g du compos´e de deux op´erateurs de symboles f et g: Tout comme dans le cas
archim´edien,ilexisteuneformuleint´egraledecomposition,quin’ariendeparticulier.Onsait
4quedanslecasarchim´edien,led´eveloppementens´erieenti`eredel’exponentiellequiintervient
dans cette int´egrale conduit `a la formule asymptotique “de Moyal”
1
f#gsfg+ ff;gg+:::
4i…
Rien d’analogue ne saurait exister dans le cas non-archim´edien parce qu’il n’y a pour com-
mencer ni analogue du crochet de Poisson, ni d´eveloppement en s´erie du caract`ere ˆ devant se
substituer `a l’exponentielle. En revanche, dans le cas de la dimension un, on peut d´ecomposer
tout symbole raisonnable comme superposition int´egrale de termes homog`enes, et d´oser
a` nouveau le compos´e f#g d’une fa¸con analogue : bien entendu, les “termes” obtenus ne sont
pas des polynˆomes! On parvient alors (th´eor`eme 32), dans le cas non-archim´edien, `a une for-
mule g´en´eralisant la formule annonc´ee dans la section 5 de [U2], `a l’occasion d’une ´etude sur
les formes modulaires non-holomorphes, et d´emontr´ee dans [U3].
5Chapitre 2
Le calcul de Weyl p¡adique.
2.1 D´efinitions et notations g´en´erales.
Dans toute la suite, k d´esigne un corps local non-archim´edien, c’est-`a-dire une extension
alg´ebrique de degr´e fini soit de Q ; soit de F ((X)) pour un certain nombre premier p; dep p
caract´eristiquediff´erentede2.OnnoteO l’anneaudesentiersdek :c’estunanneauprincipalk
etlocal,c’est-`a-direqu’ilposs`edeununiqueid´ealmaximal.Onappelleuniformisantedek tout
g´en´erateur de cet id´eal maximal. Par exemple, lorsque k est le corpsQ ; le nombre p-adiquep
p est une uniformisante de k: On fixe une uniformisante $ de k et on note j : j l’unique
¡1valeur absolue de k v´erifiant j $j= (card(O =$O )) . Dans la suite, on notera parfois q lek k
¡1nombre entierj$j : En outre, on choisit dans toute la suite un caract`ere additif non trivial
ˆ de k : rappelons que dans le cadre non archim´edien, un tel`ere est n´ecessairement
constant dans un voisinage de z´ero. Le plus grand id´eal fractionnaire de O sur lequel ˆk
oest constant se nomme le conducteur de ˆ; il est traditionnellement not´e O et il est ´egal a`k
n(ˆ)l’ensemble $ O pour un certain n(ˆ) appartenant `a Z. A ce conducteur on associe unek
valeur absolue non-archim´edienne sur k, “duale” de la valeur absolue j:j; et qui est d´efinie
par :
_ ¡n(ˆ)jxj =jx$ j:
Un exemple typique est fourni par le corps k =Q et le caract`ere ˆ qui est d´efini de la fa¸conp 0
suivante : X X
n nsi x= a p ; alors ˆ (x)=exp(2…i£ a p ):n 0 n
n‚¡n ¡n •n<00 0
Il est imm´ediat que le conducteur de ˆ est l’anneau des entiers p-adiquesZ :0 p
dSur k ; on d´efinit les normes suivantes :
_ _kyk= maxjy j; k·k = maxj· j :i i
1•i•d 1•i•d
Le but de ce travail est d’introduire et d’´etudier un calcul symbolique des op´erateurs
2 dlin´eaires, ´eventuellement non-born´es, agissant sur l’espace L (k ); ou,` pour emprunter la ter-
dminologie de la m´ecanique quantique, l’espace k peut-ˆetre appel´e l’espace de configuration.
Il convient, pour l’analyse de Fourier, d’introduire´egalement l’espace dual, dit espace des im-
pulsions : si, sur l’espace de configuration, on utilise la norme jj; on sera amen´e `a utiliser la
_normejj surl’espacedesimpulsions.Enfin,pourd´evelopperuncalculsymbolique,ilconvient
d’introduire de phase qui est le produit de l’espace de configuration par l’espace des
6d dimpulsions. On peut l’´ecrire k £k ; ´etant entendu que le deuxi`eme exemplaire est identifi´e
au dual du premier au moyen de la dualit´e de groupes localement compacts d´efinie par :

d d £k £k !C
(y;·)7!ˆ(<y;· >);
d dou` l’on a pos´e, pour (y;·) appartenant `a k £k :
dX
<y;· >= y·:i i
i=1
oOn remarquera que, lorsque d est ´egal `a 1, le conducteur O d´efini pr´ec´edemment s’identifiek
au dual de Pontriaguin du groupe k=O par cette dualit´e .k
dOn note alors dx la mesure de Haar sur k autoduale relativement a` la dualit´e pr´ec´edente;
d o delle est caract´eris´ee par la condition vol(O )£vol((O ) ) = 1. Comme dans la th´eorie ar-k k
d dchim´edienne, l’espace de phase k £k est muni de la forme symplectique, dont on rappelle la
0 0 d dd´efinition; pour (y;·); (y;·) appartenant a` k £k ; on pose :
0 0 0 0[(y;·);(y;·)]=<y;· >¡<y;· >:
2On introduit ´egalement l’analogue non archim´edien du poids 1+kXk qui jouera un rˆole
constant dans l’analyse pseudo-diff´erentielle non archim´edienne. On le d´efinit, pour (y;·)
d dappartenant a` k £k ; par la formule suivante :
_j1;y;·j=max(1;k2yk;k2·k ); (2.1)
et l’on note aussi ‰
j1;yj=j1;y;0j;
(2.2)_j1;·j =j1;0;·j:
Ce poids v´erifie encore une in´egalit´e du type “in´egalit´e de Peetre”, i.e.
2d8 X; Y 2k ; j1; X +Y j• j 1; X j£j 1;Y j. (2.3)
¡1Remarque : Le facteur 2 intervenant dans (2.1) ne joue de rˆole que lorsque quej$j =
q est divisible par 2. Dans le cas contraire, on a simplement :
_ _max(1;k2yk;k2·k )=max(1;kyk;k·k )
dL’espace usuel des fonctions-test sur k est l’espace de Schwartz-Bruhat que l’on note
dS (k ); il est d´efini comme ´etant l’espace des fonctions a` support compact et localementalg
d dconstantes sur k : La transformation de Fourier (not´ee F) sur S (k ) est donn´ee par laalg
formule suivante :
Z
d8u2S (k ); (Fu)(x)= u(y)ˆ(¡<y;x>)dy .alg
dk
Il est n´ecessaire d’introduire ´egalement la transformation de Fourier symplectique (not´ee
d dG) surS (k £k ) dont voici la d´efinition :alg
Z
dd8 u2S (k ); (Gu)(X)=j2j u(Y)ˆ(2[Y;X]) dY (2.4)alg
2dk
7d dLa transformation F (resp. G); qui est un automorphisme de S (k ) (resp. de S (k £alg alg
d 2 d 2 d dk )); se prolonge en un automorphisme isom´etrique de L (k ) (resp. L (k £k )); en outre, la
transformation de Fourier symplectique jouit de la propri´et´e suppl´ementaire suivante :
2G =Id 2 2d :L (k )
Pourentermineraveclesd´efinitionsg´en´erales,onrappellelad´efinitiondelarepr´esentation
d d 2 dunitaire irr´eductible projective “d’Heisenberg” … de k £k dans L (k ) attach´ee au caract`ere
2 dˆ: Elle est d´efinie pour u appartenant `a L (k ) par :
y
(…(y;·)u)(x)=ˆ(<x¡ ;· >) u(x¡y)
2
¡ ¢ ¡ ¢
d d d detv´erifiel’identit´esuivantevalablepourtoutcouple(X;Y)appartenanta` k £k £ k £k :
1
…(X)…(Y)=ˆ( [X;Y]) …(X +Y): (2.5)
2
2.2 Un autre espace S.
Pour l’´etude du calcul de Weyl local, il est n´ecessaire d’introduire de nouvelles familles
d’op´erateurs qui joueront un rˆole analogue aux classiques op´erateurs archim´ediens de multi-
plication et de d´erivation. Cette d´efinition conduit `a l’introduction d’un espaceS de fonctions
suivant [H].
dSoient fi;fl deux nombres r´eels positifs; on introduit sur l’espace S (k ) les op´erateursalg
suivants : 8
fi fi> (I u)(x)=j1;xj u(x);< _fi _fi(I u)(»)=j1;»j u(»);d8u2S (k );alg fl ¡1 _fl(J u)(x)=(F I Fu)(x);>: fi;fl fi fl(I u)(x)=(I J u)(x)
d d fieSur l’espaceS (k £k ); on d´efinit de mˆeme l’op´erateur I de multiplication paralg
£ ⁄fi_fij1;X j = max(1;k2xk;k2»k ) si X =(x;»)
fl fl fl˜ e ˜etl’op´erateurJ ;conjugu´eparGdel’op´erateurI :l’op´erateurJ jouedonclerˆolequejouerait

fi2l’op´erateur (1¡Δ) en analyse r´eelle Contrairement au cas archim´edien, les op´erateurs I et
flJ commutent, ainsi qu’il a ´et´e remarqu´e par S.Haran. On le rev´erifiera plus loin.
2 dLes diff´erents op´erateurs introduits ci-dessus sont essentiellement auto-adjoints sur L (k )
2 d d(resp.L (k £k ))etond´esigneraparlesmˆemessymbolesleuruniqueextensionauto-adjointe
d d d(dont le domaine contient par d´efinitionS (k ) (resp.S (k £k )): On appellera espace desalg alg
“fonctions a` d´ecroissance rapide” l’espace suivant :
\
d fi;flS(k )= Dom(I ):
fi;fl‚0
82 d fi;flAutrement dit, il s’agit de l’espace des fonctions u appartenant a` L (k ) telles que I u
2 d dappartiennea`L (k )pourtoutcoupledenombresr´eelspositifs(fi;fl):L’espacevectorielS(k )
devient un espace de Fr´echet lorsqu’on le munit de la famille de semi-normes
fi;flkuk =kI uk 2 d :fi;fl L (k )
dEn outre, S(k ) est un espace nucl´eaire ce qui nous permettra d’utiliser le moment venu
l’analogue du th´eor`eme des noyaux de Schwartz.
0 d dOn note S (k ) le dual topologique de S(k ) que l’on appellera espace des distributions
d“temp´er´ees”surk et,pourtoutedistributiontemp´er´eeT etpourtoutefonctiona`d´ecroissance
drapide u sur k ; on note < T;u > la valeur de T sur u; on ´ecrit aussi (T;u) =< T;u > (ou`
u7¡! u est la conjugaison complexe).
Remarque : De fa¸con analogue `a la th´eorie archim´edienne, toute distribution temp´er´ee
dsur k est, par le th´eor`eme de Hahn-Banach, combinaison lin´eaire de distributions de la forme
fi;fl 2 dI u ou` u est un ´el´ement de L (k ) et (fi;fl) est un couple de r´eels positifs.
2.3 Caract´erisation des espaces de fonctions par les fa-
milles d’´etats coh´erents.
2.3.1 D´efinition des familles d’´etats coh´erents et premi`ere applica-
tion.
o d o dDefinition 1 On note ` (resp. ` ) la fonction caract´eristique de (O ) (resp. (O ) ) multi-k k
1 1d ¡ o d ¡ d d2 2pli´ee par (vol(O ) ) (resp.(vol(O ) ) ) et, pour tout (y;·) appartenant `a k £k ; on posek k
` =…(y;·)`:y;·
o oLa transform´ee de Fourier de ` (resp. ` ) est ` (resp. `): La famille (` ) d dy;· (y;·)2k £k
2 d ds’appelle une famille d’´etats coh´erents pour L (k £k ) et elle jouera un grand rˆole dans la
suite en raison du lemme suivant, appel´e quelquefois “r´esolution de l’identit´e” (dans le cas
archim´edien).
2 dLemme 2 Pour tout couple de fonctions u;v appartenant `a L (k ); on a :
R8 2 2kuk = j(u;` )j dX;2 d X< L (k )
2dkR
(u;v)= (u;` )(` ;v)dX:: X X
2dk
D´emonstration :
Comme la seconde formule s’obtient par polarisation de la premi`ere, il suffit de d´emontrer
2 dla premi`ere formule. Soit u une fonction appartenant a` L (k ); on a par d´efinition, pour tout
point (y;·) de l’espace de phase,
Z
y
(u;` )= u(x)ˆ(¡<x¡ ;· >)`(x¡y)dx:y;· 2
dk
L’identit´e de Parseval donne alors
Z Z
2 2 2j(u;` )j d· = ju(x)j j`(x¡y)j dxy;·
d dk k
9

Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin