Cours de trigonométrie (troisième)

Emilien Suquet

Description

TRIGONOMETRIE Emilien Suquet, [e-mail] Faites attention à bien mettre votre machine en mode degré. I Cosinus, Sinus et Tangente d'un angle aigu Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus, le cosinus et la tangente de l’angle aigu ABC de la manière suivante : coté opposé à ABC ACsin ABC = = C hypoténuse BC Hypoténuse coté adjacent à ABC AB Côté opposé à cos ABC = = hypoténuse BC ABC ACcoté opposé à ABC A B tan ABC = = Côté adjacent à ABC ABcoté adjacent à ABC Remarques : On peut prouver l’existence du sinus et de la tangente de la même façon qu’en quatrième. On avait alors utilisé le théorème de Thalès pour montrer l’existence du cosinus. AC AB AB On a aussi avec l’angle ACB : cos ACB = ; sin ACB = ; tan ACB = BC BC AC Il n’est pas toujours facile de retenir les trois formules ci-dessus, il est donc astucieux de trouver des moyens mnémotechniques pour les retenir. En voilà un : CASH : Cosinus = Adjacent Sur Hypoténuse A vous d’en trouver d’autres … Le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle Le sinus et le cosinus d'un angle aigu sont strictement plus n’ont pas d’unité. grands que 0 et strictement plus petits que 1. Lorsque l’on connaît le sinus d’un angle on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant la touche [sin-1] ou [Asn] de votre machine. Exemple : si sin ABC = 0,8 et ABC est un angle aigu alors ABC = 53,13 degrés à 0,01 près. Lorsque l’on connaît le ...

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Extrait

T RIGONOMETRIE Emilien Suquet, [e-mail] Faites attention à bien mettre votre machine en mode degré. I Cosinus, Sinus et Tangente d'un angle aigu Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus, le cosinus et la tangente de l’angle aigu ABC de la manière suivante : coté opposé à ABC AC sin ABC = = C hypoténuse BC Hypoténuse coté adjacent à ABC AB Côté opposé à cos ABC = = hypoténuse  BC ABC coté opposé à ABC AC A B tan ABC = = Côté adjacent à ABC AB coté adjacent à ABC Remarques : On peut prouver l’existence du sinus et de la tangente de la même façon qu’en quatrième. On avait alors utilisé le théorème de Thalès pour montrer l’existence du cosinus. AC AB AB ; sin ACB =; tan ACB =On a aussi avec l’angle ACB : cos ACB = BC BC AC Il n’est pas toujours facile de retenir les trois formules ci-dessus, il est donc astucieux detrouver des moyens mnémotechniques pour les retenir. En voilà un : CASH : C osinus = A djacent S ur H ypoténuse  Avous d’en trouver d’autres … Le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle Le sinus et le cosinus d'un angle aigu sont strictement plus n’ont pas d’unité. grands que 0 et strictement plus petits que 1. Lorsque l’onconnaît le sinus d’un angle on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant la touche [sin-1] ou [Asn] de votre machine. Exemple : si sin ABC = 0,8 et ABC est un angle aigu alors ABC = 53,13 degrés à 0,01 près. Lorsque l’onconnaît le cosinus d’un angle on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant la touche [cos-1] ou [Acs] de votre machine. Exemple : si cos ABC = 0,5 et ABC est un angle aigu alors ABC = 60 degrés. Lorsque l’onconnaît la tangente d’un angle on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant la touche [tan-1] ou [Atn] de votre machine. Exemple : si tan ABC = 0,2 et ABC est un angle aigu alors ABC = 11,30 degrés à 0,01 près. Conseil : refaites vous-même les calculs des exemples ci-dessus. 1 ©www.automaths.com

II Relations trigonométriques 2 2 sinx Pour toutes valeurs dexon a : cosx+ sinxet tan= 1x= cosx Démonstration dans le cas ouxest une valeur strictement comprise entre 0 et 90 degrés : C Prenons un triangle ABC rectangle en A tel que ABC =x AB ACAC On a alors : cosx= ,sinx= ettanx= BC BCBC x 2 22 2 A 2 2 AB ACAB ACAB +AC 2 2     cosx+ sinx= += + = 2 22 BC BCBC BCBC     On sait que le triangle ABC est rectangle en A D’après le théorème de Pythagore, 2 22 On a AB+ AC= BC 2 BC 2 2 D’où cosx+ sinx= =1 2 BC AC sinx BC AC BC AC = = × = =tanx cosxAB BC AB AB BC III Exercices types commentés Enoncé 1 : détermination d’une distance DEF est un triangle rectangle en D tel que DEF = 30°et DF = 5. Quelle est la mesure de EF ? F Il est fortement conseillé de faire une figure même si cela n’est pas demandé dans l’énoncé. Cela vous évitera bien des erreurs d’étourderie.  30 D E Cette précision est indispensable car la formule que vous DEF est un triangle rectangle en D allez utiliser ne marche que dans des triangles rectangles. DE sin DEF = Ecrivez d’abord la formule en toutes lettres. DF DE sin 30 = 5 DE = 5 × sin 30 DE = 2,5 N’oubliez pas d’encadrer ou souligner le résultat.

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Enoncé 2 : détermination d’un angle ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 et AC = 7. Déterminez la mesure de l’angle ABCà 0,01 près. C  7  ? A B 5 ABC est un triangle rectangle en A. AC tan ABC= AB 7 tan ABC = 5 On trouve la valeur de l’angle en utilisant la touche [Atn] ou [tan-1] de la calculatrice d’où ABC= 50,19 degrés à 0,01 près Enoncé 3 : utilisation des formules de trigonométrie Soitxla mesure d’un angle aigu tel que cosx= 0,4 1) Calculer la valeur exacte de sinx 2) En déduire la valeur exacte de tanx 2 2 1) Ona sinx+ cosx= 1 2 2  D’oùsinx+ 0,4= 1 2 sinx+ 0,16 = 1 2 sinx= 0,84 2 Rappelez vous que si X=aalors X =aou X = -a sinx= -0,84 ou sinx= 0,84 or le sinus d’un angle aigu est compris entre 0 et 1 N’oubliez pas de rappeler la règle Dans l’énoncé, on ne demande pas de valeur donc sinx= 0,84 approchée, il faut donc donner la valeur exacte. sinx 2) Ona tanx= cosx 0,84 On peut arrêter ici si on veut.  tanx= 0,4 84 1  tanx= × 100 0,4 2 211 21  tanx= ×= 10 0,42

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A Enoncé 4 : attention aux approximations On donne la figure ci-contre qui n’est pas à l’échelle. 6 1) Calculer HA au millimètre près. 2) Calculer la mesure de l’angle ABH à 0,01 près. 4 1) 2 H AHC est un triangle rectangle en H B D’après le théorème de Pythagore 2 2 2 On a AC= HA+ HC 2 22 D’où 6= HA+ 4 2  36= HA+ 16 2  HA= 20  HA= 20  HA≈4,5 au mm près 2) ABH est un triangle rectangle en H AH Donc tan ABH = Il faut absolument prendre la valeur exacte de AH même si on a demandé BH la valeur approchée dans la question précédente. Il faut toujours éviter, si cela est possible, de faire des calculs avec des approximations 20  tanABH = 2 On utilise ici la calculatrice et sa touche [Atn] ou [tan-1].  ABH≈65,91 degré à 0,1 près Si nous n’avions pas garder20 mais pris la valeur arochée 4,5 nous aurions trouvé 66,04

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