Statistique de l'assurance, sujets spéciaux

Arthur Charpentier

Description

Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V
Statistique de l’assurance, STT 6705 de l’assurance II
Arthur Charpentier
Universite Rennes 1 & Universite de Montreal
[e-mail] ou ou [e-mail]
http ://freakonometrics.blog.free.fr/
22 septembre 2010
1Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V
Modeliser les couts^ individuels
Les deux modeles les plus classiques permettant de modeliser les couts^
individuels de sinistre sont
{ le modele Gamma sur les couts^ individuels Yi
{ le modele log-normal sur les couts^ Y , ou plutt un modele Gaussieni
sur le logarithme des couts,^ log(Y ), la loi lognormale n’appartenant pas lai
famille exponentielle.
Pour rappel la loi Gamma admet pour densite
x
1 1= x e
f(x; ; ) =
( )
2d’esperance = et de variance = . Et la loi lognormale,
2 2(lnx ) =(2 )e
pf(x; ; ) =
x 2
2 2 2
+ =2 2 +d’esprance e et de variance (e 1)e .
2Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V
Le modele Gamma
Bien que le lien canonique de la loi Gamma soit la fonction inverse, il est plus
frequent d’utiliser un lien logarithmique. En e et, la forme multiplicative donne
des interpretations simples dans le cas des modeles multiples.
> reggamma <- glm(cout~ageconducteur,family=Gamma(link="log"),
+ data=sinistres)
> summary(reggamma)
Call:
glm(formula = cout ~ ageconducteur, family = Gamma(link = "log"),
data = sinistres)
Deviance Residuals:
Min ...

Sujets

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Extrait

ArthurCHARPENTIER,Statistiquedel’assurance,sujetsspe ´ ciaux,STT6705V Statistiquedel’assurance,STT6705 Statistiquedel’assuranceII ArthurCharpentier Universite´Rennes1&Universite´deMontre´al [e-mail] ouou [e-mail] http://freakonometrics.blog.free.fr/ 22septembre2010 1

ArthurCHARPENTIER,Statistiquedel’assurance,sujetsspe ´ ciaux,STT6705V Mode´liserlescouˆtsindividuels Lesdeuxmode`leslesplusclassiquespermettantdemode´liserlescouˆts individuelsdesinistresont –lemode`leGammasurlescouˆtsindividuelsY i –lemode`lelog-normalsurlescouˆtsindividuelsY i ,oupluttunmode`leGaussien surlelogarithmedescouˆts,log(Y i ),laloilognormalen’appartenantpasla familleexponentielle. PourrappellaloiGammaadmetpourdensite´ x x α − 1 e − 1/β f(x;α,β)= Γ(α)β − α d’espe´ranceα/βetdevarianceα/β 2 .Etlaloilognormale, − (lnx − µ) 2 /(2σ 2 ) e f(x;µ,σ)= √ π2σx d’esprancee µ+σ 2 /2 etdevariance(e σ 2 − 1)e 2µ+σ 2 . 2

ArthurCHARPENTIER,Statistiquedel’assurance,sujetsspe ´ ciaux,STT6705V Lemode`leGamma BienqueleliencanoniquedelaloiGammasoitlafonctioninverse,ilestplus fre´quentd’utiliserunlienlogarithmique.Eneffet,laformemultiplicativedonne desinterpre´tationssimplesdanslecasdesmode`lesmultiples. >reggamma<-glm(cout~ageconducteur,family=Gamma(link="log"), +data=sinistres) >summary(reggamma) C:lla glm(formula=cout~ageconducteur,family=Gamma(link="log"), data=sinistres) DevianceResiduals: Min1QMedianxaMQ3 -3.6322-0.9769-0.6110-0.391752.5993 3

ArthurCHARPENTIER,Statistiquedel’assurance,sujetsspe ´ ciaux,STT6705V Coefficients: EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|) (Intercept)8.1806430.20800939.328<2e-16*** ageconducteur-0.0104400.004383-2.3820.0172* --- Signif.codes:0***0.001**0.01*0.05.0.11 (DispersionparameterforGammafamilytakentobe109.7107) Nulldeviance:46482on26443degreesoffreedom Residualdeviance:45637on26442degreesoffreedom AIC:458704 NumberofFisherScoringiterations:9 Sions’inte´resselavaleurpre´ditepourunepersonned’aˆge ageconducteur=50 , onobtient 4

ArthurCHARPENTIER,Statistiquedel’assurance,sujetsspe ´ ciaux,STT6705V >predict(reggamma,newdata=data.frame(ageconducteur=50), +type="response") 1 2118.879 5

ArthurCHARPENTIER,Statistiquedel’assurance,sujetsspe ´ ciaux,STT6705V Lemode`lelognormal Lare´gressionlognormalepeuteˆtreobtenueenconside´rantunere´gressionline´aire (Gaussienne)surlelogarithmeducouˆt, log(Y i )=X 0 i β+ε i avecε i ∼N (0,σ 2 ).Eneffet,parde´finitiondelaloilognormale,Y ∼ LN(µ,σ 2 )si etseulementsilogY ∼N (µ,σ 2 ).Leprincipalsoucisdanscete´critureestque  2    E (Y)=expµ+ σ 6 =exp(µ)=exp[ E (logY)] � 2
�
  Var(Y)=exp2µ+σ 2 expσ 2 − 1 6 =exp(σ 2 )=exp[Var(logY)] Autrementdit,ilserade´licatdepasserdesestimationsfaitespartirdumode`le surlogYdespre´dictionssurlecouˆtY.Unere´gressionsurlelogarithmedes couˆtsdonneraitparexemple, >reglm<-lm(log(cout)~ageconducteur,data=sinistres) >summary(reglm) 6

ArthurCHARPENTIER,Statistiquedel’assurance,sujetsspe ´ ciaux,STT6705V :llaC lm(formula=log(cout)~ageconducteur,data=sinistres) Coefficients: EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|) (Intercept)6.75015210.0224328300.905<2e-16*** ageconducteur0.00213920.00047274.5256.06e-06*** --- Signif.codes:0***0.001**0.01*0.05.0.11 Residualstandarderror:1.13on26442degreesoffreedom MultipleR-squared:0.0007738,AdjustedR-squared:0.0007361 F-statistic:20.48on1and26442DF,p-value:6.059e-06 >sigma=summary(reglm)$sigma Sions’inte´resselavaleurpre´ditepourunepersonned’aˆge ageconducteur=50 , onobtient 7

ArthurCHARPENTIER,Statistiquedel’assurance,sujetsspe ´ ciaux,STT6705V >mu=predict(reglm,newdata=data.frame(ageconducteur=50)) >exp(mu+sigma^2/2) 1 1799.239 Onnoteraquelesdeuxmode`lesdonnentdesre´sultatstre`ssensiblementdiffe´rents (entermedesigneparexemple).Onpeutcomparerlespre´dictionssurlaFigure 1(surlaquelledesre´gressionsnonparame´triquesonte´te´superpose´es). 8

ArthurCHARPENTIER,Statistiquedel’assurance,sujetsspe ´ ciaux,STT6705V Figure 1–Re´gressionslognormaleversusGamma, plique´parl’aˆgeduconducteur. u`oeloctuˆindividueltse-xe 9

ArthurCHARPENTIER,Statistiquedel’assurance,sujetsspe ´ ciaux,STT6705V LaFigure2montrelesmeˆmestypesdemode`lessil’onchercheexpliquerlecouˆt parl’anciennete´duve´hicule.Enparticulier,lacroissanceducouˆtmoyenen fonctiondel’aˆgeduve´hiculeestsurprenantecomptetenudelabaissedelacote duve´hciulel’argus, 01

ArthurCHARPENTIER,Statistiquedel’assurance,sujetsspe ´ ciaux,STT6705V Figure 2–Re´gressionslognormaleversusGamma, plique´parl’anciennete´duve´hicule. u`oeloctuˆindividuelestex- 11