Sur les équations qui se rencontrent dans la théorie de la transformation des fonctions elliptiques
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,/ia»|5iir'?Vv.:u I , , —y^wdciF^gr\- SUR LES ÉQUATIONS QUI SE B£NCO!(TR£NT DANS LA THÉORIE DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, PAR Le p. JOUBERT, S. J. SAIME-GENEVIÊVE,PROFESSEUR A l'ÉCOLE LINCEI.MEMBRE CORRESPONDANT DE L'ACADÉUIE PONTIFICALE DES NUOVI PARIS, GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE du bureau desDK l'École polytechnique, longitudes, DE MALLET-BACHELIERSUCCESSEUR Quai des Augustins, 55. 1876 Tous droits réserTég. ( ) •^ . THÈSE D'ANALYSE. SUR LES ÉQUATIONS QUI SE RENCONTRENT DANS LA THÉORIE DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. INTRODUCTION. L'étude des fonctions elliptiques conduit à un grand nombre d'équations algébriques dont les racines, prises séparément, sont des fonctions bien déteriiiinées. Celles que l'on rencontre dans la théorie de la transformation méritent surtout de fixer l'attention. On sait qu'à chaque transformation distincte d'ordre n sont attaciiées deux constantes, le module X et le multiplicateurM : elles dépendent du module k de la fonction donnée, et leurs diverses valeurs sont respec- tivement les racines de deux équations, l'équation modulaire et celle du multiplicateur, dont le degré est égal au nombre des transforma- tions. L'intérêt que présente leur étude est justifié, en ce qui concerne l'équation modulaire, par le lien étroit qui la rattache à d'importantes arithmétiquesnotions sur les sommes de nombres de classes quadra- tiques dont les déterminants suivent une certaine loi, ainsi que l'ont J.

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,/ia»|5iir'?Vv.:uI, ,
—y^wdciF^gr\-
SUR LES ÉQUATIONS
QUI SE B£NCO!(TR£NT DANS LA
THÉORIE DE LA TRANSFORMATION
DES
FONCTIONS ELLIPTIQUES,
PAR
Le p. JOUBERT, S. J.
SAIME-GENEVIÊVE,PROFESSEUR A l'ÉCOLE
LINCEI.MEMBRE CORRESPONDANT DE L'ACADÉUIE PONTIFICALE DES NUOVI
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
du bureau desDK l'École polytechnique, longitudes,
DE MALLET-BACHELIERSUCCESSEUR
Quai des Augustins, 55.
1876
Tous droits réserTég.
( )•^
.THÈSE D'ANALYSE.
SUR LES ÉQUATIONS QUI SE RENCONTRENT DANS LA THÉORIE
DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
INTRODUCTION.
L'étude des fonctions elliptiques conduit à un grand nombre
d'équations algébriques dont les racines, prises séparément, sont des
fonctions bien déteriiiinées. Celles que l'on rencontre dans la théorie
de la transformation méritent surtout de fixer l'attention. On sait
qu'à chaque transformation distincte d'ordre n sont attaciiées deux
constantes, le module X et le multiplicateurM : elles dépendent du
module k de la fonction donnée, et leurs diverses valeurs sont respec-
tivement les racines de deux équations, l'équation modulaire et celle
du multiplicateur, dont le degré est égal au nombre des transforma-
tions.
L'intérêt que présente leur étude est justifié, en ce qui concerne
l'équation modulaire, par le lien étroit qui la rattache à d'importantes
arithmétiquesnotions sur les sommes de nombres de classes quadra-
tiques dont les déterminants suivent une certaine loi, ainsi que l'ont
J. 2montré les beaux théorèmes découverts par MM. Kroneclier et Her-
l'équation du multiplicateur,mite sur ce sujet. Et quant à elle doit
multiplication complexe,servir dans la théorie de la sur laquelle
d'importants résultats.M. Kronecker a déjà obtenu
a signalé ces équations l'attention des géomè-Depuis que Jacobi à
tres, dans les Nova Fundamenta, eWes ont été l'objet de plusieurs tra-
vaux. Sohnke s'en est occupé le premier : il ne considère que le cas où
un nombrele degré de la transformation est premier w, et, après avoir
l'équation modulaire, il donne le moyenprouvé l'existence de de la
derniers temps, cette étude été repriseformer (*). Dans ces a par
dans un Ouvrage intitulé: DieM. Konigsberger, d'abord Transforma-
Multiplication und die Modulargleic/iungen dertion, die elliptischen
et, en second lieu, dans un Mémoire publié clans leFunctionen,
M. Borchardt, tome Malgré ces travauxJournal de 62, p. 176.
importants, il nous a semblé que le sujet prélait encore à de nou-
veaux développements. M. Konigsberger s'est limité au cas où n est
un nombre impair sans diviseur carré : dans ce travail, laissant de
côté cette exception, nous prenons pour n un nombre impair quel-
conque.
Voici la marche que nous avons suivie ; MM. Briot et Bouquet, dans
l'important Ouvrage qu'ils viennent de publier sur les fonctions ellip-
montré (**) que chaque transformation de degré « est ca-tiques, ont
ractérisée par une combinaison de trois nombres, n' , n", t, dont les
premiers ont n pour produit. Ce résultat nous a servi de pointdeux
départ. Toutefois, pour que la transformation relative à une com-de
binaison donnée, n\ n'\ i, soit propre au degré «, ces trois entiers
première question que nousdoivent être premiers entre eux. La
nombre des combi-devions résoudre était donc celle-ci : Quel est le
«', «", n'ont pas de diviseurnaisons t pour lesquelles ces trois entiers
CrcUe,(*) t. XVI, p. 97.
(**) 7Itcorie des elliptiques Ç>i'].fonctions
, i").(3)
commun? Ou, en d'autres termes : Quel est le nombre des transfor-
mations distinctes de degré «? Nous avons désigné ce nombre par
T{n) ouv; décomposant nen facteurs premiers et posant7i= a^b^c^,...,
on a
Ce point établi, il était facile, en se servant des formules données
par MM. Briot et Bouquet, pour la division des périodes (**), de
représenter, par les transcendantes elliptiques, les valeurs du module
et du multiplicateur de la fonction transformée. •
Les expressions ainsi obtenues mettent immédiatement en évidence
les trois nombres n'^n"^t qui caractérisent la transformation; mais
elles n'ont pas la forme si élégante que leur donne Jacobi, quiet per-
met Sohnke d'établir l'existence l'équationà de modulaire, lorsque ii
est premier. avons doncNous dû chercher à transformer les expres-
sions qui s'offraient à nous en celles des Nova Fundamejita et nous
avons reconnu qu'à chaque combinaison w', n", t correspondent effec-
tivement divers systèmes de deux nombres m^m'Wés aux premiers par
très-simplesdeux relations : le nombre de ces systèmes est le même
que celui des entiers inférieurs à tz et premiers avec n, et chacun
d'eux permet de mettre les expressions trouvées sous la forme que
leur donne Jacobi. Ce résultat obtenu, nous n'avions plus qu'à re-
prendre la démonstration de Sohnke pour établir l'existence, dans le
de n impair quelconque, soit decas l'équation modulaire, soit de celle
du multiplicateur.
permette, avantQu'on nous d'entrer en matière, une dernière obser-
vation. Les formules de Jacobi donnent pour représenter la racine qua-
du module X et la racine carréetrième du multiplicateurM des fonc-
tions bien déterminées, et en effet, comme Sohnke l'a reconnu, il
(*) Depuis, j'ai reconnu que le théorème énoncé ici avait été déujontré par
RI. Konigsberger dans l'Ouvrage cité, p. 70.
(**) Théorie desfonctions elliptiques, p. S\o.
2.
^M^-(4)
convient de prendre pour racine de l'équation modulaire les diverses
valeurs de Pourquoi, en ce qui concerne l'équation du multiplica-s/l.
teur, ne prend-on pas y^M pour inconnue? La raison de celte différence
tient à ce que la fonction bien déterminée qui définit garde las/ï
même valeur pour tous les systèmes de nombres tn, m' qui corres-
pondent à une combinaison n' n'\ t, tandis que celle qui donne estv'^
deux égales signes contraires, quandsusceptible de valeurs et de on
passe d'un système à un autre. Mais, si le degré n de la transformation
y/Mest un carré parfait, cette circonstance ne se présente plus, et alors
adopté,gardant toujours le même signe, quel que soit le système /w, m'
deil a lieu de prendre les diverses valeurs de y^M pour racinesy
l'équation du multiplicateur.

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