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Surfaces isogenous to a product [Elektronische Ressource] : their automorphisms and degenerations / vorgelegt von Wenfei Liu

64 pages
SURFACES ISOGENOUS TO A PRODUCT: THEIRAUTOMORPHISMS AND DEGENERATIONSDISSERTATIONzur Erlangungdes DOKTORGRADES (DR. RER. NAT.)der MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN FAKULTATder UNIVERSITAT BAYREUTHvorgelegt vonWENFEI LIUaus ZhejiangBAYREUTHJANUAR 2010iiUNIVERSITAT BAYREUTHFAKULTAT VON MATHEMATIKAngefertigt mit der Genehmigung der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult at der Universit at Bayreuth.Datum: Januar 20101. Referent: Fabrizio Catanese2. Referent: Jin-Xing Cai3. Referent: Nikolaos Tziolasiiiivto my parents.vTable of ContentsTable of Contents viAbstract viiZusammenfassung viiiAcknowledgments xErklarung xiiIntroduction 11 Preliminaries 31.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Surfaces isogenous to a product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Cartan’s lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Q-Gorenstein deformation theory of semi log canonical surfaces . . . 71.5 Stable surfaces and their moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Automorphisms and their action on cohomology 203 Stable degenerations of surfaces isogenous to a product 293.1 Smoothings of stable curves with group actions . . . . . . . . . . . . 293.2 Singularities of degenerations of surfaces isogenous to a product ofunmixed type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 of of surfaces isogenous to a product ofmixed type . . .
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SURFACES ISOGENOUS TO A PRODUCT: THEIR AUTOMORPHISMS AND DEGENERATIONS
DISSERTATION zur Erlangung des DOKTORGRADES (DR. RER. NAT.) ¨ der MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN FAKULTAT ¨ der UNIVERSITAT BAYREUTH
vorgelegt von WENFEI LIU aus Zhejiang
BAYREUTH JANUAR 2010
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¨ UNIVERSITAT BAYREUTH ¨ FAKULTAT VON MATHEMATIK
Angefertigt mit der Genehmigung der Mathematisch-NaturwissenschaftlichenFakulta¨tderUniversit¨atBayreuth.
1. Referent: Fabrizio Catanese
2. Referent: Jin-Xing Cai
3. Referent: Nikolaos Tziolas
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Datum: Januar 2010
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to
my
parents.
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Table of Contents
Table of Contents vi Abstract vii Zusammenfassung viii Acknowledgments x Erkl¨arungxii Introduction 1 1 Preliminaries 3 1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Surfaces isogenous to a product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Cartan’s lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4Q .-Gorenstein deformation theory of semi log canonical surfaces 7 . . 1.5 Stable surfaces and their moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Automorphisms and their action on cohomology 20 3 Stable degenerations of surfaces isogenous to a product 29 3.1 Smoothings of stable curves with group actions . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Singularities of degenerations of surfaces isogenous to a product of unmixed type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Singularities of degenerations of surfaces isogenous to a product of mixed type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 Connected components of the moduli space 43 Bibliography 49
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Abstract
In this thesis, we consider the automorphisms and stable degenerations of surfaces isogenous to a product. First we consider the action of the automorphisms on cohomology in the case where the groupG It is shown that, if the irregularity of the surface isis abelian. 2, the action of (G×G)/Gon the second cohomology is mostly faithful (Theorems 2.3 and 2.4). For surfaces with irregularity 0 or 1, examples are given (Examples 2.7 and 2.8). Then we consider the stable degenerations of surfaces isogenous to a product and classify the possible singularities on them (Corollaries 3.12 and 3.20). As a result, we show that theQ-Gorenstein deformations of the degenerations with certain singuarities are unobstructed and get some connected components of the moduli space of stable surfaces (Corollary 4.6).
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Zusammenfassung
KomplexealgebraischeFl¨achenisogenzueinemProduktvonKurvenwurdenvon Catanesein[Cat00]einf¨uhrt.DieseFl¨achensindvonderForm(C×D)/G, wobeiC undDzwei glatte Kurven von Geschlecht2 sind undGeine endliche Gruppe ist, die aufC×DdnosebennegiEereeifrEit.rkwiema¨hcieosegzneunischaftvoneinerFl ProduktvonKurvenistfolgende:dieFla¨chekanndurchdietopologischenInvarianten charakterisiertwerden.GegebenseieineFl¨acheSisogen zu einem Produkt, dann ist der ModulraumMSopt=MdfSifhzunFvohnehca¨lpromo¨moSentweder irreduzibel undzusammenh¨angendodererentha¨ltzweizusammenh¨angendeKomponenten,die durchkomplexerKonjugationineinanderu¨bergefu¨hrtwerden(Theorem1.7).Diese Fla¨chengebenvieleziemlicheinfacheBeispielevonFl¨achen,diedieomorphaber nichtdeformations¨aquivalentsind.EsgibtauchandereAnwendungen,zumBeispiel sindsiewichtig,umFla¨chenmitkleinenInvariantenzustudieren.VieleAutoren habenFla¨chenisogenzueinemProduktstudiert. In dieser Dissertation betrachten wir Wirkung der Automorphismengruppen von Fla¨chenisogenzueinemProduktaufderKohomologie,undstabileDegeneration vonsolchenFla¨chen.Wirbemerken,dasseseinestarkeBeziehungzwischenAuto-morphismenundderExistenzvonfeinenModulr¨aumengibt,undzwischenDegen-erationenundKompaktizierungenvonModulr¨aumenvonFl¨achenmitkanonischen Singularita¨tenauch.ImFall,dassdieIrregularit¨atq(S)2 ist undGist abelsch, zeigen wir, dass die Wirkung von (G×G)/Gauf der zweiten Kohomologiegruppe
viii
meistenseektivist.Wirklassizierenallem¨oglichenSingularita¨tenaufdiesensta-bilenDegenerationen.AlsweitereErgebnissek¨onnenwirzeigen,dassdieDeforma-tionenvondenDegenerationenmitbesonderenSingularit¨atenohneObstruktionen sind,undwirbekommeneinigeZusammenh¨angskomponentendesModulraumsvon stabilen Flachen. ¨ Der Inhalt dieser Dissertation ist in 4 Kapitel gegliedert. In Kapitel 1 geben wir eineEinleitung¨uberFl¨achenisogenzueinemProdukt,und¨uberstabileFla¨chen. WirerinnernanCartansLemma,dasunerla¨sslichzumStudiumvonGl¨attungvon Varieta¨tenmitGruppenwirkungist.Wirerkla¨rendienotwendigeTheorieu¨berQ-GorensteinDeformationen,diespa¨terfu¨rdieKompaktizierungvonModulraumbe-nutzt wird. In Kapitel 2 betrachten wir Untergruppen der Automorphismengruppe einerFla¨cheisogenzueinemProdukt,dieaufdieKohomologiegruppenwirken.Falls dieGruppeabelschistundfallsdieIrregularita¨tq(S) groß ist, dann zeigen wir, dass derKernderWirkungtrivialist.InKapitel3gebenwireinevollst¨andigeKlassika-tionvonSingularita¨tenaufDegenerationenvonFla¨chenisogenzueinemProdukt. WirstudiereninSektion3.1dieGl¨attungvonstabilenKurvenmiteinerGruppen-wirkung,indenSektionen3.2und3.3dieGl¨attungvoneinemProduktvonzweista-bilenKurvenmiteinerGruppenwirkung.DieGl¨attbarkeitistcharakterisiertdurch m¨oglichenStabilisatorenderWirkung,unddieSingularit¨atenderDegenerationsind nurQuotientenvongewissenvollst¨andigenDurchschnittsingularita¨ten,modulodie Stabilisatoren. In Kapitel 4 betrachten wirQ-Gorenstein Deformationen der Degen-erationen, die wir im Kapitel 3 bekommen haben. Wir sehen, dass dieQ-Gorenstein DeformationenohneObstruktionsind,fallsdiestabileFl¨ache,diewirbetrachten, keineSingularita¨tenvonTyp(U2c) oder (Morllm(attoiK)201Dn.u3rad2..3h¨al)ent k¨onnenwirzeigen,dassdiestabileKompaktizierungvonmanchenModulr¨aumen vonFl¨achenisogenzueinemProduktschoneineZusammenhangskomponentendes ModulraumsvonstabilenFla¨chenist.
ix
Acknowledgments
I would like to thank my advisor Professor Fabrizio Catanese for suggesting this research and for his patience and encouragement during many discussions. The idea of classifying the singularities of degenerations of surfaces isogenous to a product originates from him. I learned a lot from him about the way to do mathematics. The staff in Lehrstuhl VIII Mathematik of Bayreuth University made an excellent atmosphere to do research and discuss there. I am very grateful for their hospitality and support. I want to thank Fabio Perroni for several discussions during the prepa-ration of this thesis. I also benefited from talks with Mario Chan, Matteo Penegini, MichaelL¨onne,ProfessorIngridBauerandStephenCoughlanonmanyoccasions.It is a great pleasure to express my sincere gratitude for Frau Rostock, the secretary of Lehrstuhl VIII. She can always help me with urgent practical issues. Also during the process of my application for the doctor degree in Bayreuth University, Matteo, Pro-fessor Fabrizio Catanese and Professor Ingrid Bauer helped me a lot to communicate with the committee. Matteo spent much time helping me write a German translation of the introduction of the thesis. Stephen saved me from many errors in English. I am very grateful for all these. I want to thank my domestic advisor Professor Jinxing Cai for constant encour-agement and for teaching me how to do mathematics. ThanksalsogotoSo¨nkeRollenskeforseveralconversationsandforacareful reading of my note. This work was completed at Bayreuth University under the financial support of China Scholarship Council “High-level university graduate program”and DFG
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Forschergruppe 790 “Classification of algebraic surfaces and compact complex mani-
folds ”. Thanks to their support, I had the opportunities to attend several conferences
and summer schools both in Germany and
the
international
mathematics
community.
xi
Italy,
which
greatly
expanded
my
view
of