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Synchronization in Delay-Coupled Laser Networks [Elektronische Ressource] / Thomas Dahms. Betreuer: Eckehard Schöll

239 pages
Synchronization inDelay-Coupled Laser Networksvorgelegt vonDiplom-PhysikerThomas Dahmsaus Rüdersdorfvon der Fakultät II – Mathematik und Naturwissenschaften –der Technischen Universität Berlinzur Erlangung des akademischen GradesDoktor der Naturwissenschaften– Dr. rer. nat. –genehmigte DissertationPromotionsausschuss:Vorsitzender: Prof. Dr. Christian ThomsenBerichter: Prof. Dr. Eckehard Schöll, PhD Prof. Dr. Wolfgang KinzelTag der wissenschaftlichen Aussprache: 16. Juni 2011Berlin 2011D 83To Emil and MatteoAbstractIn this work I investigate patterns of synchronization in networks of semiconductorlasers. Two main questions arise when studying synchronization phenomena in thesenetworks: (i) What kind of synchronization patterns can exist in a given network and(ii) is the synchronization stable? The basis for this study is formed by the chaoticdynamics that lasers may exhibit when coupled via time-delayed links. The lasers aremodeled by the well established Lang-Kobayashi model. The main focus lies on thecharacterization of network topologies and parameter regimes that generate distinctpatterns of synchronization in such laser networks.Since the stability analysis can be carried out only numerically for chaotic dynamics, Icomplement my investigations by another model for the local dynamics in the networks’nodes – the Stuart-Landau oscillator. These nonlinear equations represent a normalform for any periodic dynamics near a Hopf bifurcation.
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Synchronization in
Delay-Coupled Laser Networks
vorgelegt von
Diplom-Physiker
Thomas Dahms
aus Rüdersdorf
von der Fakultät II – Mathematik und Naturwissenschaften –
der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Naturwissenschaften
– Dr. rer. nat. –
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. Christian Thomsen
Berichter: Prof. Dr. Eckehard Schöll, PhD Prof. Dr. Wolfgang Kinzel
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 16. Juni 2011
Berlin 2011
D 83To Emil and MatteoAbstract
In this work I investigate patterns of synchronization in networks of semiconductor
lasers. Two main questions arise when studying synchronization phenomena in these
networks: (i) What kind of synchronization patterns can exist in a given network and
(ii) is the synchronization stable? The basis for this study is formed by the chaotic
dynamics that lasers may exhibit when coupled via time-delayed links. The lasers are
modeled by the well established Lang-Kobayashi model. The main focus lies on the
characterization of network topologies and parameter regimes that generate distinct
patterns of synchronization in such laser networks.
Since the stability analysis can be carried out only numerically for chaotic dynamics, I
complement my investigations by another model for the local dynamics in the networks’
nodes – the Stuart-Landau oscillator. These nonlinear equations represent a normal
form for any periodic dynamics near a Hopf bifurcation. In this model, the question
of stability of synchronization can be answered by derivations of analytic equations.
Furthermore, I show how conditions for the coupling parameters can be derived that
allow for the selection and control of desired synchronization states.
At the heart of the stability analysis is the master stability function introduced by Pecora
and Carroll. This formalism allows one to separate the network dynamics from the
network topology, which is only used in terms of the eigenvalues of the coupling matrix.
I extend this theory for networks where delay-induced dynamics becomes important
and show in detail the application to such delay-coupled networks in general and to
laser and oscillator networks in particular. For laser networks, I study particular network
topologies – simple network motifs as well as complex random networks – for different
regimes of the laser dynamics. I will also make use of a symmetry argument of the
master stability function that was recently shown in the limit of large coupling delay
times. In addition, multiple delay times are dealt with by an extension to multiple
coupling matrices.
Isochronous synchronization is the most prominent type of synchronization, but I show
that certain topologies may instead exhibit cluster synchronization depending on sym-
metries in the network. For a better understanding of this dynamical scenario, I extend
a formalism by Sorrentino and Ott that enables a stability analysis of these patterns
of synchronization. The original approach has a restriction on the allowed topologies,
which I partly lift by introducing multiple coupling matrices. As an application of this
theory I consider examples of simple hierarchical networks.
In networks of Stuart-Landau oscillators different cluster states may coexist depending
upon the coupling parameters. I elaborate this finding by analytic results similar to the
case of isochronous synchronization. Furthermore, I show in detail the derivation of a
rigorous condition for the coupling phase, under which all but one of the multistable
states can be suppressed and thus a desired state can be deliberately selected.Zusammenfassung
In dieser Arbeit untersuche ich Synchronisationszustände in Netzwerken aus Halblei-
terlasern. Zwei wichtige Fragen stellen sich bei der Untersuchung von Synchronisation
in diesen Netzwerken: (i) Welche Arten von Synchronisation können in einem bestimm-
ten Netzwerk existieren und (ii) Sind diese Zustände stabil? Das Fundament für diese
Untersuchungen ist durch die chaotische Dynamik gegeben, die Laser mit zeitverzö-
gerter Kopplung zeigen können. Die Laser werden hierbei durch das etablierte Lang-
Kobayashi-Modell modelliert. Das Hauptaugenmerk liegt hier in der Charakterisierung
der Netzwerktopologien und Parameterbereiche, die die Entstehung bestimmter Syn-
chronisationsmuster in solchen Netzwerken aus Halbleiterlasern beeinflussen.
Für chaotische Dynamik kann die Stabilitätsanalyse nur rein numerisch erfolgen. Daher
beziehe ich ein weiteres Modell für die lokale Dynamik der Netzwerkknoten in meine
Untersuchungen ein – den Stuart-Landau-Oszillator. Die entsprechenden nichtlinearen
Gleichungen stellen eine Normalform für jegliche periodische Dynamik in der Nähe
einer Hopf-Bifurkation dar. Die Frage der Stabilität der Synchronisation kann in diesem
Modell mit Hilfe analytischer Gleichungen beantwortet werden. Weiterhin zeige ich
die Ableitung von Bedingungen an die Kopplungsparameter, die es erlauben, gezielt
bestimmte Synchronisationszustände auszuwählen und zu kontrollieren.
Im Zentrum der Stabilitätsanalyse steht die Master stability function, die auf Pecora
und Carroll zurück geht. Dieser Formalismus erlaubt eine Abspaltung der Dynamik von
der Topologie des Netzwerks, charakterisiert durch die Eigenwerte der entsprechenden
Kopplungsmatrix. Ich erweitere diese Theorie für Netzwerke, in denen die Dynamik
durch die zeitverzögerte Kopplung induziert wird. Die Anwendung auf Netzwerke mit
zeitverzögerter Kopplung im Allgemeinen und auf Laser-Netzwerke und aus
Oszillatoren im Speziellen werde ich detailliert darstellen. Für Laser-Netzwerke unter-
suche ich die Synchronisierbarkeit in verschiedenen Netzwerktopologien, von einfa-
chen Netzwerkmotiven bis hin zu komplexen Zufalls-Netzwerken. Dabei werde ich ein
Symmetrie-Argument benutzen, dass die Form der Master stability function für große
Verzögerungszeiten vorhersagt.
Isochrone Synchronisation ist die bekannteste Art der Synchronisation. Ich zeige, dass
bestimmte Topologien eine weitere Art der Synchronisation zeigen – Cluster-Synchroni-
sation. Zum Verständnis dieser dynamischen Szenarien erweitere ich einen Formalismus
von Sorrentino und Ott, der eine Stabilitätsanalyse für Cluster-Synchronisation erlaubt.
Dieser ursprüngliche Formalismus beinhaltet eine Beschränkung für die möglichen To-
pologien. Durch die Einführung mehrerer Kopplungsmatrizen hebe ich diese Beschrän-
kung teilweise auf. Als Anwendung dieser Theorie zeige ich Ergebnisse für einfache
hierarchische Netzwerke.
In Netzwerken aus Stuart-Landau-Oszillatoren können je nach Wahl der Kopplungs-
parameter mehrere verschiedene Cluster-Zustände gleichzeitig stabil sein. Ich erkläre
diese Multistabilität an Hand analytischer Gleichung ähnlich wie im Fall isochroner
Synchronisation. Außerdem zeige ich die Ableitung einer strengen Bedingung für die
Kopplungsparameter, mit Hilfe dieser die Multistabilität unterdrückt und gezielt ein be-
stimmter Synchronisationszustand eingestellt werden kann.Publications
CHOE, C.-U., DAHMS, T., HÖVEL, P., AND SCHÖLL, E. (2010). Controlling synchrony by
delay coupling in networks: from in-phase to splay and cluster states. Phys. Rev. E
81, 025205(R).
CHOE, C.-U., DAHMS, T., HÖVEL, P., AND SCHÖLL, E. (2011). Control of synchrony by
delay coupling in complex networks. In Proceedings of the Eighth AIMS International
Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications. In print.
DAHMS, T., FLUNKERT, V., HENNEBERGER, F., HÖVEL, P., SCHIKORA, S., SCHÖLL, E., AND
WÜNSCHE, H. J. (2010). Noninvasive optical control of complex semiconductor laser
dynamics. Eur. Phys. J. ST 191, 71.
DAHMS, T., HÖVEL, P., AND SCHÖLL, E. (2007). Control of unstable steady states by
extended time-delayed feedback. Phys. Rev. E 76, 056201.
DAHMS, T., HÖVEL, P., AND SCHÖLL, E. (2008). Stabilizing continuous-wave output in
semiconductor lasers by time-delayed feedback. Phys. Rev. E 78, 056213.
DAHMS, T., LEHNERT, J., AND SCHÖLL, E. (2011). Cluster and group synchronization in
delay-coupled laser networks. In preparation.
FLUNKERT, V., YANCHUK, S., DAHMS, T., AND SCHÖLL, E. (2010). Synchronizing distant
nodes: a universal classification of networks. Phys. Rev. Lett. 105, 254101.
HEINRICH, M., DAHMS, T., FLUNKERT, V., TEITSWORTH, S. W., AND SCHÖLL, E. (2010). Sym-
metry breaking transitions in networks of nonlinear circuit elements. New J. Phys.
12, 113030.
HÖVEL, P., DAHLEM, M. A., DAHMS, T., HILLER, G., AND SCHÖLL, E. (2009). Time-delayed
feedback control of delay-coupled neurosystems and lasers. In Preprints of the Second
IFAC meeting related to analysis and control of chaotic systems (CHAOS09). World
Scientific. (arXiv:0912.3395).
LEHNERT, J., DAHMS, T., HÖVEL, P., AND SCHÖLL, E. (2011). Loss of synchronization in
complex neural networks with delay. Submitted.10

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