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Généralisation de formules de type Waring

9 pages
G´en´eralisation de formules de type Waring
Fr´ed´eric Jouhet et Jiang Zeng
Institut Girard Desargues
Universit´e Claude Bernard (Lyon 1)
69622 Villeurbanne Cedex, France
Email: jouhet@desargues.univ-lyon1.fr
zeng@desargues.univ-lyon1.fr
Abstract
Weevaluate thesymmetricfunctionse , h andp onthealphabetk k k
{x /(1 − tx )} by elementary methods and give the related generat-r r
ing functions. Our formulas lead to a new and short proof of an ex-
conjecture of Lassalle [3], which was proved by Lascoux and Lassalle
[1] in the framework of λ-rings theory.
1 Introduction
L’un des probl`emes fondamentaux dans l’´etude de fonctions sym´etriques
est le d´eveloppement d’une fonction sym´etrique sur certaines bases lin´eaires
de l’alg`ebre des fonctions sym´etriques. Un r´esultat classique de Waring ex-
plicite led´eveloppement des fonctionssym´etriques puissances p dansla basen
lin´eaire des fonctions sym´etriques ´el´ementaires (e ).λ
Danscetarticlenousg´en´eralisonslaformuledeWaringend´eveloppant les
fonctionssym´etriquespuissancesp ´evalu´eessurl’alphabetY = {x /(1−tx ),n 1 1
x /(1−tx ),...}danslabaselin´eairedesfonctionssym´etriques´el´ementaires2 2
(e ) ´evalu´ees sur l’alphabet X = {x ,x ,...}. De mˆeme nous consid´erons leλ 1 2
probl`eme inverse, c’est-`a-dire, le d´eveloppement des fonctions sym´etriques
h et e ´evalu´ees sur l’alphabet Y dans la base des fonctions puissances pn n μ
´evalu´ees sur l’alphabet X. Dans le dernier cas nous aurons besoin d’un coef-
ficient ...
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G´en´eralisationdeformulesdetypeWaring
Fre´d´ericJouhetetJiangZeng Institut Girard Desargues Universit´eClaudeBernard(Lyon1) 69622 Villeurbanne Cedex, France Email: jouhet@desargues.univlyon1.fr zeng@desargues.univlyon1.fr
Abstract We evaluate the symmetric functionsek,hkandpkon the alphabet {xr/(1txr)}by elementary methods and give the related generat ing functions. Our formulas lead to a new and short proof of an ex conjecture of Lassalle [3], which was proved by Lascoux and Lassalle [1] in the framework ofλrings theory.
Introduction
Lundesprobl`emesfondamentauxdansl´etudedefonctionssym´etriques estled´eveloppementdunefonctionsym´etriquesurcertainesbaseslin´eaires delalge`bredesfonctionssyme´triques.Unre´sultatclassiquedeWaringexplicitelede´veloppementdesfonctionssym´etriquespuissancespndans la base lin´eairedesfonctionssyme´triquese´le´mentaires(eλ). Danscetarticlenousg´en´eralisonslaformuledeWaringend´eveloppantles fonctionssyme´triquespuissancespnallursseeu´alev´tehpbaY={x1/(1tx1) , x2/(1tx2), . . .}iresl´ementairuqsee´snys´mteonsfioctai´ederesabaniledlsna (eλessurla)´evalu´eplahebtX={x1, x2, . . .}meˆeusnoem.Dsnorelsnoce´di proble`meinverse,cest`adire,led´eveloppementdesfonctionssyme´triques hnetente´velau´eessurlalphabYdans la base des fonctions puissancespµ ´evalue´essurlalphabetX. Dans le dernier cas nous aurons besoin d’un coef cientbinomialge´ne´ralis´eintroduitparLassalle[2].Nousende´duisonsensuite,commeapplications,desd´eveloppementsinte´ressants,quiconduisent
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en particulier de nouvelles preuves des exconjectures de Lassalle [2, 3]. Dautrespreuvesdecesconjecturesont´et´etoutre´cemmentdonne´espar Lascoux et Lassalle [1] dans le cadre desλanneaux. Notre approche repose essentiellementsurlop´erateurdie´rentieldelalg`ebredess´eriesformelles.Il estremarquablequele´tudedunproble`mesie´l´ementairepuisseconduire`a unepreuvetre`ssimpledelidentit´edeLascouxetLassalle. Nous terminons cette introduction par un rappel [4, Chap.1] des formules quiserontutilis´eesdanslasuite.Observonsdabordque    ! k1k1 X X n1t d n1n1   ant=ant .(1) k1 (k1)!dt n1n1 P P n n1 Comme le atisfo (X)t= s fonctions puissancespn(X) =r1xrs ntn1pn P x /(1x t), et pour toutk1 r1r r   k1k1 d1x = (k1)!, k dt1xt(1xt) nousende´duisonsdonc     k1 X d n1(k1)!tx1tx2   pn(X)t=pk.. . . , , (2) k dt t1tx11tx2 n1 Q mi(µ) Pour toute partition d’entiersµon posezµ=i1i mi(µ)!,ou`mi(µ) est le nombre de parts dansµgale´ea`si1, et pour tout entiernpositif on µ de´nitlecoecientbinomialg´ene´ralise´h iomenedbrete´tlanmmocnscoa¸ef n de choisirnagraledieFermmededersrme´le´snadstneµ, dont au moins un par ligne. Lesfonctionssyme´triqueshn(X) eten(Xsiupsnoitcno)ostnile´seuafx Q sancespµ(X) =r1pµr(X) par la formule : X 1 hn(X) =z pµ(X),(3) µ µ`n X nl(µ)1 (1)p en(X) =zµ µ(X).(4) µ`n
Linversedeladerni`ereestappel´eeformule de Waring[5]:
X n(l(λ)1)! nl(λ) pn(X() = 1)Qeλ(X). λ`n imi(λ)!
2
(5)
Par l’involutionωeine´drapω(en) =hnon a aussi [4, p. 24]
X n(l(λ)1)! l(λ)1 pn(X() = 1)Qhλ(X). imi(λ)! λ`n
(6)
On notemµ(Xlaaesscoeuomonimym´etriqonctionsfal)nioitrtpala`aeei´µ. Nous remercionsMichel Lassallepour ses remarques amicales sur une versionant´erieuredecetarticle.
2
Re´sultatsprincipaux
X SoitX={x1, x2, . . .}unensemblenioniudin´dnireten´miseeet 1tX x1x2 l’alphabet{, , . . .}. 1tx11tx2 Th´eor`eme1Pour toutk1on a  !   X X|µ|k(l(µ)1)! |µ|−k|µ|−l(µ) pk=t(1)Qeµ(X),(7) 1tX kimi(µ)! |µ|≥k  !   X X|µ|k(l(µ)1)! |µ|−k l(µ)1 pk=t(1)Qhµ(X).(8) 1tX kimi(µ)! |µ|≥k
D´emonstration.
Les formules (1) et (2) impliquent directement  !   X X j1 jk pk=t pj(X). 1tX k1 jk
Onende´duitdonc(7)et(8)respectivementde(5)et(6). Parlamˆememe´thodenousobtenonsler´esultatsuivant.
Th´eor`eme2Pour tout entierk1on a  µ X Xh i |µ|−k k hk=t pµ(X), 1tX zµ |µ|≥k  µ X Xh i |µ|−k kl(µ)k ek=t(1)pµ(X). 1tX zµ |µ|≥k
3
(9)
(10)
D´emonstration.Notons d’abord que  !  l X Y µ µi =, k k k+∙∙∙+k=ki 1li=1 k ,...,k1 1l Q ou`l=l(µ). Comme chaque partitionµdejcoa`opdnrrsel(µ)!/i1mi(µ)! compositions (k1, . . . , kl) dejtelles que (k1, . . . , kl) soit une permutation des parts deµ, nous avons, en tenant compte de (1) et (2),   kl(µ) X X α µ jk t pµ(X) zµk jk µ`j  ! klk l X Y X α t µr1 µr =pµr(X)t k+∙∙∙+k=kl!k1∙ ∙ ∙klkr1 1lr=1µr1 l1   kkl l r1 X Y X α d n1   =pn(X)t k+∙∙∙+k=kl!k1!∙ ∙ ∙kl !dt 1lr=1n1 l1   kl(µ) X α x1x2 =pµ., , . . . zµ1tx11tx2 µ`k En posantα= 1 (resp.n,)1esuo´endisdus(on(r9)se.p1()0e)anppilquant (3) (resp. (4)). Remarque.1) Lorsquet= 0 on retrouve les formules classiques de type Waring. 2)Danslesth´eor`emes1et2,tnparam`etestquun´ugnee´tiee´rm,dioahvosm leroˆleimportantquiljouedansnotrede´monstration,nouspre´fe´ronsgarder cette forme. Rappelons quehn(X) eten(Xioctonrfoutpon):nsg´en´eratrices X Y 1 n hn(X)t=,(11) 1xrt n0r1 X Y n en(X)t= (1 +xit).(12) n0i1 Th´eor`eme3SoitzetX={x1, x2, . . .}ee´nimreepe´dnisdetd´inesnadn.set Alorslas´erieformelle   Y u txr z F(t, u) = (1 +u) 1 + 1 +u1txr r1
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