The renormalised quark mass in the Schrödinger functional of lattice QCD [Elektronische Ressource] : a one-loop calculation with a non-vanishing background field / von Stefan Kurth

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• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2002
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• Langue: English
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Extrait

The Renormalised Quark Mass in the
Schr¨odinger Functional of Lattice QCD
A One–Loop Calculation with a Non–Vanishing Background Field
D I S S E R T A T I O N
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Physik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat¨ I
der Humboldt-Universit¨at zu Berlin
von
Dipl.-Phys. Stefan Kurth
geboren am 10.04.1971 in Berlin
Pr¨asident der Humboldt-Universit¨at zu Berlin:
Prof. Dr. J. Mlynek
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at I:
Prof. Dr. M. Linscheid
Gutachter:
1. Prof. Dr. Ulrich Wolff
2. Prof. Dr. Michael Muller-Preußk¨ er
3. Dr. Peter Weisz
eingereicht am: 06.06.2002
Tag der mundlic¨ hen Prufung:¨ 04.09.2002Abstract
The renormalised quark mass in the Schr¨odinger functional is studied perturba-
tively with a non–vanishing background field.
The framework in which the calculations are done is the Schr¨odinger func-
tional. Its definition and basic properties are reviewed and it is shown how to
make the theory converge faster towards its continuum limit by O(a) improve-
ment. It is explained how the Schr¨odinger functional scheme avoids the implica-
tions of treating a large energy range on a single lattice in order to determine the
scale dependence of renormalised quantities. The description of the scale depen-
dencebythestepscalingfunctionisintroducedbothfortherenormalisedcoupling
and the renormalised quark masses. The definition of the reno co
in the Schr¨odinger functional is reviewed, and the concept of the renormalised
mass being defined by the axial current and density via the PCAC–relation is
explained. The running of the renormalised mass described by its step scaling
function is presented as a consequence of the fact that the renormalisation con-
stant of the axial density is scale dependent.
The central part of the thesis is the expansion of several correlation functions
up to 1–loop order. The expansion coefficients are used to compute the critical
quark mass at which the renormalised mass vanishes, as well as the 1–loop coef-
ficient of the renormalisation constant of the axial density. Using the result for
this renormalisation constant, the 2–loop anomalous dimension is obtained by
conversion from the MS–scheme.
Anotherimportantapplicationofperturbationtheorycarriedoutinthisthesis
is the determination of discretisation errors. The critical quark mass at 1–loop
orderisusedtocomputethedeviationofthecoupling’sstepscalingfunctionfrom
its continuum limit at 2–loop order. Several lattice artefacts of the current quark
mass, defined by the PCAC relation with the unrenormalised axial current and
density, are computed at 1–loop order. An essential property of the renormalised
quark mass being computed in this thesis at 1–loop order is the deviation of its
step scaling function from the continuum limit, which was so far only known for
the zero background field case.
Keywords:
lattice QCD, renormalised quark mass, perturbation theory, O(a) improvementZusammenfassung
DieseArbeitbefasstsichmitstorung¨ stheoretischenRechnungenzurrenormierten
QuarkmasseimSchr¨odinger-FunktionalmitnichtverschwindendemHintergrund-
feld.
Als Grundlage der Rechnungen werden das Schr¨odinger-Funktional und seine
grundlegendenEigenschaftenerl¨autert.AuchdieO(a)-Verbesserung,diezueinem
schnelleren Erreichen des Kontinuumslimes fuhr¨ en soll, wird in diesem Zusam-
menhangdargestellt.Desweiterenwirderkl¨art,aufwelcheWeisedasSchr¨odinger-
Funktional dazu dient, das Skalenverhalten renormierter Gr¨oßen ub¨ er einen gro-
ßen Energiebereich zu untersuchen. Das Skalenverhalten sowohl der renormierten
Kopplung als auch der renormierten Quarkmassen wird in diesem Schema durch
Step-Scaling-Funktionen beschrieben. Die Definition der renormierten Kopplung
wird dargestellt, ebenso die Definition der renormierten Masse, die mit Hilfe der
PCAC-Relation ub¨ er den Axialvektorstrom und die Pseudoskalardichte erfolgt.
Die Skalenabh¨angigkeit der renormierten Masse wird auf die Skalenabh¨angigkeit
der Renormierungskonstanten der Pseudoskalardichte zuruc¨ kgefuhrt.¨
Breiten Raum nimmt die Berechnung verschiedener Korrelationsfunktionen
bis zur Ein-Loop-Ordnung in St¨orungstheorie ein. Mit Hilfe der so ermittelten
Koeffizienten wird die kritische Quarkmasse, bei der die renormierte Masse ver-
schwindet, in Ein-Loop-N¨aherung berechnet, ebenso der Ein-Loop-Koeffizent der
Renormierungskonstanten der Pseudoskalardichte. Mit Hilfe dieses Koeffizien-
ten wird aus der bekannten anomalen Dimension in Zwei-Loop-Ordnung im MS-
Schema die anomale Dimension im Schr¨odinger-Funktional berechnet.
Als weitere Anwendung der St¨orungstheorie werden verschiedene Diskretisie-
rungsfehlerbestimmt.DiekritischeQuarkmasseinEin-Loop-Ordnunggehtinden
Zwei-Loop-KoeffizientendesDiskretisierungfehlersderStep-Scaling-Funktionder
renormiertenKopplungein,derdurchdieAbweichungdieserFunktionvonihrem
Kontinuumslimesdefiniertist.VerschiedeneDiskretisierungsfehlerderStrommas-
se, die durch die PCAC-Relation mit unrenormiertem Axialvektorstrom und
Pseudoskalardichte definiert ist, werden in Ein-Loop-Ordnung berechnet. Ein
wichtigerDiskretisierungsfehlerderrenormiertenQuarkmasseistdieAbweichung
ihrerStep-Scaling-FunktionvomKontinuumslimes.DieserFehleristinEin-Loop-
Ordnung bislang nur mit verschwindendem Hintergrundfeld bekannt und wird in
dieser Arbeit mit nicht verschwindendem Hintergrundfeld berechnet.
Schlagworter:¨
Gitter-QCD, renormierte Quarkmasse, St¨orungstheorie, O(a)-VerbesserungAcknowledgements
In one way or another, many people have contributed to this thesis and deserve
some words of thanks.
First of all, I would like to thank my supervisor Ulli Wolff, both for taking me
as a PhD student and for the guidance afterwards. Writing this thesis would not
have been possible without his advice, which I should have asked for more often.
VeryimportantcontributionscamefromPeterWeisz,whosenumericalchecks
were essential for the results in this thesis. During our correspondence, I recog-
nised that the title “Mister Perturbation Theory”, given to him by a colleague,
is completely justified.
Furthermore, I would like to thank Rainer Sommer, who was so nice to have
a critical look at my results even when being on holiday. It were some remarks of
his that gave me the important idea that results looking wrong at a first glance
are sometimes correct.
A colleague worth mentioning is Juri Rolf, not only for his ability to create
a humorous atmosphere in the office we shared, but also for essential checks on
the results.
WithoutBurkhardBunkandhisskillsinsolvingcomputerproblems,thepro-
ject would have failed right from the beginning. In this context, I would also like
to thank Martin Hasenbusch for useful hints on using the right Fortran compiler,
and Bernd Gehrmann, both for his help in debugging some programs and for
critical reading of the manuscript of this thesis.
Concerning critical looks, I am also grateful to Francesco Knechtli and to my
brother Martin for participating in a thorough–going discussion of the results.
Furthermore, I would like to thank all members of the computational physics
group at Humboldt University not mentioned so far for contributing to the plea-
sant atmosphere making my stay here an agreeable time. Gratefully, I also have
to mention the Graduiertenkolleg 271 for ensuring my survival on the financial
front.
Last but not least, I would like to thank Alice Rolf and Paul Hasenbusch for
making my time as a PhD student more entertaining than it would have been
without them.Contents
1 Introduction 1
2 QCD on the lattice 5
2.1 Lattice gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Fermions on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 The na¨ıve fermion action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Fermion doubling and chiral symmetry . . . . . . . . . . . 7
2.3 Symanzik’s improvement programme . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Renormalised parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 The renormalised coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 The renor quark masses . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.3 Finite renormalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 The Schro¨dinger functional 15
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Definition of the Schr¨odinger functional . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1 Formal definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.2 Fermions in the Schroding¨ er functional . . . . . . . . . . . 19
3.3 Lattice formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.1 The Schr¨odinger functional action on the lattice . . . . . . 20
3.3.2 The background field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 O(a) improvement of the Schrodinger¨ functional . . . . . . . . . . 23
3.5 The renormalised coupling in the Schr¨odinger functional . . . . . 25
3.5.1 Definition of the coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5.2 The step scaling function and its lattice arte