Théorie des fonctions doublement périodiques et, en particulier, des fonctions elliptiques;

M. (Charles) Briot, M. (Jean Claude) Bouquet

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• Elliptic function

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Extrait

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THE LIBRARY
OF
THE UNIVERSITY
OF CALIFORNIA
«ath. Stat.
GIFT OF
Charles ^. JohnsonQi^THÉORIE
FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIOUES
ET, EN PARTICULIER
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.Stat,Math.
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STATi
MATIERESf^TABLE DES
Pages.
^viiPRÉFACE
LIVRE I.
PRINCIPES.
- Définitions.CHAPITRE I.—
imaginaire 2Fonctions d'une variable
—Fonction monodronie. Exemples 3
— Conditions pour qu'une fonction soit monogène.
monogène 7
11Fonction syneclique
— séries ordonnées suivant lesCHAPITRE II. Propriétés des
et croissantes de la variable.puissances entières
séries 11Théorèmes sur les
Cercle de convergence 1 3
Une série ordonnée suivant les puissances entières de la varia-
synectique dans le cercle de convergence. 18ble est une fonction
—CHAPITRE III. Développement*des fonctions en séries ordonnées
suivant les puissances entières de la variable.
Propriétés des intégrales définies quand on fait varier la ligne
20d'intégration
fonction est dévclop-Caractères auxquels on reconnaît si une
pable en une série convergente ordonnée suivant les puis-
sance.s positives de la variable. ..... 26entières, croissantes et
—Série de Maclaurin. Série de Taylor 27
ordonnéeDéveloppement d'une fonction en une double série
suivant entières, positives et négatives de lales puissances
variable 3 :1
Développement des fonctions de plusieurs variables indépen-
dantes 3â
» i 388,
MATIERES.vin TABLE DES
Pages,
Toute fonction doublement périodique, mono-Théorème II.
monogène, admet au moins deux infinis dans chaquedrome et
parallélogramme élémentaire 8i
Théorème III. Chaque parallélogramme élémentaire renferme
autant de zéros que d'infinis 8i
Classification doublement périodiques 82des fondions
Théorème La n valeurs de la variableIV. somme des qui
dans un même parallélogramme élémentaire, correspondent à
une valeur d'une (onction doublement périodique d'ordre riy
est constante , 83
ThéorÈ5ie V. Il existe une fonction doublement périodique du
second ordre, monodrome et monogène, i\ç\\^ayant pé-
riodes données, deux infinis donnés et deux zéros donnés,
pourvu que la somme des zéros soit équivalente à celle des
infinis. 84
Théorème VI. Il existe une fonction doublement périodique,
monodrome et monogène, d'ordre «, ayant deux périodes
données, n infinis donnés, et n zéros donnés, pourvu que la
somme des zéros soit équivalente à celle des infinis 88
Théorème VII. Deux fonctions doublement périodiques mono-
dromes et nionogènes
, d'ordre (ini , et dont les parallélo-
grammes élémentaires formés d'une manière convenable, sont
contenus exactement dans un môme parallélogramme, sont
fonctions algébriques l'une de l'autre 89
Corollaire I. Il existe une relation algébrique entre une fonc-
tion doublement périodique d'ordrequelconque et sa dérivée, 00
Corollaire II. Toute fonction doublement périodique du se-
cond ordre satisfait uneà équation différentielle de la forme
= U, U désignant un j)olynôme entier1^1 en U du troi-
sième ou du (piatrième degré qq
Théorème VIII. Une fonction doublementpériodique, de l'ordre
n, s'exprime rationnellement au moyen d'une fonction du se-
cond ordre aux mémos périodes et de sa dérivée 02
Remarques
3
Théorème IX. Lorsqu'une fonction monodrome et monoL-ène
a ses infinis et ses zéros (lis|)osés pai' grouj)es égaux et é(|ui-
disliinls suivani «Irux directions diffVMcntes, et (juc dans