Théorie élémentaire des fonctions elliptiques

Hermann Laurent

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• Elliptic function

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Extrait

ÉLÉMENTAIRETHÉORIE
ELLIPTIQUES.FO^CTIONS
/
il2*Matliematiques, série,des Nouvelles Annales deExtrait
et XVIII 1878 et 1879.t. XVI, XVII ; 1877,THÉORIE ÉLÉMENTAIRE
DES
FONCTIONS ELLIPTIQUES,
Par LAURENT,h.
Répétiteur d'Analyse * l'École Pol|t«cbniqae.
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
DU BUREAU DES. LONGITUDES, DE l'ÉCOLB POLYTECHNIQUE,
SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER,
des Augustins,Quai 55.
1882
droils réserTéii.) •'(Tout \û /\«*»
ikTHEORIE ELEMENTAIRE
FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Les personnes qui veulent étudier la théorie des fonc-
tions elliptiques ont certainement d'excellents ouvrages
à leur disposition : les Fiindamenta nova de Jacobi, les
OEuvres d'Abel, l'ouvrage plus ancien de Legendre, sont
des chefs-d'œuvre qu'il est bon d'avoir lus quand on veut
approfondirla théorie des fonctions elliptiques.Le Traité
desfonctions doublement périodiques, de MM. Briot et
Bouquet, résume aujourd'hui presque tous les faits acquis
la Science cette brancheà sur intéressante de l'Analyse;
mais il n'existe pas de Traité, pour ainsi direélémentaire,
dans lequel on puisse prendre une idée suffisamment
exacte de la théorie des fonctions elliptiques, sans cepen-
dant l'approfondir dans tous ses détails.
Nous croyons donc faire une chose utile en offrant
aux lecteurs des Nouvelles Annales une théorie des
fonctions elliptiques résumant leurs propriétés les plus
importantes, et leurs principales applications à la Géo-
métrie et à la Mécanique.
Nous n'avons pas l'intention, disons-le immédiate-
ment, de suppléer à la lecture des grands maîtres; nos
articles devront surtout avoir pour but de faciliter celte
lecture et d'en inspirer le goût.
—L. Fond, ellij t. ii.
( o
WOTlOrJS PUÉLIMINAIUES.
Avant d'aborder la question dus fonctions cllipliques^
nous ferons connaître quelques principes relatifs à la
théorie générale des fonctions.
Nous représenterons une imaginaire a; -f-^ y/— i par
un point dont les coordonnées serontx et ou par uney^
==droite dont la longueur sera le module r y/x^-f-^*,
faisant avec l'axe un angle égaldes x Q à l'argument de
—X -hj I . Cet argument sera d'ailleurs pour nous
\l
-l'un quelconque des angles ayant pour cosinus et pour
y
-•sinus
r
Quand nous dirons que le point x — * décrit4-jK sj
une courbe, il faudra entendre par là que le point dont
les coordonnées sont x^j décrit cette courbe. Gn peut
considérer l'expressionX Y — i , oùX et Y sont-f- des
\J
—fonctions et comme une fonction dexdex -f- ij^ j sj
Caucliy se plaçait à ce point de vue, mais nous ne con-
-¥- —sidérerons que les fonctions de x i ayant uney \J
déterminée. Cetteconditiondérivéeuniqueetbien d'avoir
une dérivée unique impose àX et Y certaines propriétés
dérivée deX Yquenous allons faireconnaître. La + —\j
est
dX dX^ , /dY, dY^ \
,
f/ -4- dY IX y/—
' —d.r -\- dj- y/— i dx dj i->r yj
' dy—et, pour qu'elle soit indépendante du rapport ? c'esl-à-
dj i tend vers zéro,dire de la manière dont dx -h y/—