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Difeomor smos eliminadores y cuerpos
estrellados en espacios de Banach
Memoria
que para obtener el t“ tulo de
Doctor en Ciencias Matem“aticas
presenta
Luis Alejandro Montesinos Matilla
“Directores: Daniel Azagra Rueda y Jesus“ Angel Jaramillo Aguado
Universidad Complutense de Madrid
Facultad de Ciencias Matem“aticas
Departamento de An“alisis Matem“atico
Junio de 20032“Indice General
Introducci on 5
1 Los cuerpos estrellados 21
1 Nociones b asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 C omo identi car un cuerpo estrellado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Cuerpos estrellados acotados y radialmente acotados . . . . . . . . . . . 28
p4os de la clase C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Cuerpos estrellados de Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6 Funciones Meseta y Cuerpos Estrellados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7 Tres tipos de inclusi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8 Estabilidad de los cuerpos estrellados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9 El Lema de los Cuatro Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10 El cuadrado romo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 Algunos resultados de aproximaci on 65
1 La aproximaci on de cuerpos convexos en los espacios de dimensi on nita 65
2 Aproximaci on de cuerpos estrellados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 Extensiones Perturbadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3 Difeomor smos eliminadores y funciones meseta 89
1 trasladantes con soporte acotado . . . . . . . . . . . . . 89
2 Lemas de los Tres Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3 Difeomor smos eliminadores de puntos en espacios que tienen mesetas . 97
4 Difeomor smos y particiones de la unidad 115
1 Qu“e hacer con muchos cuerpos estrellados . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2 Los espacios de Banach con de la unidad tienen muchos cuer-
pos estrellados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3 Difeomor smoseliminadoresdecompactosenespaciosconparticionesde
la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5 Difeomor smos eliminadores en espacios con base 127
1 y normas no completas . . . . . . . . . . . 129
3“4 Indice
2 Difeomor smoseliminadoresenlosespaciosquetienenunabasedeSchau-
der . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6 Aplicaciones 153
1 Aproximaci on uniforme en las variedades hilbertianas de las funciones
1continuas por funciones de la clase C sin puntos cr“ ticos . . . . . . . . 153
2 El fen omeno de Garay asociado a ecuaciones diferenciales ordinarias en
los espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Bibliograf“ a 1656
Una introducci on algo larga
El marco que circuye esta tesis doctoral es la teor“ a de la eliminaci on topol ogica, y de
manera m as amplia, la teor“ a de diferenciabilidad en los espacios de Banach. Esto no
obsta a que los principales resultados que vamos a establecer tengan aplicaci on en otros
camposmatem aticos. Entreellosencontramoslosdelatopolog“ adiferencialenespacios
de dimensi on in nita y las ecuaciones diferenciales ordinarias en espacios de Banach.
No est a de m as empezar precisando el contenido, alcance y desarrollo hist orico de
la denominada teor“ a de la eliminaci on topol ogica .
Dado un espacio topol ogico X y un subconjunto K š X, se dice que K es to-
pol ogicamente eliminable si existe un homeomor smo h : X ! X n K. Tales ho-
meomor smos, denominados eliminadores, tienen asociados la noci on natural de sopor-
te. Se de ne el soporte de un homeomor smo h : X ! X n K como la adherencia
del complementario del conjunto de puntos jos de h, es decir, como la clausura de
fx2X jh(x)=xg.
En este contexto, dos problemas parecen naturales. El primero de ellos es estudiar
espacios X en los que los puntos y los compactos sean subconjuntos eliminables. El
segundo es tratar de conseguir homeomor smos eliminadores con el soporte contenido
en entornos pre jados del subconjunto eliminado.
A lo largo de esta tesis doctoral, X ser a un espacio de Banach de dimensi on in nita
y K un punto, un compacto, e incluso un compacto para la topolog“ a d“ebil. Es m as,
trabajaremos en el “ambito diferenciable, preocup andonos de que las aplicaciones elimi-
nadoras h : X ! XnK sean, no ya homeomor mos, sino difeomor smos de la clase
pC , dondeprepresentaelgradodediferenciabilidad. Porsupuesto, siempresuponemos,
y no lo volvemos a mencionar, que X es un espacio de Banach de dimensi on in nita.
Huelga decir que, en los espacios de dimensi on nita, los puntos no son eliminables.
Pasemos a desgranar algunos de los resultados m as importantes. Hist oricamente, el
punto de arranque de la teor“ a de la eliminaci on topol ogica en espacios de Banach viene
dadoporelart“ culoqueVictorL.Klee( vid. [46])public oenelano˜ 1951. Kleeprob oque
pen todo espacio de Banach X que no sea re exivo o que sea un espacio L de dimensi on
in nita, los compactos son topol ogicamente eliminables. Esto es, dado K subconjunto
compacto de X, donde X es un espacio del tipo anterior, existe un homeomor smo
entre los espacios topol ogicos XnK y X. Es m as, consigui o que tal
fueralaidentidadenelexteriordeunentornodelcompacto K, oequivalentemente, que
56 Introducci on
el soporte de este homeomor smo estuviera contenido en un entorno de K. Tambi“en
demostr o Klee que la eliminaci on de los compactos de tales espacios puede obtenerse al
nal de una isotop“ a.
Lainspiraci onparaeltrabajodeKleelaencontramosenlosdeTychono‹( vid. [61])
y Kakutani (vid. [45]). Por el teorema del punto jo de Tychono‹, la bola unidad
B del espacio de Hilbert H, con la topolog“ a d“ebil, tiene la propiedad del punto jo.H
Sin embargo, esto es bien diferente para la topolog“ a de la norma. En [45], Kakutani
construy o un autohomeomor smo de B sin puntos jos. Y de esto coligi o que S , laH H
esfera unidad del espacio de Hilbert, es un retracto de deformaci on de B .H
Kakutaniseformul oalgunascuestionesenrelaci onaestosresultados. Porunlado,si
B admiteautohomeomor smosperi odicossinpuntos jos. Porotrolado, qu“eespaciosH
tomadosdeentreB ;S yH sonhomeomorfos. Finalmente,qu“eocurreenlosespaciosH H
que no son de Hilbert. En [36], J. Dugundji prob o que la bola de un espacio normado
tiene la propiedad del punto jo si yolos si es de dimensi on nita. Previamente, P. A.
Smith (vid. [60]) hab“ a probado que en cualquier espacio eucl“ deo de dimensi on nita,
todo autohomeomor mo peri odico con periodo primo tiene al menos un punto jo, y
se interrog o ( vid. [38], p ag. 259) sobre la existencia de autohomeomor mos, sin puntos
jos y de periodo dos, en el espacio de Hilbert de dimensi on in nita.
Y fue en el trabajo ya mencionado de Klee, donde entre otras cosas, encontramos
respuesta a las cuestiones planteadas por Kakutani y Smith. En concreto, apoy andose
en sus resultados pioneros en eliminaci on topol ogica, proporcion o una clasi caci on de
los cuerpos convexos del espacio de Hilbert de dimensi on in nita H, demostr o que S ,H
B y H son homeomorfos, as“ como la existencia de autohomeomor mos peri odicos enH
H, sin puntos jos y de periodo arbitrario n•2.
En art“ culos posteriores ( vid. [18, 19, 22]), Bessaga y Klee generalizaron a todo
espacio normado de dimensi on in nita los resultados que Klee hab“ a establecido sobre
eliminaci on topol ogica y clasi caci on de cuerpos convexos.
Los procedimientos empleados por Klee, de naturaleza geom“etrica, no favorec“ an
un tratamiento anal“ tico. A Czeslaw Bessaga debemos la obtenci on de unas elegantes
ormf ulas expl“ citas que posibilitaban la construcci on de homeomor smos eliminadores
en espacios de Banach. Estasormf ulas se basan en la existencia, en cualquier espacio
de Banach, de una norma continua y no equivalente. Seamos precisos. En [20, 21, 22],
Bessaga demostr o que si ( X;kk) es un espacio de Banach, y š es una norma continua
(paralatopolog“ ainducidapor kk)ynoequivalenteakk,entoncestodosubconjuntoA
deX queseacompletorespectoalanormašestopol ogicamenteeliminable,esdecir,los
espacios X yXnA son homeomorfos. En particular, esto ocurre cuando el subconjunto
A es un compacto de X.
Resulta sencillo barruntar las preguntas concitadas por los resultados sobre homeo-
mor smoseliminadoresqueestablecieronKleeyBessaga. ¿Esposiblemejorar,dealgun“
modo, tales resultados, y garantizar la existencia, no ya de homeomor smos elimina-
dores, sino de difeomor smos eliminadores? ¿En qu“e espacios existen difeomor smos7
peliminadoresdepuntosdelaclaseC ? ¿Ydifeomor smoseliminadoresdecompactosde
pla clase C ? ¿Qu“e podemos decir sobre los soportes de los difeomor smos eliminadores
y sobre la geometr“ a de los conjuntos que contienen dichos soportes? Dichas preguntas
no son materia balad“ . En efecto, en la teor“ a de los espacios de Banach, encontramos
espaciosquesonhomeomorfosyquenosondifeomorfos. Bastarecordarque, porlosre-
sultadosdeGowersyMaureyacercadeespacioshereditariamenteindescomponibles,un
espacio de Banach puede ser homeomorfo, mas no difeomorfo, a todos sus hiperplanos
cerrados.
No parec“ a que las ideas geom“etricas de Klee pudiesen generalizarseacilmenf te para
construir difeomor smos eliminadores de compactos en espacios de Banach. Lo contra-
rio ocurri o con la t“ecnica de las normas no completas de Bessaga. Corr“ a el ano˜ 1966
cuando Bessaga mismo (vid. [20]) logr o construir, en los espacios de Hilbert, difeomor-
1 smos eliminadores de puntos, de la clase C , y que coinciden con la identidad en el
exterior de un entorno dado del punto que se elimina. Estos difeomor smos elimina-
1dores le permitieron probar la existencia de un difeomor smo de la clase C entre el
espacio de Hilbert y su esfera unidad. Adem as, los resultados de [20] constituyen una
pieza clave para los trabajos sobre variedades de Banach debidos a Burghelea, Kuiper,
Eells, Elworthy y Moulis (vid. [26, 37, 53]), en los que se concluye que si dos varie-
dades hilbertianas de dimensi on in nita son hom otopas, entonces existe entre ellas un
1difeomor smo de la clase C .
Ya en 1969, bas andose en el resultado de Bessaga mencionado anteriormente, J.
West (vid. [63]) demostr o el teorema que sigue: Si K es un subconjunto cerrado y
localmente compacto de una variedad hilbertiana M, U es un entorno abierto de K,
y C es un recubrimiento abierto de la variedad M, entonces existe un difeomor smo
1h:M !MnK, de la clase C , que es la identidad en el exterior de U y est a limitado
por G (lo que, plus minusve, signi ca que h es arbitrariamente pr oximo a la aplicaci on
identidad). Esteteoremaeselresultadom asprofundoenloquerespectaalaeliminaci on
topol ogica en variedades de Hilbert.
El siguiente en hollar la senda dedicada al estudio de la existencia y construcci on
de difeomor smos eliminadores de compactos (en espacios de Banach no forzosamente
hilbertianos) fue Tadeusz Dobrowolski, a quien debemos el desarrollo y generalizaci on
de la t“ecnica de Bessaga sobre normas no completas. Demostr o ( vid. [35]) que para
cada espacio de Banach X de dimensi on in nita que fuese poseedor de una norma
pno equivalente de la clase C , y para cada subconjunto compacto K de X, existe un
pdifeomor smo de la clase C entre X y XnK. Este resultado, de gran importancia,
qu“edudacabe, introduce, empero, unalimitaci on, asaber, laexistenciaenelespaciode
puna norma no equivalente de la clase C . Y tal limitaci on no es en absoluto desdenable,˜
pues por desgracia, todav“ a se desconoce si todo espacio de Banach con una norma
p pequivalente de la clase C posee asimismo una norma no equivalente de la clase C .
Esteobst aculopudosersorteadograciasaltrabajoconjunto, yfecundo, deD.Azagray
T. Dobrowolski, pues establecieron (vid. [6] y [7]) que si un espacio de Banach X tiene
puna norma (que no tiene por qu“e ser equivalente) š de la clase C , para cada compacto
pKšX y cada š-bola abierta que contenga a K, existe un difeomor smo de la clase C8 Introducci on
entre X y XnK que es la identidad fuera de la š€bola pre jada.
Llegadosaqu“sepercibeque,peseatodosestosesfuerzos,noquedadeterminadoqu“e
espacios de Banach tienen difeomor smos eliminadores de puntos, por no hablar sobre
difeomor smos eliminadores de compactos. Advi“ertase que los resultados de Azagra y
Dobrowolski,alasaz onlosm assutiles,requierendeespaciosdeBanachqueposeanuna
pnorma(noporfuerzaequivalente)delaclaseC ,dondepeselgradodediferenciabilidad
del difeomor smo eliminador que se obtiene. Ahora bien, por una parte, R. Haydon
prob o ( vid. [43] y [44]) que existen espacios de Banach con funciones meseta de la clase
1 1C , e incluso con particiones de la unidad de la clase C , que no admiten normas
1equivalentes de la clase C . Y por otra parte, es un problema abierto el hecho de
si los espacios que aparecen en [43] y [44] tienen normas no equivalentes, para algun“
pnatural p, de la clase C . Luego podemos concluir a rmando que hay espacios de
Banach, no carentes de estructura diferenciable, a los que no se puede aplicar ninguno
de los resultados conocidos sobre existencia de difeomor smos eliminadores de puntos
y compactos.
Elcomentarioanteriorjusti ca,almenosenparte,estatesisdoctoral,yconstituyeel
engarcecontodalainvestigaci onprecedenteenelcampodelaexistenciayconstrucci on
de difeomor smos eliminadores. El n que nos planteamos a lo largo de este trabajo
es establecer resultados nuevos relativos a difeomor smos eliminadores de puntos y
compactos en espacios de Banach, y que sean aplicables, ya que no a todos, al menos a
algunos espacios situados fuera del campo de acci on de los teoremas conocidos. Claro
est a que tal n obliga a considerar espacios de Banach que quiz a carezcan de normas,
pequivalentes o no, de la clase C . Meridiano es que no pudiendo asumir que en dichos
pespacios haya normas de la clase C , hemos de suplir tal noci on con alguna otra que no
sea equivalente. Tratemos de alumbrar una respuesta a esta cuesti on.
Supongamos que un espacio de Banach X admite difeomor smos eliminadores de
puntos, y que adem as, estos difeomor smos son igual a la aplicaci on identidad en un
entorno acotado del punto eliminado (aunque trataremos con detalle la cuesti on, vale la
pena remarcar que la clase de los difeomor smos que son la identidad fuera de entornos
acotados de los puntos eliminados surge de modo natural). En tal caso, esta condici on
obliga a que el espacio X tenga una meseta con grado de diferenciabilidad al menos
igual al del difeomor smo eliminador. Conque si pretendemos conseguir difeomor smos
peliminadores de la clase C , no parece descabellado considerar espacios de Banach con
pfunciones mesetas de la clase C . Esta idea, a mi entender, se ve reforzada si no
olvidamos que, como garantizan los contraejemplos de Haydon, existen espacios con
1funciones meseta y particiones de la unidad de la clase C , que no tienen normas
1equivalentesdelaclase C , ydelosquedesconocemossiposeennormasnoequivalentes
de alguna clase de diferenciabilidad. Estos mismos contraejemplos indican que otra
pposibilidad es la consideraci on de espacios con particiones de la unidad de la clase C
(advi“ertase que si un espacio de Banach X admite particiones de la unidad de la clase
p pC , entonces el espacio tiene una meseta de la clase C , pero que el rec“ proco, en su
forma general, es un problema abierto). Por otra parte, no hay que obviar la amplitud9
y naturalidad de la clase de espacios que admiten particiones de la unidad. Son de
empleo usual, en el an alisis funcional porque, por una parte, proporcionan valiosas
prestaciones, y por otra parte, no es demasiado exigir que un espacio de Banach admita
pparticiones de la unidad de la clase C . Por ejemplo, cualquier espacio de Banach con
1dualseparableadmiteparticionesdelaunidaddelaclase C , ytodoespaciodeBanach
pque sea d“ebilmente compactamente generado con una funci on meseta de la clase C
padmite particiones de la unidad de la clase C . V“ease [33].
As“ pues, y a la luz de los comentarios previos, nos planteamos establecer resultados
sobre la existencia de difeomor smos eliminadores, de puntos y compactos, en espacios
en los que unicamen“ te asumir“ amos la tenencia de mesetas o particiones de la unidad
pde la clase C . Al no depender dichos resultados de la existencia de normas de la clase
pC , escapar“ an a las conclusiones de [6] y [7], y resultar“ an novedosos.
El planteamiento que acabamos de esbozar, esto es, prescindir de la existencia de
pnormas de la clase C (equivalentes o no) y trabajar con mesetas y particiones de la
punidad de la clase C , dio, a modo de frutos, la secci on 3 del cap“ tulo 2, publicada en
[9], as“ como los cap“ tulos 3, 4 y 5, publicados respectivamente en [15], [16] y [17]. En el
cap“ tulo 3 damos una serie de condiciones, ajenas a la existencia de normas de la clase
p pC ,porlasqueenunespacioX,delquesuponemosquetieneunamesetadelaclaseC ,
pexisten difeomor smos de la clase C que eliminan los puntos, y que son la identidad
fuera de un entorno acotado del punto eliminado. Para lograr esto, fue imprescindible
el Teorema 2.19 (vid. [9]). Este teorema nos permite, bajo ciertos supuestos, que dado
un espacio de Banach X, un abierto U de X, y un subespacio Y, podamos extender
de modo aproximado una funci on f :U\Y !R , acotada y uniformemente continua,
pa una aplicaci on K : X !R de Lipschitz y de la clase C . En el cap“ tulo 4, que de
hecho fue elaborado con anterioridad al cap“ tulo 3, se demuestra que en los espacios de
pBanachconparticionesdelaunidaddelaclase C , existendifeomor smoseliminadores
pde compactos (d“ebiles) de la clase C . Y en el cap“ tulo 5 probamos que en todo espacio
de Banach X, que sea separable, con una base de Schauder, y que admita funciones
pmeseta de la clase C , dado un compacto KšX y un abierto arbitrario U ›K, existe
pun difeomor smo h:X !XnK de la clase C tal que su soporte est a contenido en U.
Ahora bien, y el lector avezado convendr a en ello, muchas veces tanto o m as im-
portantes son las t“ecnicas y herramientas empleadas en la consecuci on de los resultados
que los resultados en s“ . Por tanto, me ha parecido preferible, antes de describir con
detalle estos nuevos resultados, conocer con qu“e herramientas hemos contado.
Como hemos comentado, los resultados que se conoc“ an hasta ahora sobre difeo-
pmor smos eliminadores de la clase C en espacios de Banach, ten“ an su basamento en
ormf ulas que imitan las de Bessaga ( vid. [20, 35, 1, 2, 6, 7]), y que asumen que los
pespacios en que se trabaja tienen normas (equivalentes o no) de la clase C . La idea
clave, debida a D. Azagra (vid. [1]), y ampliada conjuntamente con T. Dobrowolski en
[6, 7], de sustituir, en el esquema planteado por Bessaga y Dobrowolski (vid. [20, 35]),
plas normas no completas de la clase C por normas asim“etricas no completas de la
p pclase C (de existencia garantizada en espacios de Banach con normas de la clase C ,10 Introducci on
independientemente de si “esta es equivalente o no a la original), permiti o construir di-
feomor smos eliminadores de compactos en todo espacio de Banach con una norma
p(equivalente o no) de la clase C .
Cuando uno se plantea trabajar en espacios de Banach con mesetas o particiones de
p pla unidad de la clase C , mas sin el apoyo de normas de la clase C , resulta complicado
pobtener normas asim“etricas no completas de la clase C . ¿De qu“e medios disponemos
ppues? Una norma asim“etrica no completa de la clase C en el espacio de Banach X es
el funcional de Minkowski ! de un cuerpo convexo, que contiene al origen como punto
pinterior, de la clase C , quiz a asim“etrico, que no contiene rayos y que no est a acotado.
Este funcional de Minkowski ! : X ! [0;1) es continuo, positivamente homog“eneo,
psubaditivo, y de la clase C en Xnf0g. Pero es conocido (vid. [33, Proposition II.5.1]
py [50]) que si un espacio de Banach (X;kk) admite una funci on meseta de la clase C ,
existeunfuncional  :X ![0;1)yexistenconstantesa;b>0,talesque  escontinuo,
phomog“eneo, de la clase C fuera del origen, y de modo que akk ”   ” bkk (dicho
pde otro modo, la existencia de una meseta de la clase C garantiza el que tengamos a
pnuestradisposici onunafunci on  quesuple,enciertamedida,lasnormasdelaclaseC ).
Adem as, tal funci on  , asociada a una meseta, es a su vez el funcional de Minkowski de
unsubconjuntocerrado,quecontienealorigencomopuntointerior,acotado,cuyoborde
pes una subvariedad de codimensi on uno y de la clase C , y que, sin ser forzosamente
convexo, tiene un rasgo distintivo importante, a saber, que cada rayo que emana del
origen corta a lo sumo en un punto de la frontera.
Recapitulemos lo sabido. En primer lugar, si (X;kk) es un espacio de Banach,
pcualquier norma (respectivamente, norma asim“etrica) ! de la clase C no es sino el
funcional de Minkowski de un cuerpo convexo (respectivamente, convexo asim“etrico),
pconelorigencomopuntointerior,delaclaseC ,yquenocontienerayosqueemanendel
origen. M asaun,“ elque !seaonoequivalenteakk,olos dependedesielcuerpoconvexo
asociado est a acotado o no respecto a la norma kk. Por otro lado, si en el espacio
(X;kk)noconsideramoslaexistenciadenormascongradoalgunodediferenciabilidad,
ppero asumimos que existe una meseta de la clase C (que existe, en particular, en
pespacios con particiones de la unidad de la clase C ), tenemos garantizada, tanto la
existencia de un cerrado acotado, con interior no vac“ o, no forzosamente convexo, pero
que tiene un rasgo geom“etrico muy importante compartido por los convexos cerrados
pde interior no vac“ o, como la existencia de un funcional de Minkowski de la clase C
que, sin llegar a comportarse como una norma, conserva alguna de sus propiedades. El
rasgo geom“etrico antes destacado no ha pasado desapercibido, y ha generado una clase
especialdesubconjuntosdeespaciosdeBanachqueextiendeladeloscerradosconvexos
con interior no vac“ o. As“ , los cerrados de un espacio de Banach que tienen un punto
interiortalquecualquierrayoemanantedelmismoalcanzaalosumounavezlafrontera
del cerrado, se denominan en la literatura cient“ ca starlike bodies, y en castellano los
llamamos cuerpos estrellados.
Las observaciones precedentes nos indujeron a creer que los cuerpos estrellados y
los funcionales de Minkowski de “estos habr“ an de generalizar las inveteradas normas y

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