Une solution arabe du problème des carrés magiques. - article ; n°3 ; vol.1, pg 206-212
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Description

Revue d'histoire des sciences et de leurs applications - Année 1948 - Volume 1 - Numéro 3 - Pages 206-212
7 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

Informations

Publié par
Publié le 01 janvier 1948
Nombre de lectures 20
Langue Français

Extrait

Carra de Vaux
Une solution arabe du problème des carrés magiques.
In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1948, Tome 1 n°3. pp. 206-212.
Citer ce document / Cite this document :
de Vaux Carra. Une solution arabe du problème des carrés magiques. In: Revue d'histoire des sciences et de leurs
applications. 1948, Tome 1 n°3. pp. 206-212.
doi : 10.3406/rhs.1948.2637
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1948_num_1_3_2637Une solution arabe
du problème des carrés magiques
II y a quelques années je reçus de Tunis plusieurs livres arabes,
parmi lesquels un traité d'el-Bouni intitulé Sharh ismellah el-ďzam,
commentaire sur le grand Nom de Dieu. El-Bouni est un auteur
bien connu des occultistes, originaire de Bône (Algérie), mort
en 622 de l'hégire, 1225 du Christ. Son traité était édité au Caire à
la Librairie commerciale Mahmoùdieh, sans date. Il contenait
une solution générale du problème des carrés magiques ; on sait
en effet que ces carrés sont appréciés des Orientaux comme
talismans.
La solution d'el-Bouni est de celles que l'on a appelées « à
enceintes ». Elle peut paraître d'abord compliquée ; elle n'a pas
l'élégance et la rapidité de celle que La Loubère a naguère rapportée
d'après des Indiens de Sourate ; mais je crois qu'en définitive on
doit la juger fort belle, parce qu'elle établit une répartition très
nette des nombres composant le carré entre les enceintes successives.
Je vais la donner en suivant de près le texte ; nous verrons ensuite
ce que l'on peut penser de son origine.
On remarquera que pour passer de la position d'un nombre à
celle du nombre suivant, l'auteur se sert volontiers de la marche
des pièces au jeu d'échecs.
I. — Carrés pairs
El-Bouni commence par former le noyau central, c'est-à-dire
le carré intérieur de 4 cases de côté.
Il place 1 dans la case à gauche de l'angle supérieur droit, et
passe à 2 selon la marche du cavalier, puis place 3 et 4 symétr
iquement à 2 et 1 par rapport au centre. Il repart de l'angle inférieur SOLUTION ARABE DU PROBLÈME DES CARRÉS MAGIQUES 207 UNE
droit, y met 5, passe à 6 en marche de cavalier, et dispose 7 et S
symétriquement à 6 et 5.
1 8
7 2
6 3
4 5
Les 8 premiers nombres garderont cette position quel que soit le-
n ombre n des côtés du carré à construire. Dans les 8 autres cases-
viendront se placer d'une façon analogue les 8 plus hauts chiffres-
du carré : n2, n2 — 1,... пг — 7, pris en descendant.
Cela fait on construit la première « enceinte » ou le premier
pourtour (le mot arabe est iauq, collier) qui aura 6 cases de côté. On
part de l'angle supérieur droit où l'on met le 9, nombre impair ; on
passe à opposé en haut où l'on met ce dernier nombre aug
menté du nombre des côtés de l'enceinte moins 1, soit 9 + 6 — 1
ou 14, un pair. On descend à la case à gauche de l'angle inférieur
droit, et Ton y met l'impair qui suit le 9 : 11. On remonte en haut à
l'opposé de la case du roi Qa voisine du 11) où l'on inscrit le 13 ;
on redescend à l'opposé de la case voisine, où l'on place le 15.
(C'est le mouvement de zigzag.) Ainsi l'on continue jusqu'à ce que
les nombres d'impairs placés soit égal au nombre du côté du pour
tour moins 2 : ici 6 — 2 ou 4 ; pour le second pourtour 8 — 2
ou 62 etc.
14 13 9
17
18
16
12
10 15 11 revue d'histoire des sciences 208
Alors l'auteur passe à la case à gauche de la dernière qu'il vient
de meubler, et il y met le nombre qui suit celui de l'angle supérieur
droit, ici 10. Il se porte « en marche du fou », c'est-à-dire obliquement
sur le côté gauche du pourtour, où il inscrit le pair suivant, 12. Il
recommence le mouvement de zigzag, mais cette fois horizon
talement, de pair en pair, et continue jusqu'à ce que le nomb
re des pairs placés égale aussi le nombre du côté du pourtour
moins 2.
En disposant ainsi les pairs on rencontre celui qui est déjà
placé à l'angle supérieur gauche (ici 14) ; il ne faut pas le répéter ;
on passe au pair suivant (16) qui prend sa place dans le zigzag.
Les deux derniers nombres à placer donnent lieu à une distinc
tion : « Si le nombre du pourtour est pair-impair (6, 10, 14...), tu
continues à disposer les pairs dans le pourtour, à droite et à gauche,
jusqu'à ce que tu arrives au dernier pair à placer, que tu mettras
au-dessus du pair précédent, qui est toujours à droite.
« Si le côté du pourtour est pair-pair (8, 12, 16...) tu places
le pair qui suit celui de la case supérieure gauche dans la case
indiquée par le zigzag, qui est toujours du côté gauche, puis tu mets
le pair suivant dans la case voisine au-dessus, sur ce même côté
gauche ; ensuite tu te transportes à l'opposé de la case du roi fia
case voisine) à droite, tu y mets le pair suivant puis le suivant dans
la case voisine au-dessus sur ce même côté droit ; s'il te reste des
pairs à placer, tu te transportes à l'opposé de la case du roi, à
gauche à la manière ordinaire, jusqu'à ce que tu en aies placé le
nombre du côté du pourtour (n) moins 2 comme nous l'avons dit.
« Enfin tu places l'impair qui précède le dernier pair, sur le
côté du pourtour où la moitié des cases n'est pas encore meublée,
soit à droite, soit à gauche ; mais ne le mets pas en face d'une case
habitée. »
Ayant ainsi rempli la moitié des cases du pourtour, on complète
leurs vis-à-vis en n2 + 1. Le vis-à-vis d'un angle est l'angle diago-
nalement opposé ; le vis-à-vis des autres cases est celui de la tour.
II. — Carrés impairs
La méthode pour les carrés impairs est moins nette dans le
texte publié d'el-Bouni, mais il est facile de la rétablir en partant
du carré de 3 et en procédant par la différence des carrés. LNE SOLUTION ARABE DU PROBLÈME DES CARRLS VIATIQUES 209
Л la diagonale composée des chiffres médians on ajoute
n'3 + 1 /l2 + 1 11'
9m m•) ou — ňj О ; aux autres chiffres supérieurs ou
chiffre médian on ajoute la différence des carrés n'2 —- n2 ; et les
chiffres inférieurs au chiffre médian sont laissés à leur place sans
changement. On complète en n'2 + 1.
Ainsi pour passer du carré de 3, où 5 est le chiffre médian, au
carré de 5, on ajoute à la diagonale 4, 5, 6 la demi-différence
25 — — - — 9 ou 8. Aux autres chiffres supérieurs à 5, on ajoute la diffé-
rence 25 — 9 ou 16 ; les 3 premiers chiffres ne sont pas touchés.
2 7 6
У 5 1
3 4 8
Je complète la série diagonale par 11 et 15. Je mets 16 près de
l'angle 15 à gauche, et je fais le zigzag vertical 16, 17, 18. Je mets 19
dans l'angle inférieur droit, et je fais le zigzag horizontal 19, 20,
21, 22. Puis je complète les opposés en 26 : 16-10, 17-9, etc.
18 16 15
9 99 23 14
25 13 1 21
12 24 20 3
11 17 19
On ferait de même pour passer du carré de 5 au carré de 7,
qui est donné incorrectement dans le texte arabe.
т. i. 1948 14 REVUE Г> HISTOIRE DES SCIENCES 210
SOLUTION DEL-BOUNI
Somme totale des nombres :
n2 [n* + 1) = 5.050
Somme de chaque ligne ou colonne : 505.
I>eux nombres placés vis-à-vis l'un de l'autre sur un mêm** pour
tour donnent ensemble 101.
42 67 54 45 58 41 62 37 66 33
49 26 81 72 27 76 23 80 19 5-2
14 51 70 91 86 13 90 9 31 50
8 53 69 17 97 1 96 84 32 48
30 2 95 46 83 7 98 18 71 55
28 99 44 57 85 6 94 3 16 73
40 12 93 4 100 5 89 24 61 77
63 22 92 10 15 88 11 79 38 87
36 82 20 29 74 25 78 21 75 65
68 34 47 56 43 60 39 64 35 59
Carré de 10
Le- carré central contient les nombres de 1 à 8 et de 100 à 93 ;
Le premier pourtour contient les nombres de 9 à 18 et de 92"
à 83 ;
Le second pourtour contient les nombres de 19 à 32 et de 82'
à 69;
Le troisième pourtour contient les nombres de 33 à 50 et de 68
à 51.
Somme de chaque ligne ou colonne :
П ("1+ ^ =369 '
SOLUTION ARAHE I>U pnonLÈMK DES CARRÉS MAGIQUES 2П UNE
Somme de deux vis-à-vis sur le même pou

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