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http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm U.F.R. Sciences et Techniques de la Matiere et des Procedes
Ecole doctorale Energie Mecanique MAteriaux
Groupe de Formation Doctorale Physique et Chimie de la Matiere et des Materiaux
These
presentee pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Universite Henri Poincare, Nancy I
en Physique Statistique
parFlorian BAUMANN
Vieillissement et comportement d’echelle
dynamique hors equilibre
Soutenue publiquement devant la Commision d’Examen le 7 septembre 2007
Membres du jury :
President : M. Philippe DI FRANCESCO Ingenieur de recherche, C.E.A., Saclay
Rapporteurs : M. Pasquale CALABRESE Ricercatore in formazione, Universite de Pisa, Italie
M. Bernard NIENHUIS Professeur, Universite d’Amsterdam, Pays-Bas
Examinateurs : M. Malte HENKELur, U.H.P., Nancy I (Codirecteur de these)
M. Dragi KAREVSKI Maˆ tre de Conferences, U.H.P., Nancy I
M. Klaus MECKE Professeur, Universite d’Erlangen-Nur nberg, Allemagne
M. Michel PLEIMLINGur, Virginia Tech,
Etats-Unis (Codirecteur de these)
M. Gunter M. SCHUTZ Professeur, Forschungsz. Julic h/Universite de Bonn,
Allemagne
Laboratoire de Physique des Materiaux
Faculte des Sciences - 54500 Vand uvre-les-NancyAlterung und dynamisches Skalenverhalten
fern des Gleichgewichts
Den Naturwissenschaftlichen Fakultaten
der Friedrich-Alexander-Universit at Erlangen-Nurn berg
zur
Erlangung des Doktorgrades
vorgelegt von
Florian BAUMANN
aus MannheimAls Dissertation genehmigt
von den Naturwissenschaftlichen Fakult aten
der Universit at Erlangen-Nurn berg
Tag der mundlic hen Prufung: 7. September 2007 in Nancy, Frankreich
Vorsitzender der Promotionskommission: Prof. Dr. Eberhard BANSCH
Erstberichterstatter: Prof. Dr. Michel PLEIMLING
Zweitberichterstatter: Prof. Dr. Malte HENKEL
Drittberichterstatter: Dr. Pasquale CALABRESEContents
Table of contents 3
Acknowledgements 5
1 Introduction 7
1.1 Physical ageing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Phase-ordering kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Critical dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Formal description of non-equilibrium dynamics . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Field-theoretical formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Schr odinger invariance and local-scale invariance (LSI) . . . . . . . 17
1.3 Objectives of this thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Theory of local scale-invariance (LSI) 27
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Local scale-invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Background on local scale-transformations . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Construction of the generators of LSI . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 Bargmann superselection rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Field-theoretical formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Calculation of n-point functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1 Two-point function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.2 Four-point function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Results for the response and the correlation function . . . . . . . . . . . . 53
2.5.1 Response function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.2 Correlation function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6 Conclusions of this chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Application of LSI to space-time scaling functions 63
3.1 Surface growth processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Noise modelization and space-time quantities. . . . . . . . . . . . . 67
3.1.3 Response and correlation functions: exact results . . . . . . . . . . 68
3.1.4 Space-time symmetries of the noiseless equations . . . . . . . . . . 72
3.1.5 Determination of response and correlation functions from space-
time symmetries (old version of LSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
12 CONTENTS
3.1.6 Determination of response and correlation functions from space-
time symmetries (new version of LSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.7 Microscopic growth models and space-time correlations . . . . . . . 78
3.1.8 Conclusions of this section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Spherical model with conserved order parameter . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.2 The spherical model with a conserved order-parameter . . . . . . . 83
3.2.3 Symmetries of the deterministic equation . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.4 Local scale-invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.5 Response and correlation function in the noisy theory (old version
of LSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.6 Response and correlation function in the noisy theory (new version
of LSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.7 Conclusions of this section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3 Spherical model with long-range interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.2 Exact solution of the long-range spherical model . . . . . . . . . . . 101
3.3.3 Local scale-invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3.4 Conclusions of this section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4 The diluted Ising model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4 Ageing in reaction-diusion systems 125
4.1 The fermionic contact process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1.2 The eld-theoretical approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.3 The response function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1.4 Conclusions of this section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2 Exactly solvable models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.2 The models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2.3 The bosonic contact process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2.4 The b critical pair-contact process . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2.5 Response functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.2.6 Conclusions of this section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3 Extension of local scale-invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.3.2 The bosonic contact process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.3.3 The b pair-contact process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.3.4 Conclusions of this section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5 Ageing at surfaces in semi-in nite systems 171
5.1 An exactly solvable model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.1.2 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.1.3 The surface autocorrelation function . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.1.4 The response function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.1.5 The uctuation-dissipation ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186CONTENTS 3
5.1.6 Conclusions of this section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.2 Local ageing phenomena close to magnetic surfaces . . . . . . . . . . . . . 188
5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.2.2 Quenchingsemi-in nitesystemsfromhightemperatures: exactresults189
5.2.3hingsemi-in nitefromhightemperatures: numerical
results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.2.4 Conclusions of this section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6 Conclusions 209
Conclusions 213
Schlu folgerungen 217
7 Appendices 221
A On fractional derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
B Generalised representation of the ageing algebras . . . . . . . . . . . . . . 227
Bibliography 231
Lebenslauf und Selbststandigkeitserklarung 242Acknowledgements
ThisthesishasbeenwritteninabinationalcooperationbetweentheuniversityofErlangen-
Nurn berg,Germany,andtheuniversityHenriPoincareNancyI,France. Amongthemany
people who have contributed to this work, I would like to thank rst and foremost my
two supervisors: Michel Pleimling, who supervised the rst part of the thesis in Erlangen,
and Malte Henkel, who supervised the nal part in Nancy. It has been a great pleasure to
workwithbothofyouduringthesethreeyearsandtodevelopsuchafruitfulcollaboration.
IthankPasqualeCalabrese,PhilippeDiFrancesco,DragiKarevski,KlausMecke,Bernard
Nienhuis and Gunter Schutz for nding the time to be part of the jury and also for their
help in rendering the manuscript more meticulous.
During these three years I have had the pleasure to work with many other scientists, who
have in uenced and shaped my thinking about physics. Here I would like to thank rst
Andrea Gambassi, who has taught me a big deal about eld theory, always pointing out
patiently my numerous mistakes. I also thank Sreedhar B. Dutta, Jean Richert, Andreas
R othlein and Stoimen Stoimenov for their collaboration. Our joint work is an essential
part of the thesis.
I am also grateful to all members of the ”Institut fur Theoretische Physik I” in Erlan-
gen, in particular my former o ce mates Andreas Fromm and Andreas Rothlein, for the
friendlyandconstructiveworkingatmosphere. Equally, Ithankallmembersofthetheory
group of the ”Laboratoire de physique de materiaux” in Nancy, who have welcomed me
in such a friendly way, making the nal part of the thesis as enjoyable as the rst. In
particular, I am grateful to Jean-Charles for his help with the french translation of the
conclusion and the abstract.
Finally, I thank those people (or rather institutions) who have kindly provided the nan-
cial means, which are necessary for an undertaking such as this. I gratefully acknowledge
thesupportbythe”DeutscheForschungsgemeinschaft”(DFG),whohas nancedthethe-
sisthroughgrantnumber PL323/2andtravelgrants. Ialsoacknowledgesupportthrough
travel grants by the ”Bayerisch-Franzosisches Hochschulzentrum” (BFHZ), the Franco-
German binational programme PROCOPE and the ”Deutsch-Franz osische Hochschule /
Universite Franco-Allemande” (DFH/UFA).
5