Appendice 2LES POLYNOMES ORTHOGONAUXCLASSIQUESdeJACOBILAGUERREetHERMITEVersion du 2 fØvrier 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 46762.1 Relations de rØcurrence2.1 Relations de rØcurrenceDEFINITION SoitX ⊂R et µ une intØgrales de Radon telle que, pour toutk∈N,onaitZk|id| d < ∞ .On dit que (p ) est un systŁme de polynmes orthogonaux par rapport à µ si, pour toutk k∈Nk∈N,ona(a) p ∈P , le sous-espace vectoriel des polynmes de degrØ 6k ,k k(b) p ⊥P .k+1 k∗Soit J un intervalle ouvert deR et ρ :J R .Onditqueρ est un poids si+Zk|id| •ρdλ <∞Jpour tout k∈N .Nous utiliserons, pour tout z∈C , la notation z!:=Γ(z+1)et rappelons la dØÞnition ducoefficient binomial gØnØralisص ¶ kYz z−l+1= pour tout k∈N .k ll=1THEOREME Il existe une relation de rØcurrence de la formeid•p =a •p +b •p +c •p ,k k k+1 k k k k−1en ayant posØ p =0.Enoutresip =g •1 , ge =0et−1 0 0 0k k−1 ∗p ∈g •id +ge •id +P pour tout k∈N ,k k k k−2on a g =0etkkp kg ge g kk k k+1 2, a = ,b= − ,c= •a .k k k k−1g g g kp kk+1 k k+1 k−1 2, pour tout k∈N .Si le systŁme est orthonormØ, alorsc =a .k k−1468 LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES Claude Portenier−→ôôPolyn mes orthogonaux classiques 2.22.2 Polyn mes orthogonaux classiquesLes polyn mes classiques orthogonaux sont caractØrisØs par le∗THEOREME Soient ρ : J R un poids et (p ) un systŁme de polyn mes orthogo-k+ k∈Nnaux associØ ρ . Les propriØtØs suivantes sont Øquivalentes :(i) (p ) est Øquivalent, i.e. aprŁs une ...
DEFINITION Soit X ⊂ R et µ une intégrales de Radon telle que, pour tout k ∈ N , on ait Z | id | k dµ < ∞ . On dit que ( p k ) k ∈ N est un système de polynômes orthogonaux par rapport à µ si, pour tout k ∈ N , on a (a) p k ∈ P k , le sous-espace vectoriel des polynômes de degré 6 k , (b) p k +1 ⊥ P k . Soit J un intervalle ouvert de R et ρ : J −→ R ∗ + . On dit que ρ est un poids si Z | id | k · ρ d λ J < ∞ pour tout k ∈ N . Nous utiliserons, pour tout z ∈ C , la notation z ! := Γ ( z + 1) et rappelons la dé Þ nition du coe ffi cient binomial généralisé µ kz ¶ = l = Y k 1 z − ll + 1 pour tout k ∈ N . THEOREME Il existe une relation de récurrence de la forme id · p k = a k · p k +1 + b k · p k + c k · p k − 1 , en ayant posé p − 1 = 0 . En outre si p 0 = g 0 · 1 , g e 0 = 0 et p k ∈ g k · id k + g e k · id k − 1 + P k − 2 pour tout k ∈ N ∗ , on a g k 6 = 0 et g p k k 2 a k = gg kk +1 , b k = gg e kk − gg kk ++11 , c k = k p k k − 1 k , 2 µ,µ · a k − 1 . pour tout k ∈ N . Si le système est orthonormé, alors
468
c k = a k − 1 .
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Polynômes orthogonaux classiques 2.2 2.2 Polynômes orthogonaux classiques Les polynômes classiques orthogonaux sont caractérisés par le THEOREME Soient ρ : J −→ R ∗ + un poids et ( p k ) k ∈ N un système de polynômes orthogo-naux associé à ρ . Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) ( p k ) k ∈ N est équivalent, i.e. après une transformation a ffi ne et une renormalisation, à un système classique de polynômes. (ii) Formule de Rodrigues Le poids ρ est indé Þ niment dérivable, il existe un polynôme p > 0 sur J sans racine multiple tel que p = 0 sur ∂ J et une suite ( d k ) k ∈ N ⊂ R ∗ + tels que 1 ∂ k ¡ · p k ¢ pour tout k ∈ N . p k = d k · ρ · ρ (iii) Equation di ff érentielle de type hypergéométrique Le poids ρ est continûment dérivable, il existe un polynôme p > 0 sur J de degré 6 2 sans racine multiple tel que p = 0 sur ∂ J et une suite ( λ k ) k ∈ N ⊂ R tels que, pour tout k ∈ N , on ait Lp k := − ρ 1 · ∂ ( ρ · p · ∂ p k ) = λ k · p k ou bien p · ∂ 2 p k + q · ∂ p k + λ k · p k = 0 , où ∂ ( ρ · p ) q := . ρ Dans ce cas q est un polynôme de degré 1 , λ k = − k · · ∂ q + k − 1 · ∂ p ¸ 2 2 et les constantes sont données dans la table qui suit : Jacobi J k ( α , β ) Laguerre L ( k α ) Hermite H k J ] − 1 , 1[ ]0 , ∞ [ ] −∞ , ∞ [ ρ (1 − id) α α −− α , β · > (1 − 1+id) β i α d > · e − i 1 d e id 2 Claude Portenier LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES 469
2.2
470
Norma-lisation g k k p k k 22 , ρ a k c k g k e b k
p
d k
λ k
q
Jacobi J k ( α , β )
Polynômes orthogonaux classiques
Laguerre L ( k α ) Hermite H k
J ( k α , β ) (1) = ¡ α k + k ¢ L ( k α ) (0) = ¡ α k + ¢ H k ∈ 2 k · id k + P k − 1 k 21 k · µ α + β k + 2 k ¶ ( − k 1!) k 2 k ( α +2 α β + β + + 2 1 k · (+ α 1+) · kk )!! ·· (( αβ ++ k β )!+ k )!( α k +! k )! √ π · 2 k k ! · ( α +2 β ( k ++2 k 1)+( α 1)+( αβ ++ β k ++21 k )+2) − ( k +1)21 ( β + k ) ( α + β 2+( α 2 k +)( k α )+ β + 2 k + 1) − ( α + k ) k − 2 k ( · β ( k −− α )1)! · ( α (+ αβ ++ β 2 k − 1)! ( − 1)( k k − 1 − · ( α + k )0 + k )! 1)! − ( α + β + 2 k β ) 2 ( α + α 2 β + 2 k + 2) α + 2 k + 1 0
1 − id 2
( − 1) k · 2 k · k !
k · ( α + β + k + 1)
β − α − ( α + β + 2) · id
id
k !
k
α + 1 − id
LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES
1
( − 1) k
2 k
− 2 · id
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Polynômes de Jacobi spéciaux
2.3 Polynômes de Jacobi spéciaux
Legendre : P k = J k (0 , 0) . Tchebyche ff : 1 · J ( − 21 , − 21 ) . 1 1 e espèce T k = ¡ − 2 k + k ¢ k 2 e espèce U k k + 1 · J k ( 12 , 12 ) . = ¡ 12 k + k ¢ Gegenbauer ou ultrasphériques : 1 G ( k γ ) = ¡¡ 2 γγ − + kk 21 k + − k 1 ¢¢ · J k ( γ − 21 , γ − 12 ) pour 0 6 = γ > − 2 . et 1 γ ) G ( k 0) = lim γ → 0 γ · G ( k . Les valeurs des di ff érentes constantes sont données dans la table suivante :
Norma-lisation 1 1 k + 1 en 1
P k T k U k G ( k γ ) ρ 1 ¡ 1 − id 2 ¢ − 21 ¡ 1 − id 2 ¢ 21 ¡ 1 − id 2 ¢ γ − 12 ¡ 2 γ + kk − 1 ¢ γ 6 = 0 si = 0 k 2 1 sisi k non γ = 0 k ) π (2 γ 1 + − k 2 ) γ · k Γ !( · 2 Γ γ ( γ +) 2 γ 6 = 0 si 2 sisi k no = n 0 γ = 0 2 π k 2 k +1 2( γ + k ) 2 γ + k − 1 2( γ + k )
π k = 0 2 π k p k k 2 , ρ 2 k +1 π 2 si k > 0 2 a k k +11 2121 2 k + k 1 1 c k 2 k +1 2 2
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2.3
471
2.3
472
b k
d k
λ k
P k
0
T k
0
( − 1) k 2 k · k ! ( − 1) k · 2 √ k · π Γ ( k + 21 )
k · ( k + 1)
k 2
U k
0
( − 1) k · 2 k +1 · Γ ( k + 12 ) ( k +1) · √ π
k ( k + 2)
Polynômes de Jacobi spéciaux
G ( k γ )
0
( − 1) k · 2 k · k ! · Γ (2 γ ) Γ ( γ + k + 21 ) Γ (2 γ + k ) Γ ( γ + 21 )
k (2 γ + k )
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Fonctions génératrices
2.4
2.4 Fonctions génératrices Il est souvent utile de connaître la fonction génératrice associée à un système de polynômes orthogonaux ( p k ) k ∈ N et une suite ( ρ k ) k ∈ N convenable, que lon introduit pour renormaliser les polynômes. Elle est dé Þ nie par ∞ Φ ( x, z ) := X ρ k · p k ( x ) · z k k =0 pour tout x ∈ J et | z | < R . En utilisant la théorie des fonctions on peut montrer que lon a ρ k Φ ( x, z ) R Jacobi J ( k α , β ) 2 − ( α + β ) ( 1 − z + √ 1 − 2 xz + z √ 2 ) 1 − − α 2 · x ( z 1++ zz 2 + √ 1 − 2 xz + z 2 ) − β 1
Laguerre L ( k α ) Hermite H k Legendre P k Tchebyche ff T k Tchebyche ff U k
Gegenbauer G ( k γ )
1 1 k ! 1 1 1
1
xz/ ( z − 1) (1 e − z ) a +1 1 e 2 xz − z 2 ∞ 11 √ 1 − 2 xz + z 2 (1 − xz )1 1 − 2 xz + z 2 1 − 2 x 1 z + z 2 1 (1 − 2 x 1 z + z 2 ) γ γ 6 = 0 si 1 − ln (1 − 2 xz + z 2 ) γ = 0
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LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES Claude Portenier
Polynômes de Laguerre
2.6 Polynômes de Laguerre
− L ( k ) = x α k ! · e x · D x k ¡ x α · e − x · x k ¢ , α , x L (0 , α , x ) = 1
L (1 , α , x ) = − x + α + 1 L (2 , α , x )=21 x 2 − ( α + 2) x +21( α + 2) ( α + 1) L (3 , α , x ) = − 16 x 3 +12( α + 3) x 2 − 12( α + 3) ( α + 2) x +61( α + 3) ( α + 2) ( α + 1) L (4 , α , x ) = =214 x 4 − 16( α + 4) x 3 +14( α + 4) ( α + 3) x 2 − 61( α + 4) ( α + 3) ( α + 2) x +214( α + 4) ( α + 3) ( α + 2) ( α + 1) L (5 , α , x ) = = − 1120 x 5 +214( α + 5) x 4 − 112( α + 5) ( α + 4) x 3 +112( α + 5) ( α + 4) ( α + 3) x 2 − 214( α + 5) ( α + 4) ( α + 3) ( α + 2) x +1120( α + 5) ( α + 4) ( α + 3) ( α + 2) ( α + 1) L (6 , α , x ) = =7210 x 6 − 1210( α + 6) x 5 +418( α + 6) ( α + 5) x 4 − 316( α + 5) ( α + 4) ( α + 6) x 3 +418( α + 5) ( α + 4) ( α + 3) ( α + 6) x 2 − 1210( α + 5) ( α + 4) ( α + 3) ( α + 2) ( α + 6) x +7120( α + 6) ( α + 5) ( α + 4) ( α + 3) ( α + 2) ( α + 1)
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2.6
475
2.7
2.7 Polynômes de Hermite
476
H ( k, x ) = ( − 1) k · e x 2 · D x k ³ e − x 2 ´ H (0 , x ) = 1
H (1 , x ) = 2 x
H (2 , x ) = 4 x 2 − 2
H (3 , x ) = 8 x 3 − 12 x
Polynômes de Hermite
H (4 , x ) = 16 x 4 − 48 x 2 + 12 H (5 , x ) = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x H (6 , x ) = 64 x 6 − 480 x 4 + 720 x 2 − 120 H (7 , x ) = 128 x 7 − 1344 x 5 + 3360 x 3 − 1680 x H (8 , x ) = 256 x 8 − 3584 x 6 + 13440 x 4 − 13440 x 2 + 1680 H (9 , x ) = 512 x 9 − 9216 x 7 + 48384 x 5 − 80640 x 3 + 30240 x H (10 , x ) = 1024 x 10 23040 x 8 + 161280 x 6 − 403200 x 4 + 302400 x 2 − 30240 −
H (11 , x ) = = 2048 x 11 − 56320 x 9 + 506880 x 7 − 1774080 x 5 + 2217600 x 3 − 665280 x
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Polynômes de Hermite
2.7
H (12 , x ) = = 4096 x 12 − 135168 x 10 + 1520640 x 8 − 7096320 x 6 + 13305600 x 4 − 7983360 x 2 + 665280
H (13 , x ) = = 8192 x 13 − 319488 x 11 + 4392960 x 9 − 26357760 x 7 + 69189120 x 5 − 69189120 x 3 + 17297280 x
H (14 , x ) = = 16384 x 14 − 745472 x 12 + 12300288 x 10 − 92252160 x 8 +322882560 x 6 − 484323840 x 4 + 242161920 x 2 − 17297280
H (15 , x ) = = 32768 x 15 − 1720320 x 13 + 33546240 x 11 − 307507200 x 9 +1383782400 x 7 − 2905943040 x 5 + 2421619200 x 3 − 518918400 x
H (16 , x ) = = 65536 x 16 − 3932160 x 14 + 89456640 x 12 − 984023040 x 10 + 5535129600 x 8 − 15498362880 x 6 + 19372953600 x 4 − 8302694400 x 2 + 518918400
H (17 , x ) = = 131072 x 17 − 8912896 x 15 + 233963520 x 13 − 3041525760 x 11 + 20910489600 x 9 − 75277762560 x 7 + 131736084480 x 5 − 94097203200 x 3 + 17643225600 x
H (18 , x ) = = 262144 x 18 − 20054016 x 16 + 601620480 x 14 − 9124577280 x 12 + 75277762560 x 10 − 338749931520 x 8 + 790416506880 x 6 − 846874828800 x 4 + 317578060800 x 2 − 17643225600
H (19 , x ) = = 524288 x 19 − 44826624 x 17 + 1524105216 x 15 − 26671841280 x 13 + 260050452480 x 11 − 1430277488640 x 9 + 4290832465920 x 7 − 6436248698880 x 5 +4022655436800 x 3 − 670442572800 x
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