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Chapitre 4ESPACES DE DISTRIBUTIONSVersion du 12 juillet 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 23174.1 Une maniŁre d interprØter la notion de dualitØ4.1 Une maniŁre dinterprØter la notion de dualitØExemple physiqueSoient F un ensemble de fonctions-test sur un espace mØtrique X et m une intØgrale denRadon sur X , canoniques pour le problŁme considØrØ, par exemple un ouvert X de R etl intØgrale de Lebesgue λ . Une fonction m-mesurable f sur X dØcrivant un certain phØnomŁneest en gØnØral connue par lintermØdiaire de moyennes pondØrØes de f :Zhϕ|f •mi := ϕ•fdm;ce sont des mesures de f l aide des appareils ϕ . La forme semi-linØairehƒ|f •mi : ϕ hϕ|f •mi ,i.e.l intØgralededensitØ f par rapport m,estdoncplusnaturellequelafonctionf elle-mŒme.Ceci va nous conduire la thØorie des distributions. Voici une maniŁre de comprendre lanØcessitØ de leur utilisation, et le r le tout fait naturel qu elles jouent. ConsidØrons une boulede billard et le problŁme de la rØßexion sur une bande :Admettonsque, pour tout a,b∈R tels quea 0 , dØpendant de la vitesse et de l angle dincidence, et τ le tempsdu choc.Si ce phØnomŁne est dØcrit par une fonction force de composante F , la loi de Newton F = pœentrane Z Z Zb bp(b)−p(a)= pœ = F = 1 •F .[a,b]a a232 ESPACES DE DISTRIBUTIONS Claude ...

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lCuaed

ESPACES

oPtrenier

Chapitre 4

DE

ANALYS

DISTRIBUTIONS

EFONCTIONNELLE

Version du 12 juillet 2004

231

4.1

Une manière dinterpréter la notion de dualité

4.1 Une manière dinterpréter la notion de dualité

Exemple physique SoientFun ensemble de fonctions-test sur un espace métriqueXetmune intégrale de Radon surX, canoniques pour le problème considéré, par exemple un ouvertXdeR n et lintégrale de Lebesgueλ. Une fonctionm-mesurablefsurXdécrivant un certain phénomène est en général connue par lintermédiaire de moyennes pondérées def: hϕ|f·mi:= Z ϕ·f dm;

ce sont des mesures defà laide des appareilsϕ. La forme semi-linéaire h ¦|f·mi:ϕ7−→hϕ|f·mi, i.e. lintégrale de densitéfpar rapport àm, est donc plus naturelle que la fonctionfelle-même. Ceci va nous conduire à la théorie des distributions. Voici une manière de comprendre la nécessité de leur utilisation, et le rôle tout à fait naturel quelles jouent. Considérons une boule de billard et le problème de la réßexion sur une bande :

Admettons que, pour touta, b∈Rtels quea < b, il existe un appareil qui, entre les temps aetb, mesure la variation de la seconde coordonnépde limpulsion. On obtient p(b)−p(a) = ½ α 0 sia si 6 no τ n 6b pour un certainα>0, dépendant de la vitesse et de langle dincidence, etτle temps du choc. Si ce phénomène est décrit par une fonction force de composanteF, la loi de NewtonF=pú entraîne p(b)−p(a) = Z a b pú= Z a b F= Z 1 [a,b] ·F.

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Une manière dinterpréter la notion de dualité

SiFest continue, voire mêmeF∈L olc 1 (R), le théorème de Lebesgue montre que Z 1 [a,b] ·F−→0sia6τ6betb−a−→0,

4.1

ce qui est absurde. Il nexiste donc pas de fonction force. Par quoi faut-il la remplacer ? En fait lexpérience nous fournit la correspondance 1 [a,b] 7−→α·1 [a,b] (τ), puis α·ε τ :ϕ7−→α·ϕ(τ) :E(R)−→C, oùE(R)désigne lespace vectoriel des fonctions en escalier surR. Cela nécessite évidemment une caractérisation convenable dun appareil par une fonction, dite test, laddition de deux fonctions sexprimant par un certain amalgamme des appareils correspondants. Remarquons en outre que dans le cas classique, lopération de moyenne pondérée deF ϕ7−→ Z ϕ·F, est plus proche de la réalité expérimentale, une fonction nétant connue ponctuellement que par certaines limites de telles moyennes. Ceci montre quil est plus général et plus naturel de considérer des formes linéaires (semi- linéaires si lon travail sur le corps des nombres complexesC) que des fonctions. Lespace vectoriel des fonctions-test peut être de nature très différente suivant les besoins : E(R)pour les probabilités (théorie de la mesure) K(R)pour lanalyse (théorie de lintégration) D(R)ouS(R)pour lanalyse fonctionnelle (théorie des distributions). Nous allons dans la suite concentrer notre attention sur le dernier cas, la théorie de linté- gration ne suffiélectrodynamique, il est nécessaire de pouvoir dériversant pas. Par exemple en les intégrales de Diracε τ pour formaliser la notion de dipôle.

Exemple économique On interprèteF(=R n ) comme un ensemble decorbeilles (de biens)quun certain fabricant pourrait produire. Le vecteur n ϕ= X ϕ j ·e j j=1 désigne la corbeille contenantϕ j duj-ième bien. Le dualF 0 (=R n ) est interprété comme un ensemble déconomies:

µ(ϕ)est leprixde la corbeilleϕréalisable dans léconomieµ. La linéarité deµtraduit bien la manière de payer On se donne une !fonction de coûtf:F−→ e R:

f(ϕ)est lecoût de productionde la corbeilleϕ.

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4.1

Une manière dinterpréter la notion de dualité

Alors µ(ϕ)−f(ϕ)est leproÞtfait sur la corbeilleϕdans léconomieµ, donc f ◦ (µ) := sup ϕ∈F [µ(ϕ)−f(ϕ)] est leproÞt maximumréalisable dans léconomieµRemarquons que dans certains cas il existe. une corbeilleϕ max telle que f ◦ (µ) =µ(ϕ max )−f(ϕ max ), qui engendre donc le proÞt maximum dans léconomieµ. Le nombreµ(ϕ)−f ◦ (µ)est le coût de production idéal de la corbeilleϕquil ne faudrait pas dépasser pour réaliser le proÞt maximum dans léconomieµ, donc f ◦◦ (ϕ) := sup µ∈F 0 [µ(ϕ)−f ◦ (µ)] est le plus grand coût idéal de production de la corbeilleϕ. Nous avons vu en 3.9 quef ◦ etf ◦◦ sont des fonctions convexes s.c.i.. Sifest convexe et s.c.i.6=∞, alors le théorème de Fenchel (théorème 3.9) exprime que f=f ◦◦ , donc que le coût de la corbeilleϕest égal au coût idéal maximal deϕ.

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Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées 4.2 4.2 Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées Dans ce paragrapheXdésigne un espace localement compact. ú DEFINITION 1Siµest une intégrale de Radon positive, nous désignerons parN(µ)les- pace vectoriel des fonctions localementµ-négligeables et nous poserons L oc 1 l (µ) :=L oc 1 l (µ) ± N ú (µ); Remarquons que sif=glocalementµ-p.p. , alorsϕ·f=ϕ·g µ-p.p. pour toutϕ∈K(X), puisqueϕ·fetϕ·gsontµ-modérées (cf. lemme 1.16). DEFINITION 2Nous munironsL l 1 co (µ)de la topologie localement convexe déÞnie par les semi-normes f7−→ Z |ϕ·f|dµpourϕ∈K(X). Les semi-normes f7−→ Z |f|dµpourK∈K(X) K forment un système équivalent, car Z |ϕ·f|dµ6k Z suppϕ ϕk ∞ · |f|dµ, et Z K |f|dµ6 Z |χ·f|dµ en choisissantχ∈K(X)telle queχ>1 K . LEMMELes applications canoniques K(X)−→L 2 (µ),→L ocl 1 (µ) sont continues et dimage dense. En effet, pour toutK∈K(X)etϕ∈K(X, K), on a kϕk 2 2 = Z |ϕ| 2 dµ6µ(K)· kϕk 2 ∞ , ce qui prouve la continuité de la première application. Elle est dimage dense daprès le théorème de densité pourL 2 (µ)(cf. cours dAnalyse [17], théorème 15.15). Quant à la seconde, elle est injective par le lemme 1.16.iv et continue, car pour toutϕ∈K(X)etξ∈L 2 (µ), on a Z |ϕ·ξ|dµ6kϕk 2 · kξk 2 . Claude Portenier ESPACES DE DISTRIBUTIONS 235

4.2

Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées

Pour la densité soitf∈L clo 1 (µ),K∈K(X)etε>0. On a1 K ·f∈L 1 (1 K ·µ)et, puisque [K(X)]est dense dansL 1 (µ), il existeψ∈K(X)⊂L 2 (µ)tel que Z K dµ= Z |ψ−1 K ·f| ·1 K d |ψ−f|µ6ε, ce quil fallait démontrer. Rappelons lexemple 3.4.8.

THEOREME (i) Siµest une intégrale de Radon positive, alors lapplication f7−→f·µ:L col 1 (µ)−→M(X) est injective et continue. (ii) Si pour tout ouvertO6=∅, on aµ(O)>0, alors ϕ7−→ϕ·µ:K(X)−→M(X) est injective, continue et dimage dense.

¤

Démonstration de (i)Remarquons tout dabord, en écrivantfcomme combinaison linéaire de fonctions positives, quef·µ∈M(X). Sif·µ= 0, on a R ϕ·f dµ= 0pour toutϕ∈K(X), doncf= 0localementµ-p.p. puisqueK(X)est un espace test (cf. exemple 1.16.2). La continuité découle du lemme 3.7 car on a |hϕ|f·µi|6 Z |ϕ·f|dµ.

Démonstration de (ii)K(X)se plonge injectivement dansL 2 (µ)(cf. remarque 1.2.1), donc dansL l 1 co (µ), et par suite dansM(X)par (i). Cette application est continue par le lemme. Finalement la densité découle du corollaire 3.10.ii car, pour toutψ∈ihψ| K(X)·µi= {0}, i.e. R ψ·ϕdµ= 0pour toutϕ∈K(X), on obtient R |ψ| 2 dµ= K 0 (X , ) cond s, ψ= 0.¤

REMARQUE 1Dans le cas général, on a K(X)−→L 2 (µ),→L 1 loc (µ),→M(X). Il ne faut pas oublier que limage[K(X)]deK(X)dansM(X)dépend de lintégraleµ, dite pivot, que lon a choisie. Sil faut préciser, on désigne cette image parK(X)·µ. On pourrait aussi écrireL clo 1 (µ)·µpour limage deL col 1 (µ).

REMARQUE 2Sous lhypothèse de (ii), on a K(X),→L 2 (µ),→L 1 loc (µ),→M(X) et toutes ces applications sont dimage dense. PuisqueM(X)est séquentiellement complet par le théorème de Banach-Steinhaus (corol- laire 3.1) et lexemple 2.13.2, cet espace est une complétion séquentielle deK(X)·µ(ou de L col 1 (µ)) pour la topologie induite par la topologie faibleσ(M(X),K(X))deM(X). Cela nous permet de dire que les intégrales de Radon sont desfonctions généralisées, les fonctions deL l 1 co (µ)étant identiÞées avec les intégrales de Radon de la formeL l 1 co (µ)·µcorrespondantes.

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Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées 4.2 Remarquons que limage de la fonction1est1·µ=µ, doncµest la fonction (généralisée) 1!

EXEMPLE 1Pour toutx∈X, lintégrale de Diracε x déÞnie par hϕ|ε x i:=ϕ(x)pour toutϕ∈K(X) est une fonction généralisée bien connue des physiciens. On représente souventε x comme la limite dansM(X)dune suite(f k ) k∈N ⊂L oc 1 l (µ); on écrit ε x = lim k f k , mais cette limite ne peut pas être représentée par une fonction ! Rappelons que, par déÞnition de la topologie faible surM(X), cela signiÞe que ϕ(x) =hϕ|ε x i= lim k hϕ|f k ·µi= lim k Z ϕ·f k dµ pour toutϕ∈K(X).

EXEMPLE 2Soitρune fonction croissante sur un intervalle ouvertJdeR. Il est clair que λ ρ :ϕ7−→ Z ϕ(x)dρ(x) est une forme linéaire positive surK(J)(cf. cours dAnalyse [17], exemple 14.6.2). Nous verrons dans les exemples 3 et 4 de 4.4 la correspondance réciproque entreλ ρ etρ. On peut construire une fonctionρstrictement croissante et continue, qui déÞnisse lintégrale de Hausdorffsur lensemble de Cantor. Rappelons que cet ensemble a une mesure de Lebesgue nulle ! Le graphe approximatif de cette fonction est

Comme exemple simple

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λ:=λ id :ϕ7−→ Z ϕ

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Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées

4.2 est lintégrale de Lebesgue. On dit, pourt∈J, que h t := 1 [t,∞[∩J est lafonction de Heavisideent. On a Z ϕdh t =ϕ(t) =hϕ|ε t i, ce qui montre queλ h t est lintégrale de Diracε t ent. Par commodité en écrithetδpourh 0 etε 0 . EXEMPLE 3Voici encore un espace dintégrales, donc de fonctions généralisées, que nous rencontrerons. On pose M b (X) :=C 0 (X) 0 . Linjection canoniqueK(X),→C 0 (X)est évidemment continue et dimage dense par le théo- rème de Stone-Weierstraß. Son application adjointe, qui est lapplication de restriction µ7−→µ |K(X) :M b (X)−→M(X) est aussi injective, continue et dimage dense. On voit immédiatement que toute intégrale de Radonbornée, i.e telle que|µ| ∗ (X)<∞, déÞnit par ϕ7−→ Z ϕdµ:C 0 (X)−→K une forme linéaire continue surC 0 (X). On peut montrer que toute forme linéaire continue sur C 0 (X)est de cette forme (cf. Dieudonné, ibid., XIII.20). On a kµk=|µ|(X). Siµest une intégrale de Radon quelconque surXetf∈L 1 (µ), alorsf·µ∈M b (X)et kf·µk=kfk 1,µ , ce qui montre que L 1 (µ),→M b (X) β =C 0 (X) 0 β est une isométrie et que L 1 (µ),→M b (X) =C 0 (X) 0 σ est continue.

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Les distributions

4.3 Les distributions

Dans tout les paragraphes qui suiventXdésigne un ouvert deR n .

4.3

DEFINITIONOn dit quune forme linéaire continueµsurD(X), i.e.µ∈D(X) 0 , est unedistribution, ou unefonction généralisée. Nous considérerons toujours la semi-dualité + D(X)| D(X) 0 ® déÞnie par hϕ|µi:=hϕ, µi. Par déÞnition de la topologie localement convexeÞnale surD(X)(cf. exemple 2.10.3), la proposition 2.10 montre quune forme linéaireµsurD(X)est une distribution si, et seulement si, pour tout compactK⊂X, la restriction deµàD(X, K)est continue, ce qui signiÞe quil existek∈Netc∈R + tels que |hϕ|µi|6c·p K,k (ϕ)pour toutϕ∈D(X, K).

THEOREME (i) Linjection canoniqueD(X),→K(X)est continue et dimage dense. Son application adjointe, qui est lapplication de restriction µ7−→µ |D(X) :M(X)−→D(X) 0 , est aussi injective, continue et dimage dense. (ii) Il en est de même deD(R n ),→S(R n )etS(R n ),→L 2 (R n ), ainsi que de leur application adjointe µ7−→µ |D(R n ) :S(R n ) 0 −→D(R n ) 0 etξ7−→ξ·λ:L 2 (R n )−→S(R n ) 0 . En outre, si lon prend lintégrale de Lebesgueλcomme pivot,D(X)est dense dans D(X) 0 , de même queD(R n )dansS(R n ) 0 .

Démonstration de (i)La continuité est immédiate par la proposition 2.10, car pour toutK∈K(X), lespaceD(X, K)est continûment plongé dansK(X, K), la normek·k ∞,K de ce dernier espace étant aussi par restriction une norme surD(X, K), et linjection ca- noniqueK(X, K),→K(X)à la densité, elle découle du théorème deest continue. Quant Stone-Weierstraß, puisqueK(X, K) |K ◦ =C 0 (K ◦ )etD(X, K) |K ◦ est une sous-algèbre invo- lutive séparant fortement les points deK ◦ . Calculons ladjointej  :M(X)−→D(X) 0 de j:D(X),→K(X): pour toutϕ∈D(X)etµ∈M(X), on a + ϕ ¯ j  µ ® D(X) =hjϕ|µi M(X) = + ϕ ¯ µ |D(X) ® D(X) , doù le résultat par le corollaire 3.10.iv. Démonstration de (ii)Pour toutK∈K(R n )etϕ∈D(R n , K), on a p k (ϕ) = max α∈N n ,|α| 1 6k ° hidi k ·∂ α ϕ ° ∞ 6 ° hidi k ° ∞,K ·max α∈N n ,|α| 1 6k k∂ α ϕk ∞,K =

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4.3 Les distributions = ° hidi k ° ∞,K ·p K,k (ϕ), ce qui prouve la continuité deD(R n , K),→S(R n ), donc celle deD(R n ),→S(R n )par la proposition 2.10. Pour prouver celle deS(R n ),→L 2 (µ), il suffit de constater que, pour tout ϕ∈S(R n ), on a kϕk 2 2 = Z hidi 2k · |ϕ| 2 · hidi −2k dλ6 ° hidi k ·ϕ ° 2 ∞ · Z ∗ hidi −2k dλ6 6 µZ ∗ hidi −2k dλ ¶ ·p k (ϕ) 2 et que ∗ Z hidi −2k dλ<⇒∞⇐2k > 2 n . Pour la densité considérons tout dabord la fonctionχ∈D(R + )déÞnie par 0 06x61 χ(x) :=      0 26x e 4 ·exp ³ − (x−1)· 1 (2−x) ´ si1< x <2. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0  0.5 1 1.5 2 2.5 3 χ On a Z 1 2 e 4 ·exp µ − (x−1)·(2 1 −x) ¶ dx'.38382 DéÞnissons alors la fonctionρ∈D(R + )par ρ(x) := 1− R 0 ∞ 1 χdλ · Z 0 x χdλ. On a =61 ρ(x)    02 01 = 6x 6x ∈]0,1[si1< x <2 . 240  Portenier ClaudeESPACES DE DISTRIBUTIONS

Les distributions

4.3

Cette fonction nous permet alors de déÞnir les fonctionsρ l ∈D(R n )pourl∈N ∗ par ρ l (x) :=ρ Ã |x ! . | 2 l Pour toutϕ∈S(R n ), nous allons montrer queϕ= lim l ρ l ·ϕdansS(R n ); pour cela estimons p k (ρ l ·ϕ−ϕ) = max |α| 1 6k ° hidi k ·∂ α [(ρ l −1)·ϕ] ° ∞ 6 6max |α| 1 6k X α 06β6α µ β ¶ · ° hidi k ·∂ β (ρ l −1)·∂ α−β ϕ ° ∞ 6 6 X " 06β6α µ β α ¶# ·max |α| 1 6k ° hidi k+1 ·∂ α ϕ ° ∞ ·max |α| 1 6k ° hidi −1 ·∂ α (ρ l −1) ° ∞ . Le membre de droite tend vers0car on a ° hidi −1 ·(ρ l −1) ° ∞ = sup x∈R n ρ ³ |x l | 2 ´ x 2 −1 ρ ¯ 1 +| | ¯ = sup y∈R + ,y>1 ¯ + ( 1 y) l· − y 1 ¯ 6 1 l et ° hidi −1 ·∂ α (ρ l −1) ° ∞ 6k∂ α ρ l k ∞ 6 cst l pour|α| 1 6k,α6= 0. En effet par récurrence on obtient |x| 2 ∂ α ρ l (x) = j |α = X | 1 0 P j α (x)· µ 2 l ¶ j ·∂ j ρ Ã l ! , oùP j α sont des polynômes tels queP 00 = 1,P 0 α = 0siα6= 0,degP j α 61sij <|α| 1 et degP | α α| 1 =|α| 1 . Notre assertion est évidemment vraie pourα= 0. On a alors ∂ α+e k ρ l (x) =∂ k   | j α = X | 1 0 P j α (x)· µ l 2 ¶ j ·∂ j ρ Ã |x l | 2 !   = = X |α| 1 0 " ∂ k P j α (x)· µ l 2 ¶ j ·∂ j ρ Ã | l x| 2 ! +P j α (x)· µ l 2 ¶ j ·∂ j+1 ρ Ã | l x| 2 ! · 2 l ·x k # = j= |α| 1 +1 j = X P j α+e k ·∂ j |x j=0 (x)· µ l 2 ¶ ρ Ã l | 2 ! en ayant posé P   x j α k · 0 + P j P α j α −1 sij j= =1 j , | . = . | 1 . 0 , + |α 1 | 1 . j α+e k = ∂ k P  α CeciÞnit de prouver la densité deD(R n )dansS(R n ). La densité deS(R n )dansL 2 (R n )découle de celle deD(R n ), qui elle provient de (i) et du lemme 4.2, ou bien directement de lexemple 1.16.3.

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