COMMENT FAIT-ON POUR

Seg

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™™™ Résolution d’équations différentielles. Équations différentielles d’ordre un et quelques fonctions personnalisées. Équations différentielles d’ordre deux. Équations différentielles d’ordre supérieur à deux. 1. Équations différentielles du premier ordre et quelques fonctions personnalisées On peut se servir de la TI pour résoudre symboliquement les équations différentielles d’ordre un et d’ordre deux. En effet, la commande « deSolve » résout la plupart des équations différentielles rencontrées habituellement, soit les équations différentielles du premier ordre de types séparables, linéaires, homogènes, Bernoulli, exactes et celles qui possèdent un facteur intégrant qui ne dépend que d’une seule variable, de même que les équations linéaires du second ordre (particulièrement à coefficients constants), qui sont résolues par la méthode de variation des paramètres. On peut ou non avoir des conditions initiales (on peut même avoir des conditions aux frontières). Nous allons illustrer tout cela en utilisant la TI pour résoudre certaines équations différentielles. dyExemple 1 : soit à résoudre +=2syin(x). Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du dxpremier ordre. Il est important de distinguer la variable dépendante de la variable indépendante. Ici, nous avons la dérivée de la variable y par rapport à la variable x : x est donc la variable dyindépendante et y, la dépendante. Plutôt que d’écrire , nous aurions pu écrire ...

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• Langue: Français

Extrait

Résolution d’équations différentielles.

™

Équations différentielles d’ordre un et quelques fonctions personnalisées.

™

Équations différentielles d’ordre deux.

™

Équations différentielles d’ordre supérieur à deux.

1. Équations différentielles du premier ordre et quelques fonctions personnalisées

On peut se servir de la TI pour résoudre symboliquement les équations différentielles d’ordre un

et d’ordre deux. En effet, la commande « deSolve » résout la plupart des équations différentielles

rencontrées habituellement, soit les équations différentielles du premier ordre de types

séparables, linéaires, homogènes, Bernoulli, exactes et celles qui possèdent un facteur intégrant

qui ne dépend que d’une seule variable, de même que les équations linéaires du second ordre

(particulièrement à coefficients constants), qui sont résolues par la méthode de variation des

paramètres. On peut ou non avoir des conditions initiales (on peut même avoir des conditions aux

frontières).

Nous allons illustrer tout cela en utilisant la TI pour résoudre certaines équations différentielles.

Exemple 1 :

soit à résoudre

dy

dx

y

+

=

2

s

i

n

(

x

)

. Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du

premier ordre. Il est important de distinguer la variable dépendante de la variable indépendante.

Ici, nous avons la dérivée de la variable

y

par rapport à la variable

x

:

x

est donc la variable

indépendante et

y

, la dépendante. Plutôt que d’écrire

dy

dx

y

+

=

2

s

i

n

(

x

)

)

, nous aurions pu écrire

puisque le «

y

′

» signifie la dérivée de

y

par rapport à la variable indépendante,

qui est

x

;

c’est cette notation qu’il faut utiliser pour les TI. Sur la Voyage 200, le

[

′

]

s’obtient

avec

[

2nd

]

[

B

]

tandis qu’avec la TI-89 Titanium, c’est

[

2nd

]

[

=

]

.

y

y

x

′+

=

2

s

i

n

(

Comme l’indique la figure 1, la commande « deSolve » possède la syntaxe suivante :

deSolve(edo, varind, vardep)

où « edo » est l’équation différentielle, « varind » est la variable indépendante et « vardep » est la

variable dépendante.

Dernière révision : août 2005

Page 1

Figure 1

Souvent, la TI met tout sur un dénominateur commun. Cela n’est pas toujours souhaitable et la

commande propFrac

[

F2

]

[

7

]

est alors utile pour séparer les termes.

La constante arbitraire (réelle) @1 vient nous rappeler qu’il n’y avait pas de condition initiale.

Elle a la même signification que le « C » que nous aurions écrit si nous avions résolu l’équation

manuellement.

Ajoutons une condition initiale, disons

y

(0) = 3. On insère cette condition initiale immédiatement

après l’équation différentielle avec un AND (figure 2 a) :

Figure 2 a

Figure 2 b

On peut se demander quelle condition initiale du type «

y

(0) =

a

» il aurait fallu donner afin

d’éliminer la présence du terme exponentiel.

Il aurait fallu choisir

a

=

−

1/5 (figure 3).

Figure 3

Nous aurions, de cette façon, obtenu une réponse périodique dont l’amplitude est environ 0,447

et l’angle de phase, environ 0,46 (figure 4).

Dernière révision : août 2005

page 2

Figure 4

Exemple 2 :

circuit

RC

.

L’équation associée à un circuit

RC

est une équation différentielle

linéaire du premier ordre, dans laquelle

R

est la résistance,

C

est la capacitance du condensateur,

E

(

t

), la source (force électromotrice) et

a

, le voltage initial aux bornes du condensateur :

dv

dt

RC

v

E

t

RC

v

a

C

C

C

+

=

1

0

(

)

(

)

,

=

Nous pouvons construire une fonction pour résoudre de tels problèmes (figure 5). Disons qu’on

accepte la variable

t

pour représenter le temps. Alors notre fonction

dépendra de 4 variables :

R

,

C

,

E

et

a

.

C

v

Nous construisons la fonction

(

)

CircRC

, , ,

R

C

E

a

(figure 5) :

Figure 5

Pour nous faire une idée, supposons qu’une résistance de 20

Ω

soit branchée en série à un

condensateur de 0,01F et une source

E

t

e

e

t

(

)

t

=

+

−

−

40

20

3

6

. Initialement, le condensateur n’est

pas chargé. On nous demande de montrer que le voltage maximum atteint est de 25V.

Nous utilisons notre fonction

(

)

3

6

CircRC 20,0.01,40

20

,0

t

t

e

e

−

−

+

pour trouver

( )

C

v

t

.

Pour se débarrasser des décimales, on utilise « exact » sur le membre de droite (figure 6 à

gauche), la fonction fMax :

[

F3

]

[

7

]

nous évite d’avoir à calculer la dérivée du voltage « vol » et

de l’annuler (figure 6 b). Nous trouvons donc que le voltage maximal est effectivement 25V et

qu’il est atteint quand

(

)

ln 2

0,231s

3

t

=

≈

.

Dernière révision : août 2005

page 3

Figure 6 a

Figure 6 b

Figure 6 c

À la figure 6 c, nous avons le graphique du voltage aux bornes du condensateur dans une fenêtre

où

−

0.1 <

x

< 2,

−

0.2 <

y

< 30. La quantité

( )

ln 2

3

y est affichée en décimales.

Exemple 3.

Dans un cours d’équations différentielles, on apprend comment résoudre les

équations du premier ordre en reconnaissant leur type. Bien sûr, la commande « deSolve » les

résout pour nous. Mais pour procéder par nous-mêmes, il faut définir différentes fonctions selon

le type d’équation. Cela aura l’avantage de nous forcer à reconnaître le type d’équation et même,

dans certains cas, de donner la réponse de façon plus compacte.

Donnons les exemples pour une équation différentielle séparable,

dy

dx

p

x

q

y

=

(

)

(

)

, une linéaire du

premier ordre,

dy

dx

p

x

y

q

x

+

=

(

)

(

)

, et une exacte,

M

x

y

d

x

N

x

y

d

y

(

,

)

(

,

)

+

=

0

où

∂

∂

=

∂

∂

M

y

N

x

.

Nous voulons définir des fonctions personnalisées qui vont résoudre chacun de ces types

d’équations différentielles. Pour simplifier, nous n’introduisons pas de condition initiale et nous

allons répondre en terme d’une constante arbitraire.

Pour l’équation à variables séparables, nous procédons comme suit :

soit

dy

dx

p

x

q

y

=

(

)

(

)

d’où

p

x

d

x

q

y

dy

C

(

)

(

)

=

z

z

1

+

. C’est ce que nous définirons pour la calculatrice.

Pour la linéaire du premier ordre, nous savons que la solution générale est

y

e

q

x

e

d

x

C

p

x

d

x

p

x

d

x

=

z

z

+

F

H

I

K

−

z

(

)

(

)

(

)

. C’est cette formule qui sera donnée dans la définition de la

fonction.

Dernière révision : août 2005

page 4

Finalement, si l’équation différentielle

M

x

y

d

x

N

x

y

d

y

(

,

)

(

,

)

+

=

0

est exacte, alors sa solution

est

V

(

x

,

y

) =

C

où

V

est telle que

∂

∂

=

V

x

M

et

∂

∂

=

V

y

N

Mais alors,

V

M

d

x

K

y

=

+

z

(

)

où

K

doit

satisfaire

N

y

Mdx

K y

=

∂

∂

+

′

z

e

j

( ) . Ainsi,

K

y

N

y

Mdx dy

(

)

=

−

∂

∂

F

H

G

I

K

J

z

z

e

j

. C’est ce résultat que

nous écrivons dans notre fonction à définir.

Figure 7

Maintenant nous pouvons résoudre, à titre d’exemple, les 3 équations différentielles suivantes :

(

)

2

sin

dy

x

dx

y

−

=

, qui est une équation à variables séparables, avec

2

p

x

= −

et

(

)

1

sin

q

y

=

2

5

1

0

2

x

dy

x

y

e

dx

−

+

=

, qui est une équation linéaire, avec

et

2

5

P

x

=

2

10

x

Q

e

−

=

, qui est exacte avec

(

)

2

2

s

i

n

(

)

4

y

x dx

x y dy

+

+

0

=

)

2

2

s

i

n

(

M

y

x

=

+

et

.

4

N

x

=

y

Figure 8

Nous remarquons que la solution de l’équation linéaire comporte une intégrale qui ne possède

pas de primitive en termes de fonctions élémentaires.

Dernière révision : août 2005

page 5

2. Équations différentielles d’ordre deux

Voici deux exemples d’équations différentielles d’ordre deux. Notez que pour indiquer une

dérivée seconde, il faut taper deux fois

[

′

]

.

Exemple 4.

Soit l’équation différentielle suivante :

s

t

s

t

s

t

t

e

s

s

t

″

−

′

+

=

+

=

′

=

−

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3

2

8

1

2

0

0

0

2

,

,

2 .

À la main, nous utiliserions la méthode des coefficients indéterminés pour ce problème. Nous

pouvons diviser le travail en tapant l’équation différentielle que nous appellerons « ed » et les

conditions initiales, « ci ». Voir la figure 9.

Figure 9

Encore ici, la commande propFrac

[

F2

]

[

7

]

donne la réponse sous une forme plus naturelle :

Figure 10

Exemple 5 :

mouvement harmonique / régime permanent

Un problème de masse-ressort nous amène à résoudre

d

x

dt

x

A

t

x

x

2

2

0

2

0

0

0

0

+

=

=

′

=

ω

ω

sin

( )

( )

,

,

Le fait de ne pas avoir d’amortissement

a comme conséquence que la réponse du système ne

comporte pas de régime transitoire : il n’y a que le régime permanent.

Dernière révision : août 2005

page 6

Comme l’indique la figure 11 a, la TI ne traite pas la quantité

ω

o comme une valeur positive, à

moins que nous ajoutions cette information (figure 11 b).

Figure 11 a

Figure 11 b

La méthode utilisée par la TI est la variation des paramètres pour trouver la solution particulière

(et non celle des coefficients indéterminés) : cela explique les produits de sinus et de cosinus qui

inondent l’écran (figure 11 b). On peut utiliser des identités de trigonométrie pour obtenir une

réponse condensée, en utilisant tCollect

[

F2]

[

9

]

[

2

]

(figure 12).

Figure 12

Dans le cas où

ω

=

ω

o, on obtiendrait le phénomène de résonance. La TI a « présumé » que

ω

≠

ω

o. Pour obtenir le cas où

ω

=

ω

o, nous faisons calculer une limite (figure 13).

Figure 13

Nous aurions aussi bien pu résoudre l’équation différentielle en remplaçant

ω

par

ω

o (figure 14).

Dernière révision : août 2005

page 7

Figure 14

Dernière révision : août 2005

page 8

3. Équations différentielles d’ordre supérieur à deux

Il est (sûrement) encore important de résoudre à la main les types classiques d’équations

différentielles du premier ordre. Il est (sûrement) encore important d’apprendre la méthode des

coefficients indéterminés et la méthode de variation des paramètres. Il est (sûrement) très

intéressant de s’aider de la TI, surtout pour les problèmes où les calculs sont longs. Ainsi, nous

exploiterons au maximum les fonctionnalités présentes dans la calculatrice.

Exemple 6 :

Dans nos TI, il n’y a pas de trucs pour résoudre des équations différentielles

d’ordre supérieur à 2. Comment pouvons-nous utiliser notre calculatrice pour résoudre, par

exemple, l’É.D. du troisième ordre suivante ?

2

7

4

6

5

2

1

3

3

3

2

2

d

y

dx

d

y

dx

dy

dx

y

x

e

x

+

−

−

=

+

−

Cette équation se résout par la méthode des coefficients indéterminés, en faisant faire les calculs

(recherche des racines, calcul des dérivées, etc.) par la calculatrice.

1)

Il nous faut trouver les racines de l’équation caractéristique et définir un opérateur différentiel

qui représente l’équation différentielle. Nous voyons que les racines de l’équation caractéristique

sont 5/2 et

−

3

±

2

i

(ce qui nous permet de produire la solution complémentaire).

Nous avons

appelé notre opérateur différentiel « op ». Remarquons que si l’on se satisfait de la variable

x

, on

n’a pas besoin d’écrire « op(

x

,

y

) » seulement « op(

y

) » (figure 15).

Figure 15

2)

On passe à « op » le candidat pour la solution particulière :

ce candidat est dénoté « can ».

On fait ensuite résoudre le système (figure 16).

Figure 16

Dernière révision : août 2005

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Prenons un crayon et écrivons la réponse (la TI viendra ensuite en confirmer la validité) :

y

c

e

e

c

x

c

x

x

e

x

x

x

=

+

+

−

−

+

−

1

5

2

3

2

3

3

2

2

2

65

57

4225

20

/

cos

sin

b

g

Vérifions cette réponse. Attention !

Dans la TI, « c1 », « c2 » sont des noms réservés (pour les

colonnes d’un tableau). Donc, utilisons « a1 » et « a2 », par exemple :

Figure 17

Ainsi, notre réponse était bonne !

Document produit en août 2000.

Dernière révision : août 2005

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