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™™Résolution graphique d’équations différentielles Équations différentielles du premier ordre É.D.O. d’ordre 2 ou plus, systèmes d’équations différentielles 1. Équations différentielles du premier ordre NOTE.— On consultera le document Résolution d’équations différentielles pour l’utilisation de la commande « deSolve ». Prenons une équation différentielle du premier ordre. Nous allons l’utiliser pour tracer le champ de pentes, tracer quelques courbes solutions, illustrer les méthodes numériques, et vérifier le théorème d'existence et d'unicité des solutions. Comme le montrent les figures suivantes, le mode « Équations différentielles » permet de bien gérer notre travail. Ce mode est accessible dans MODE, en choisissant Function « Diff equations ». Dans ce mode, l’éditeur d’équations, [Y =], nous permet de définir des équations différentielles d’ordre 1, à condition de pouvoir isoler la dérivée. Allons donc dans l’éditeur d’équations, qui peut conserver en mémoire jusqu’à 99 équations différentielles! Notons qu’on tape, par exemple, « y1 » et non pas « y1(t) » pour ne pas confondre avec les fonctions de l’éditeur de fonctions. Avec la TI, il faut employer t comme variable indépendante, et non x. Par défaut, le champ est celui du champ de pentes (Slope Field) et la méthode numérique utilisée pour tracer les courbes-solutions est celle d’Euler. On peut modifier ces caractéristiques en faisant [F1] [9] Graph Formats. Figure 1 ...

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Résolution graphique d’équations différentielles

™Équations différentielles du premier ordre ™É.D.O. d’ordre 2 ou plus, systèmes d’équations différentielles

1. Équations différentielles du premier ordre NOTE .— On consultera le documentRésolution d’équations différentiellespour l’utilisation de la commande « deSolve ». Prenons une équation différentielle du premier ordre. Nous allons l’utiliser pour tracer le champ de pentes, tracer quelques courbes solutions, illustrer les méthodes numériques, et vérifier le théorème d'existence et d'unicité des solutions. Comme le montrent les figures suivantes, le mode «Équations différentielles» permet de bien gérer notre travail. Ce mode est accessible dans MODE, en choisissant Function «Diff equations ».Dans ce mode, l’éditeur d’équations, [Y=] , nous permet de définir des équations différentielles d’ordre1, à condition de pouvoir isoler la dérivée. Allons donc dans l’éditeur d’équations, qui peut conserver en mémoire jusqu’à 99équations différentielles! Notons qu’on tape, par exemple,«yet non pas «1 »y1(tpour ne pas confondre avec les fonctions de) » l’éditeur de fonctions. Avec la TI, il faut employertcomme variable indépendante, et nonx. Par défaut, le champ est celui du champ de pentes (Slope Field) et la méthode numérique utilisée pour tracer les courbessolutions est celle d’Euler. On peut modifier ces caractéristiques en faisant [F1] [9] Graph Formats.

Figure 1 Nous avons entré, dans l’éditeur d’équations, deux équations différentielles. Nous avons désélectionné la deuxième (On ne peut tracer qu’un champ de pentes à la fois!). Ces deux exemples simples permettent de voir qu’avec un support graphique, on peut découvrir des concepts théoriques importants: la courbe définie implicitement, l’intervalle d’existence de la solution, le comportement des méthodes numériques (Euler et RungeKutta, ici).

Dernière révision : août 2005

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2 dy3t+4t+2 , a 0 f 2 Exemple 1 :Une É.D.O. séparable =y= − . dt2(y−1) Après avoir séparé les variables, aton une idée du graphe de la solution? Que se passetil si l’on tente de « traverser » la droite horizontale y1 ? Après avoir résolu l’équation différentielle, 2 32 nous nou scontentons trop souvent de la réponse implicite y−2y−8=t+2t+2t , sans penser aux 2 branches qui résultent de cette expression. Nous voyons, à la figure2 a,le graphe de chacune de ces 2 branches, qui se «rejoignent »sur la droite y=1 . Évidemment, la seule qui nous intéresse est celle qui contient le point ( 0,−2 ) , c’estàdire la branche du bas. Il devient particulièrement intéressant d’appliquer la méthode d’Euler, en partant du point ( 0,−2 ) avec un pas négatif , dans l’espoir (!!!) de «traverser »cette droite y1 . Constatez les dégâts à la figure 2 b!

 Figure2 aFigure 2 b Exemple 2 :É.D.O. linéaire qui devrait permettre de comprendre la notion de solution en une régime permanent... dy a f +y=3 cos(2t),y0=a dt Même si la courbesolution correspondant à la condition initiale est tracée, d’autres courbes solutions peuvent être exécutées en faisant [F8] : IC « initial conditions ». Le concept de solution en régime permanent, par rapport à la solution transitoire, peut être visualisé à l’aide de ces diverses conditions initiales: quel que soit le point de départ, la solution se stabilise sur une fonction sinusoïdale (c’est le régime permanent) (figure 3).

Figure 3 Cela deviendra encore plus clair par la résolution analytique de la dernière équation différentielle. Finalement, l’amplitude en régime permanent est d’environ 1,34 (figure 4).

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Figure 4 Cette approche aurait pu être envisagée avant d’avoir résolu l’équation différentielle linéaire du dy b 0 g 0 premier ordre +p(t)y=q(t),y t=y . Une fois cette dernière résolue, il est intéressant de dt remarquer que, dans le cas où la fonctionp(t) est une constante réellepoù et t≥0 , une entrée bornéeq(t) fournira une sortiey(t) bornée si et seulement si p>0 . Le champ de pentes permettait de le deviner puisqu’on voyait que les pentes « ramenaient » le graphe vers la fonction sinusoïdale. Pour illustrer cette remarque, on peut tracer le champ de pentes d’une équation différentielle où on prend p= −2 (figure 5). dy −2y=3cos(2t),y ( 0 ) =a . dt

Figure 5 Nous voyons que les pentes s’éloignent de la fonction sinusoïdale, c’estàdire que la fonction « fuit » une stabilisation.

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2. É.D.O. d’ordre 2 ou plus, systèmes d’équations différentielles Exemple 3 : Considéronsà coefficientsl’équation différentielle suivante (du deuxième ordre, constants, homogène) : 2 d xdx +0, 2+1, 01x=0,x(0)=0,x′(0)=1 2 dt dt t − 10 Une résolution (à la main par exemple) donne =esint . La TI le confirme aussi. On consultera iciRésolution d’équations différentiellesl’utilisation de la commande pour « deSolve ».La présence, en mode AUTO, de données décimales, introduit un résultat approximatif (décimal). Cela peut s’éviter en ajoutant « exact » devant l’opération que l’on désire effectuer (figure 6) :

Figure 6 Comment visualiser graphiquement cette solution? On doit, dans un premier temps, transformer notre équation différentielle du deuxième ordre en un système d’équations différentielles du 2 dx dyd x dy premier ordre. Posons =y . Alors = . Donc = −0, 2y−1, 01x , ce qui donne le 2 dt dt dt dt système d’équations différentielles ⎧ dx =y ⎪ dt = ⎨ x(0)=0,y(0) 1 dy ⎪ = −1, 01x−0, 2y ⎪ ⎩ dt 10 10 F t I t t sin − − G J Résolvons ce système à la main pour trouver =esint et y=ecost− . H 10 K La solution de l’équation différentielle d’ordre 2 a été obtenue en résolvant un système, ce qui a permis de n’avoir que des équations différentielles d’ordre 1. C’est cette stratégie qui sera utilisée pour la résolution par la méthode de RungeKutta.

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′ Puisque nous connaissons ( t )  et ( t ) , nous pouvons, en nous plaçant en mode paramétrique (figure 7à gauche), dessiner le graphe de ( t ) ,x ′ ( t ) ) . Vous pouvez consulter le document Graphisme :paramétrique ou polaire. N’oublions pas quey estla dérivée dex parrapport àt. Nous faisons donc le graphe de ( ( t ) ,y ( t ) ) . Nous obtenons alors le même graphe que celui que nous obtiendrons par la méthode de RungeKutta. Choisissons 0≤t≤30 et la fenêtre−2≤x≤2 et−2≤y≤2. Ensuite,[F2][5]« ZoomSqr ». Il est bon de noter le sens du parcours (figure 7 à droite).

Figure 7 On peut obtenir à peu près le même graphique en se servant du mode des équations différentielles. Décidons quexseray 1 et queyseray 2 . Il est ainsi possible d’écrire notre système d’équations différentielles (figure8 a).Il faut sélectionner un champ de direction, ce qui dessinera la courbe (trajectoire) par la méthode de RungeKutta (RK : figure 8 b). Il ne faut pas oublier d’indiquer quels sont les axes (figure 8 c) :

Figure 8 a

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Figure 8 c

Fi ure8 b

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Pour pouvoir comparer avec le tracé en paramétrique, nous avons choisi les mêmes fenêtres.

Figure 9 Cet exemple nous fait constater l’utilité des méthodes numériques en équations différentielles. Dans certains cas, il est difficile de résoudre de façon exacte l’équation différentielle, tandis que le tracé de la solution numérique est toujours possible. R dy 3 | =y−y y 3 34 dt S 3 4 Exemple 4 :Le système non linéairey(0)=2,y(0)=3 dy | = − 4 + 3 4 4 yy y T dt possède une solution sous forme de trajectoire fermée (figure 10 à droite, où nous nous sommes restreints au premier quadrant). Après avoir entré ces deux équations différentielles, nous indiquons maintenant à la TI que l’axe desxesty 3 et l’axe desyest maintenanty 4 (figure 10).

Figure 10 Une trajectoire fermée signifie que nous obtiendrons des solutions périodiques. Vérifionsle en choisissant l’axe desx commecelui du temps, et en ne prenant aucun champ de pentes ou de direction (FLDOFF). Voici les résultats (figure12 à droite où, pour mieux apprécier la périodicité, nous avons choisixentre−1 et 30) :

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Figure 12

Document produit en juin 2000.

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