Contribution à l'étude du comportement dynamique des rotors embarqués

Duchemin Matthieu

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Extrait

 PARTIE I : Mise en équation

   

PARTIE I : MISE EN EQUATION         Cette partie a pour but de développer les équations du mouvement afin de prévoir le comportement dynamique d’un rotor dont le support est soumis à un mouvement quelconque connu. Les caractéristiques de chaque élément composant un rotor sont d’abord développées. La méthode de Rayleigh-Ritz est utilisée pour mettre en place un modèle permettant de traiter des cas simples et de mettre en évidence des phénomènes de base. Un modèle éléments finis est développé dans le souci de traiter des systèmes réels. Les équations du mouvement du rotor sont obtenues par application des équations de Lagrange.       I.1. Hypothèses de modélisation   D’une manière générale, un rotor est constitué d’un arbre reposant sur des paliers, et comportant un ou plusieurs disques. Dans cette étude, les sollicitations prises en compte sont le balourd et les déplacements imposés du support supposé rigide. Les équations du mouvement sont obtenues à partir des énergies cinétiques et de déformation des différents composants du rotor et de l’application des équations de Lagrange. La démarche utilisée est semblable à celle développée dansLalanne [24] pour la prévision du comportement dynamique de rotors dont le support est fixe.   Les hypothèses suivantes sont retenues : - l’arbre est déformable - les disques sont rigides - le rotor tourne à une vitesse constanteΩ  - les possibles asymétries de l’arbre et des disques sont prises en compte   Ces hypothèses correspondent à la majorité des rotors industriels. Les cas de disque souple et de variations rapides de vitesse conduisent à des développements spécifiques (Al Majid [2]) qui ne sont pas traités dans cette étude.     L’établissement des équations du mouvement (Duchemin [8],Duchemin [9]) nécessite les étapes suivantes :   • énergies cinétiques du :Calcul des différentes énergies des composants du système disque, de l’arbre et du balourd, énergie de déformation de l’arbre, et travail virtuel des forces extérieures. •Rayleigh-Ritz est utilisée pour l’étude desChoix d’un modèle : la méthode de phénomènes de base, et celle des éléments finis pour l’étude de systèmes réels.    

 

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 PARTIE I : Mise en équation

•    

 •

Application des équations de Lagrange sous la forme :

− + = d ⎝ ⎜ ∂ ∂ ⎛ & T ⎠ ⎟ ⎞ ∂ T∂ F U q i  (1.1) dt q i ∂q i ∂q i   où N ( 1≤i≤N ) le nombre de degrés de liberté, les qest i sont les coordonnées généralisées et les F q i sont les forces généralisées. Le symbole ∙ désigne la dérivée par rapport au temps. Mise en place de méthodes numériques pour la résolution des équations du mouvement.     I.2. Calcul des énergies des différents composants du rotor           B        (R 0 )   y 0       x 0   L     Figure I.1 : Définition des repères  

z s (R S )

y  

x

z

)

  Afin de prendre en compte la mobilité du support, trois repères principaux sont définis: R 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) est le repère galiléen, R S (x S ,y S ,z S ) est le repère lié au support indéformable, et R(x,y,z) est le repère courant, tournant, lié au rotor (cf. Figure I.1 ) . Pour l’expression des énergies cinétiques de l’arbre et du disque, les vecteurs vitesse et rotation du repère R par rapport au repère R 0 doivent être calculés.     I.2.a. Calculs préliminaires   De manière classique en dynamique des rotors, la rotation du repère R lié à l’arbre déformé par rapport au repère R S est définie par les anglesψ,θ, etΦ(cf. Figure I.2). L’orientation du repère R est définie par :   •une rotation d’un angleψ(précession) autour de z S (repère intermédiaire R 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 )) •une rotation d’un angleθ autour du nouvel axe x (nutation) 1  intermédiaire (repère R 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 )) •une rotation d’un angleΦ propre) autour de l’axe final y // y (rotation 2  (repère final R(x,y,z)).

 

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x S  

z

Φ 

2  z

θ

& θ   x 1

Φ

z S  

&

x

& Φ

y

y S

y 1  

 

  Figure I.2 : Repères intermédiaires utilisés pour passer du repère R S lié au support au repère R lié à l’arbre déformé     Le vecteur rotation de R par rapport à R S exprimé dans R s’écrit :   Ω S = ψ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎣ & 0 0 ⎢ ⎢ ⎡ + θ ⎥ ⎥ ⎦ ⎥ ⎤ ⎢ & 0 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎥ ⎤ & Φ 0 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥  (1.2) R Rs ⎣  R R 2   &

⎡θ c−ψΦ & cosθsinΦ S R ⎢ ⎢ os & cos ⎥ ⎤ ⎥ ⎦ R Ω =  ⎢  Φ + & ψsin ⎥ θ & ⎣θsinΦ + & ψcosθ Φ

 

 

 

 

 (1.3)

  Le mouvement du support est défini par les coordonnées x A , y A , et z A  du vecteur OA  exprimées dans le repère R 0 , et par les anglesα,β, etγpermettant de passer du repère R 0 au repère R S (cf. Figure I.3 ) par :   •une rotation d’un angleαautour de z S (repère intermédiaire R’(x’,y’,z’)) •une rotation d’un angleβ autour du nouvel axe x’   (repère intermédiaire R’’(x’’,y’’,z’’)) •une rotation d’un angleγautour de l’axe final y=y’’ (repère final R S (x S ,y S ,z S )).    

 

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          z’’  z 0       z S         & y S     γ   & y’       y 0     &   β   α     x 0  x’   x S         Figure I.3 : Repères intermédiaires utilisés pour passer du repère galiléen R 0  au repère R S   lié au support     Le vecteur rotation de R S par rapport à R 0 exprimé dans R S s’écrit :    Ω S 0 ⎢ ⎢ = ⎡ ⎣ ⎢ 0 0 & ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ + ⎢ ⎡ β α ⎢ ⎢ 0 0 & ⎥ ⎥ ⎤ ′′ + ⎢ ⎡ γ ⎢ ⎢ 0 0 & ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥  (1.4) ⎣ ⎥ ⎦ ⎣ R '  R  R S  

 

& γ − α ⎡ ⎢ ⎢ βcos & cosβsin ⎤ ⎥ γ 0 = Ω S ⎢ ⎣ & α  + si α nβ + & ⎥ ⎦ γ γ β & γ βsin & cos cos ⎥ R

S

⎡ & ⎤ α S & ⎥ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ β γ S ⎥ ⎥ & ⎦ S Rs

 

 

 

(1.5)

  Par la suite, afin de faciliter la manipulation des équations et d’améliorer la clarté des & résultats, les calculs sont effectués à l’aide des coordonnéesα & S ,β S , & γ S du vecteur rotation de R 0  rapport à R par S  exprimé dans R S . De même, pour paramétrer les mouvements de translation du support, les coordonnées X, Y, Z du vecteur OA exprimées dans le repère R S   sont utilisées.    

 

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Le vecteur position OA s’écrit :   ⎡ OA ⎢ = ⎢ ⎢ ⎡ ⎣ z y x A A A ⎦ ⎥ ⎤ ⎥ ⎥ R   ⎢ ⎢ ⎢ =− ⎣ ⎡ x x A A os     is n  cα α z + A +y y A A  s sin  oc α   ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ α R = ⎢ ⎢ ⎢ z z A A cos      in s β+ β−( x A x( x c A A i     s o si s   α     n nα + α y − − A s y y A i A    o c c n   α s     os α α) s ni oc ) s ⎥ β β ⎤ ⎥ ⎦ R (1.6) ′ ⎣ ⎥ ′ 0   OA ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ = ( ( x x A A  c os c os +α α+ y y A A n z n si si    A α α   ) ) s n i i s o s  n c β− γ + − γ ( ( ( x z z A A A is c     c s   o   s   n o  + α− + β β (x (x y A A   A    is s   o i c s n  n α   α α ) − c −y o s y A A β  c   os co   s  α α  s   in si   n )  )β β ) ) cos sinγ γ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ R S = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ X Y Z ⎤ ⎦ ⎥ R S   ⎣ ⎥ ⎥ (1.7)   A partir des équations de mouvement du support exprimées dans le repère galiléen, les coordonnées des vecteurs rotation et position du repère R par rapport à R 0  être peuvent obtenues facilement. Pour les développements suivants, les équations sont exprimées en & fonction deα & S ,β S ,γ & S et X, de leurs dérivées par rapport au temps. et Y, Z   Le vecteur rotation de R par rapport au repère R 0 est (cf. Figure I.2 et I.3) :   + ⎢ ⎢ ⎡ Ω R 0 = Ω S 0 + Ω R S β γ = α ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ & & & S S S ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ Rs ⎣ ψ ⎢ & 0 0 ⎥ ⎥ ⎤ ⎦ ⎥ Rs ⎢ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ + & θ 0 0 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ R 3 ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ + & Φ 0 0 ⎥ ⎥ ⎤ ⎥ ⎦ R  (1.8)  

0 & α S ψ + & β S sinψ + & θcosΦ − & α S sinψ − & β S cosψsinθ + ( & γ S + & ψ ) cosθsinΦ x Ω R = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ cos − & α S sinψ − & β S cosψcosθ + ( & γ S + & ψ ) sinθ + & ⎥ ⎥ ⎦ ⎥ ωΦ ω = ω θΦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ y ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ & α S cosψ + & β S sinψ + & θsinΦ + & α S sinψ − & β S cosψsinθ + ( & γ S + & ψ ) cos cos  R R z (1.9)   La vitesse de rotation du rotor est suivant l’axe y ;ψ etθ les déformées représentent angulaires de l’arbre dans les directions x et z ;Φreprésente sa position angulaire par rapport au support. L’arbre ne subit que de petites déformations (domaine élastique),ψetθsont donc considérés comme des angles infiniment petits.   &

D’après les hypothèses, le rotor tourne à vitesse constanteΦ:   & Φ = Ω etΦ = Ωt (1.10)     Lors du mouvement, la ligne moyenne de l’arbre ne reste pas confondue avec la droite AB (cf. Figure I.1 ). Soient (u, y, w) les déplacements de l’arbre au point C dans le repère R S , u et w sont variables alors que y est considéré comme constant puisque seuls les mouvements de flexion de l’arbre sont étudiés.      

 

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 PARTIE I : Mise en équation

Ainsi :  

⎢ ⎡ u ( y, t ) ⎥ ⎤ = AC ⎢ ⎢ ⎣ w ( t y ,y ⎥ ⎥ ⎦ ) Rs  

 

 

  et comme le vecteur vitesse du point C dans le repère R S s’écrit :  

avec

 

il vient :  

0 d 0 d OC S OC 0 OC V (C)= dt = dt + Ω S ∧   

X+u ( y, t ) OC=OA+AC= ⎢ ⎢ ⎡ ⎢ Y+y ⎥ ⎤ ⎥ ⎥   ⎣ Z+w ( y, t ⎦ ) Rs

& & & + ⎤ = ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ∧ ⎢ ⎡ + + & & ⎥  V 0 ( C ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ) & X Z+ Y u w ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ Rs ⎢ ⎣ ⎡ γ β α + S S S ⎥ Rs ⎢ ⎢ ⎣ Y Z X + y w u ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ Rs & & ⎦  

 

 

 

 

 

 

S S u C V 0 (C) ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ = Z & X & + Y & + w + & u & γ & + +   β & α & ( X Z     + Y u + + ) w −α ) & − −γ &   β & ( Z+ Y w + + ) y ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎢ ⎥ ) ⎤ ⎥ ⎦ ⎥ ⎥ ⎡ =   S S v C S (y) S  (X u) Rs w C ⎦ Rs

 

 

   

(1.11)

 

(1.12)

 (1.13)

(1.14)

 (1.15)

  Les expressions des énergies cinétiques de l’arbre et du disque peuvent être calculées à 0 partir des expressions du vecteur rotationΩ R et de la vitesse du point C par rapport au repère R 0 .     I.2.b. Disque   Le disque supposé parfaitement rigide est caractérisé par son énergie cinétique uniquement. Le disque de centre C est situé à la position arbitraire y S = y (cf. Figure I.1 ). Son énergie cinétique s’écrit :   T D =M 2 1 D ⎝ ⎜ ⎛ V 0 (C) ⎟ ⎞ ⎠ 2 + 2 1 Ω 0 R I C  Ω R 0  (1.16)

     

 

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 PARTIE I : Mise en équation

où M D est la masse du disque et I C tenseur d’inertie principal, exprimé dans le repère liéson au disque : ⎡ I Dx 0 0 ⎤ I ⎢ 0 I 0 ⎥ ⎥ C = ⎣ ⎢ ⎢ 0 0 Dy I Dz ⎦⎥ R  (1.17)   Remarque : si le disque est symétrique, I Dx = I Dz .   L’énergie cinétique s’écrit :   T D = 1 2  M D  u 2 C +v 2 C +w 2 C + I 1 Dx  ω x 2 +I Dy  ω y 2 +I Dz  ω z 2  (1.18) 2   Afin de distinguer les effets dus à l’inertie de section moyenne du disque et les effets de la dissymétrie, la notation suivante est utilisée : I I Dx +I Dz = Dm 2 I Dx −I Dz  (1.19) I= Da 2     L’énergie cinétique du disque s’écrit alors :  

avec

 

T D = 2 M   1 D t 1 ( y,t ) +  1 2  I Dm t 2 ( y,t )  +I Dy t 3 ( y,t ) +I Da t 4 ( y,t )  

 

(1.20)

 

t ( y, t ) = u 2 +v 2 +w 2 1 C C C t 2 (y, t=)ω 2 x +ω 2 z 2 t 3 (y, t)=ω y  (1.21) t(y, tω)= 2 −ω z 2 4 x     Les calculs des fonctions t 1 , t 2 , t 3 , et t 4 , sont détaillés dans l’Annexe 1. Les variables u, w, ψ etθpar rapport au temps, sont des infiniment, et donc leurs dérivées première et seconde petits. Les fonctions trigonométriques des petits angles sont remplacées par leur développement en série de Taylor et les expressions obtenues sont limitées à l’ordre 2.          

 

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 PARTIE I : Mise en équation

Ainsi, pour un disque placé à la position y, il vient :   & &  &  & γ + + T D = 2 M D 2 & α S  Z+ & w(y)+ & α S Y -β S   ( X+u(y) ) − & γ S  X+u & (y) - & S Yβ S   ( Z w(y) ) y 2 S 2 S 2 & & S ( ) S 2 & S ( ) S ( ) 2 & &  uy X & (y)+ β w(y) - Z & Y Y & γ X+u(y) - & α Z+w(y) + α + γ + + + γ + + & & Z & w(y) & S Y -β S   ( X+u(y) ) 2 + + + α & & & ++ψ I D 2 m α & S 2 + γ & S 2 + θ ( y ) 2 +ψ & ( y ) 2 + θ ( y ) 2 β S 2 − & γ S 2 ( y ) 2 β 2 S − & α 2 S & & & & & & & & & & & & +2α S  θ ( y ) + γ S  ψ ( y ) + β S  ψ ( y )  θ ( y )  − θ ( y )  ψ ( y ) + β S ( α S  ψ ( y ) − γ S  θ ( y )) + α S  γ S  ψ ( y )  θ ( y ) I Dy & S S ( ) S ( ) 2 & S ( y )   ( y ) & S ( y ) 2 ( y ) 2 + 2  Ω + γβ + &  θy− α &  ψy+ β + Ω 2 &  θ βψ θ − + ψ  I Da &  y & y y & 2  y 2 y  2 2 2 & y 2 +  2 2β S  (α & S  ψ(y) + & γ S  +θ( )) & α S  −θ( ) & γ S &  βψ( ) + S ψ( ) − θ( ) + & α S − & γ S + θ( ) & & & ( ) & ( ) &  ( ) ( ) (( )  && & −ψy 2 + γ 2 S  θy 2 − α 2 S ψy 2 +2β S  ψyθy+ θy )   ψ( y ) − 2α S  γ S    ψ( y )   θ( y ) cos 2Ωt   & & & & & & & & & & & −2α S  γ S +2β S   (γ S   ψ( y ) − α S   θ( y )) + 2α S   ψ( y ) + 2γ S   θ( y ) + 2α S 2 − β S 2   ψ( y )   θ( y )   & & & & & 2 2 & & − α γ  θ( y ) +   ψ( y ) + 2β  ψ( y )   ψ( y )  −  θ( y )   θ( y ) + 2 ψ( y )   θ( y ) sin 2Ωt

S S S (1.22)     Cette expression fait apparaître les termes classiques de la dynamique des rotors :   I • 2 Dy Ω 2 représentant l’énergie de rotation du disque. Il n’a pas d’influence: terme constant sur les équations du mouvement. • M 2 D (u & (y)²+w & (y)²): énergie cinétique d’un élément en translation dans un plan. & • I D 2 m ψ & (y)²+ θ énergie cinétique due à la rotation de l’élément autour des axes x et z.(y)² : •I Dy ψΩ & (y)θ(y) : effet gyroscopique (Coriolis).   Les autres termes sont dus au mouvement d’ensemble du rotor.   Il est à noter une certaine symétrie des termes qui composent l’énergie cinétique d’un disque :   •w interviennent de manière équivalente ainsi que les angles d’Eulerles déplacements u et ψ etθ. Ceci s’explique par le fait que le disque possède un axe de symétrie dans la direction y S . De la même manière, & α S et & γ S ont la même influence sur les équations, avec par exemple I Dm 2 2 & le terme  2 α & S + & γ S , tandis queβ S a un rôle prépondérant (rotation du support dans la direction de l’arbre). Le terme I Dm β & S (α & S   ψ( y γ ) − & S   θ( y )) en est une parfaite illustration.

 •

 

 

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& •Deux exceptions à cette symétrie sont à remarquer : le terme I Dy  β S + Ω ψ &  θ auquel ne & & correspond pas de terme I Dy  β S + Ω ψ θCette dissymétrie se retrouve d’ailleurs pour un. support fixe. Elle est due au paramétrage et en particulier au choix des angles d’Euler. Par ailleurs, dans le terme I Da & α S 2 − & β 2 S  ψy) θy) sin 2Ωt ,α & S joue le même rôle que & β S .     I.2.c. Arbre   L’arbre est considéré comme déformable. Il est nécessaire de calculer à la fois son énergie cinétique et son énergie de déformation.     Energie cinétique   L’énergie cinétique élémentaire d’un arbre dT a peut être déduite par extension de l’énergie cinétique du disque en considérant une section d’arbre infiniment mince (cf. Figure I.4) d’épaisseur dy, de section S (supposée constante), de masse volumiqueρ et d’inerties de section I x et I z (également supposées constantes).   Il suffit de prendre comme masse élémentaire : dM a = ρS dy et comme inerties principales dans le repère local :   dI Dx ∫∫∫ = ( V) y 2 +z 2 dm ∫∫ = (S) z 2 dSρdy= ρI x dy dI Dy = ∫∫∫ (V ) x 2 +z 2 dm ∫ = ∫ (S) x 2 dS+ ∫∫ (S) z 2 dSρdy= ρ  ( I x +I z ) dy (1.23)     dI Dz = ∫∫∫ (V ) y 2 +x 2 dm=  ∫∫ (S) x 2 dSρdy= ρI z dy

                         

S

dT a ⎛ ⎝ = ⎜   1 2 ρS u 2 C +

v 2 C

+w 2 C

  Figure I.4 : Section d’arbre infiniment mince     L’énergie cinétique élémentaire d’une section d’arbre infiniment mince s’écrit alors :  

2 2 2 + 2 1 ρI x  ω x + ρ  ( I x +I z )   ω y + ρI z  ω z   ⎞ ⎠ ⎟ dy  (1.24)

y

x

dy

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 PARTIE I : Mise en équation

z

 PARTIE I : Mise en équation

En posant comme précédemment :

I= I x +I z ⎪ ⎧ ⎨ ⎪ m 2   I x z ⎪ ⎩ I a = 2 −I

 

 

 

 

(1.25)

  il vient : dT a = 1 2 (  ρS t 1 ( y, t ) + ρI m t 2 ( y, t ) +2ρI m t 3 ( y, t ) + ρI a t 4 ( y, t )) dy  (1.26)   Afin d’obtenir l’énergie cinétique d’un arbre de longueur L, il suffit d’intégrer sur la longueur de l’arbre :   L T a ∫ =dT a  (1.27) 0   Soit

T a = 1 2 ⎜ ⎜ ⎝ ⎛  ρS ∫ 0 L t 1 ( y, t ) + ρI m   ∫ 0 L t 2 ( y, t ) +2ρI m   ∫ 0 L t 3 ( y, t ) + ρI a   ∫ 0 L t 4 ( y, t ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ dy  28) (1 .   L’énergie cinétique complète d’un arbre s’écrit alors :   T a = 2 1 0 L ∫ ρS 2α & S  Z & +w & (y)+ α & S Y -β & S   ( X+u(y) ) − γ & S  X & +u & (y) -γ & S Y+ β & S   ( Z+w(y) ) y + α & 2 + γ & 2 y 2 + & X+ & u(y)+ β &   ( Z+w(y) ) -γ & Y 2 +Y & + γ &   ( X+u(y) ) -α &   ( Z+w(y) ) 2 S S S S S S +Z & +w & (y)+ & Y - & β  ( X+u(y) ) 2 dy α S S + 1 L ∫ ρ α 2 + γ 2 + & θ ( ) 2 + ψ ( ) 2 + θ ( ) 2 & β 2 − γ 2 + ψ ( ) 2 & β 2 − α 2 & & & & & 2 0 I  Sm S y y y S S y S S & & & & +2 & α S  θ ( y ) + & γ S   & ψ ( y ) + β S  ψ ( l 1 )  θ ( l 1 )  − θ ( y )   & ψ ( y ) + β S ( & α S  ψ ( y ) − & γ S  θ ( y )) + & α S   & γ S  ψ ( y )  θ ( y ) dy L + ∫  ρI m β & S + Ω + γ & S  θ ( y ) − α & S  ψ ( y ) 2 + β & S + Ω 2ψ & ( y )  θ ( y ) − β & S ψ ( y ) 2 + θ ( y ) 2 dy   0 & & & & & & & + 2   1 0 L ∫ ρI a  2β & S   (α S   ψ( y ) +  γ S   θ( y )) + α S  θ & ( y ) −  γ S   ψ( y β ) + & S 2   ψ( y ) 2 −  θ( y ) 2 + α S 2 − γ S 2 + θ & ( y ) 2 & & ψ( )  +  ( )  − α  ψ( )  +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − & y 2 γ & 2 S  θy 2   & S 2 y 2 2β S  ψyθy+ θyψ & y−2α & S  γ & S   ψyθy cos 2Ωt 2 2 &  ( (y) (y))2(y)2 & (y)2 2 & 2  (y) (y) − & α S & γ S + β S γ & S ψ − α & S  αθ + & S ψ & + γ & S  αθ + & S − β S ψ θ & & & − α & S γ & S θ(y) 2 + ψ(y) 2 +2β S  ψ(y) ψ & (y) − θ(y) θ(y) +2ψ & (y) θ(y)sin 2Ωt dy (1.29)  

 

 

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