Cours-4-Notions-de-géométrie

Antoine Georges

Description

qrq-q-r-rrq-IUT Orsay Cours du erMesures Physiques 1 semestre Notions de géométrie A. Les systèmes de coordonnées dans le plan A-I. Coordonnées cartésiennes Le plan étant muni d’un repère orthonormé O,i, j , tout point peut être repéré par deux ( )nombres réels appelés abscisse et ordonnée. Ecrire M (x; y) dans le repère O,i, j c’est dire que OM = x.i + y. j . ( )2 2La distance OM est alors telle que, d’après le théorème de Pythagore, OM = x + y Si deux points A et B sont tels que A(x , y ) et B(x , y ) alors : A A B B2 2AB = (x x )+ ( y y ) b A B A  AB = (x x ).+i (y y ). j b A B AA-II. Coordonnées polaires Le plan étant muni d’un repère orthonormé O,i, j , tout ( )point M peut être repéré par deux nombres réels l’un étant la distance de l’origine O à M , l’autre étant une mesure de l’angle orienté du vecteur i au vecteur OM . Cet angle du vecteur i au vecteur OM est appelé angle polaire du point M . Les deux nombres qui décrivent ainsi la position du point M sont souvent notés et et sont appelés coordonnées polaires du point M A partir des coordonnées polaires et du point M , il est facile de retrouver les coordonnées cartésiennes du même point… il suffit de projeter pour obtenir : x = .cos( ). y = .sin( )B. Les systèmes de coordonnées dans l’espace B-I. Coordonnées cartésiennes L’espace étant muni d’un repère orthonormé O,i, j,k , tout ( )point peut être ...

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Extrait

IUT Orsay Mesures Physiques

Notions de géométrie

A. Les systèmes de coordonnées dans le plan

Cours du er 1 semestre

A-I. Coordonnées cartésiennes  Le plan étant muni d’un repère orthonormé O,i,j , tout point peut être repéré par deux nombres réels appelés abscisse et ordonnée.     Ecrire (x;y) dans le repère O,i,j c’est dire que OM1x.i#y.j .

La distance OM est alors telle que, d’après le théorème de Pythagore, OM Si deux points A et sont tels que A(x,y) et (x,y) alors : A A B B 2 2  AB1(x%x)#(y%y)  B Ab A      AB1(x%x).i#(y%y).j  B Ab A

2 2 x#y

A-II. Coordonnées polaires  Le plan étant muni d’un repère orthonormé O,i,j , tout point peut être repéré par deux nombres réels l’un étant la distance de l’origine O l’autre étant une mesure deà ,  l’angle orienté du vecteur i vecteur au OM . Cet angle du  vecteur i  au vecteur OM  est appelé angle polaire du point . Les deux nombres qui décrivent ainsi la position du point  sont souvent notés r  et q  et sont appelés coordonnées polaires du point A partir des coordonnées polaires r  et q  du il est facile de retrouver lespoint , coordonnées cartésiennes du même point… il suffit de projeter pour obtenir :  x1 r .cos( q ) .  y1 r .sin( q ) 

B. Les systèmes de coordonnées dans l’espace

B-I. Coordonnées cartésiennes   L’espace étant muni d’un repère orthonormé O,i,j,k , tout point peut être repéré par trois nombres réels appelés abscisse, ordonnée et cote. Attention, c’est bien cote et non pas côte, ni cotte…   Ecrire (x;y;z)  dans le repère O,i,j,k dire que c’est     OM1x.i#y.j#z.k . La distance OM  est alors telle que, d’après le théorème de 2 2 2 Pythagore, OM x#y#z

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Si deux points A sont tels que et A(x,y,z)  et (x,y,z) A A A B B B  2 2 2 1 % # % # #  AB(x b x A ) (y B y A ) (z A z B ) alors :       AB1(x%x).i#(y%y).j#(z#z).k  B A A Bb A Il est nécessaire de savoir « dessiner » les coordonnées cartésiennes d’un point de l’espace dans un repère orthonormé. B-II. Coordonnées cylindriques La physique faisant souvent apparaître des objets cylindriques (tiges, tubes, tuyaux, fils…) un système de coordonnées a été inventé pour ce type d’objet.   L’espace étant muni d’un repère orthonormé O,i,j,k , tout point peut être repéré par les trois nombres r , q et définis ci-dessous où m est le projeté orthogonal de sur le plan Oy : ·note on r la distance de l’origine O au point m  · on note q l’angle du vecteur i au vecteur Om ·note la cote de on A partir des coordonnées cylindriques r , q , il est facile de retrouver les et du point coordonnées cartésiennes du même point… il suffit encore de projeter pour obtenir :  x1 r .cos( q )  r q .  y1.sin( )  z1z 

B-III. Coordonnées sphériques La physique fait aussi souvent apparaître des objets sphériques (boules, sphères, surfaces équipotentielles pour une charge ponctuelle isolée, planètes…) un système de coordonnées a été inventé pour ce type d’objet. L’espace étant muni d’un repère orthonormé   O,i,j,k peut être repéré par les trois, tout point nombres r, q et j définis ci-dessous où m est le projeté orthogonal de sur le plan Oy : ·note on r la distance de l’origine O au point  · on note q l’angle du vecteur k au vecteur OM  · on note j l’angle du vecteur i au vecteur Om A partir des coordonnées sphériques r, q  et j point , il est facile de retrouver les du coordonnées cartésiennes du même point… il suffit toujours de projeter pour obtenir :  x1r.sin( q ).cos( j )  .  y1r.sin( q ).sin( j )  z1r.cos( q ) 

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C. Le produit scalaire

C-I.

Définition et propriétés « géométriques »

Si u et v sont deux vecteurs du plan ou de l’espace, on appelle produit scalaire de u par v et  on note u.v :le réel tel que     0 siuouv est nul  u v1     .  u.v.cos(u,v) sinon   Remarques : Cette définition est « intrinsèque » autrement dit elle ne dépend que des vecteurs et de l’unité utilisée mais pas du repère ou de quoi que ce soit d’autre. Si deux vecteurs ont des normes fixées, leur produit scalaire est…  ·lorsque maximum cos(u,v) vaut 1, c’est à dire lorsque u et v ont la même direction et le même sens,  · minimum lorsque cos(u,v) -1, c’est à dire lorsque vaut u  et v  ont la même direction et sont de sens contraires  ·lorsque nul cos(u,v) vaut 0. Définition : On dit que deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul. Propriété « projection et mesures algébriques» Soit trois points A,B et C .    · Si A et sont confondus, le vecteur AB est nul donc AB.AC0 · Si A  et ne sont pas confondus, on peut projeter C sur la droite orthogonalement   (AB) le projeté. Dans ces conditions on aet appeler AB.AC1AB.AH

C-II. Propriétés calculatoires   Quels que soient les vecteurs u,v  et w plan ou de l’espace, et les réels du a  et b , on a toujours :  1. 1.u u    2. u.v1v.u  3. u.(v#w)1u.v#u.w      4. au.v1u.av1a(u.v)

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C-III. Expression en repère orthonormé  Le plan étant muni d’un repère orthonormé O,i,j ,     u1xi#y j  Si on a    alors u.v1xx'#yy'  v1x'i#y'j    L’espace étant muni d’un repère orthonormé O,i,j,k ,      1 # #  u xi y j zk Si on a     alors u.v1xx'#yy'#zz'  v1x'i#y'j#z'k  Ces propriétés sont extrêmement simples : il suffit de développer les produits en distribuant…

D. Le produit vectoriel

D-I.

Définition et propriétés « géométriques »

Si u et v sont deux vecteurs du plan ou de l’espace, on appelle produit vectoriel de u par v et  on note u v levecteurtel que :       w est orthogonal à u et àv     0 siuouv est nul  Ù 1 où u v    (u,v,w) détermine un trièdre direct   sinon       w  w1u.v. sin(u,v)   Remarques : Cette définition est « intrinsèque » autrement dit elle ne dépend que des vecteurs et de l’unité utilisée mais pas du repère ou de quoi que ce soit d’autre. Si deux vecteurs ont des normes fixées, lanormede leur produit vectoriel est…  · maximum lorsque sin(u,v) vaut 1, c’est à dire lorsque u et v sont orthogonaux  ·lorsque nulle sin(u,v) vaut 0, c’est à dire lorsque u et v sont colinéaires

D-II. Propriétés calculatoires   Quels que soient les vecteurs u,v et w du plan ou de l’espace, et le réel a :, on a toujours    1. u v1 %vÙu  2. u(v#w)1uÙv#uÙw      3. au v1uÙav1a(uÙv)

D-III. Expression en repère orthonormé   Remarque préparatoire : Si O,i,j,k est un repère orthonormé direct, on a :         iÙj1k;jÙk1i;kÙi1j;         j i1 %k;kÙj1 %i;iÙk1 %j;   L’espace étant muni d’un repère orthonormé direct O,i,j,k ,      u1xi#y j#zk    uÙv1yz'%y'z)i#(zx'z'x)j(xy'x'y)k Si on a     alors (% # %  v1x'i#y'j#z'k 

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Ici encore, il suffit de développer le produit en distribuant… On peut mémoriser facilement ce résultat en utilisant une présentation « en déterminants »… explication au tableau.

E. Applications aux calculs d’aires, de volumes, de distances

E-I. Aire d’un parallélogramme L’aire d’un parallélogramme dont deux côtés sont OA  et OB  est   OAÙOB .   C’est immédiat : Aire1Base´Hauteur1OA.OB. sin( )   Exemple : On donne, dans le repère orthonormé direct O,i,j,k , A(1; 1; 2)  et B5)( 2;1; , quelle est l’aire du parallélogramme (OADB) ?… et celle du parallélogramme (OABC) ?... et celle du triangle (OAB) ?

E-II. Volume d’un parallélépipède Le volume d’un parallélépipède dont trois arêtes sont    OA,OB et OC est OAÙOB.OC .

Pas difficile :    Volume1AireDeBase´Hauteur1OAÙOB.OC. cos( ) Exemple : On donne, dans le repère orthonormé direct   O,i,j,k , A2)(1; 1; B5)( 2;1;  et C(1; 0; 2) , quelle est l’aire du pavé dont trois arêtes sont OA,OB,OC ?

E-III.

Distance d’un point à une droite

Si est une droite passant par A  et dirigée par u , et si   AM u distance de à est d(M,D)1  . u

Un peu moins évident : Si on appelle le projeté orthogonal de sur , on a :        AM u1(AH#HM)Ùu1HMÙu  d’où l’égalité des normes :       AMÙu1HMÙu1HM.u et comme la distance de  à est M …

 est un point quelconque, la

 1       Exemple : On donne, dans le repère orthonormé direct O,i,j,k , A(1; 1; 2) , u2 et     1   M( 2;1; 5) . Quelle est la distance de à la droite passant par A et dirigée par u ?

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E-IV. Distance d’un point à un plan Si est le plan défini par les trois points A,B  et C  (non-alignés) et si    ABÙAC.AM quelconque, la distance de à est d(M,P)1   ABÙAC

 est un point

Volume Cela revient à écrire que d(M,P)1HauteurDuParallélépipède1 AireDeBase   Exemple : On donne, dans le repère orthonormé direct O,i,j,k , A2)(1; 1; B5)( 2;1; et C(2;1; 1) . Quelle est la distance de M(1;1;1) au plan (ABC) ?

E-V. Equation d’un plan   Si O,i,j,k est un repère orthonormé et si est le plan défini par les trois points A,B et C    (non-alignés) pour que (x,y,z) , il faut et il suffit quesoit un point de AB AC.AM10 .   Exemple : On donne, dans le repère orthonormé direct O,i,j,k , A(1; 1; 2)B( 2;1; 5)  et C2)(1; 0; . Former une équation du plan (ABC) . Propriétés remarquables : ·plan a une équation de la forme Tout ax by#cz#d10 où au moins l’un des réels a,b,c n’est pas nul.  a     · Si un plan a pour équation ax by#cz#d10 , le vecteur V b  est     c   orthogonal au plan. x y z ·un plan a pour équation Si # 11 , ce plan passe par les points a b c A(a; 0; 0);B(0;b; 0);C(0; 0;c)

E-VI.

Coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan

 a     Soit un plan passant par le point A(x,y,z) et orthogonal au vecteur n b . A A A     c   On cherche les coordonnées ( ,y,z) du projeté orthogonal d’un point (x,y,z) sur P. M M M A priori, le point H ayant trois coordonnées, il y a trois inconnues… disons ( ,y,z) .    Comme H est orthogonal à il doit être colinéaire à n : H t.n  permet d’exprimer les coordonnées de en fonction de t et il n’y a plus qu’une inconnue.   Comme AH est orthogonal à n on a AH.n0 … ce qui se traduit par une équation à une seule inconnue t . On résout et on remplace t par sa valeur dans les expressions de ( ,y,z) Exercice : On donne A(1, 1, 2)B(0, 3, 1)C( 2, 0,1) projeté. Quelles sont les coordonnées du point orthogonal de l’origine sur le plan ABC ? Quelles sont celles du point projeté orthogonal de A sur le plan OC ?

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E-VII.

Coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite

 a     Soit une droite passant par le point A(x,y,z) et dirigée par le vecteur u b . A A A     c   On cherche les coordonnées ( ,y,z) du projeté orthogonal d’un point (x,y,z) sur . M M M A priori, le point H ayant trois coordonnées, il y a trois inconnues… disons ( ,y,z) .    Comme AH est colinéaire à u , AH t.u ce qui permet d’exprimer les coordonnées de en fonction de t et il n’y a plus qu’une inconnue.    Comme H est orthogonal à u on a MH.u0 … ce qui se traduit par une équation à une seule inconnue t . On résout et on remplace t par sa valeur dans les expressions de ( ,y,z) Exercice : On donne A2)(1, 1, B(0, 3, 1)C0,1)( 2, . Quelles sont les coordonnées du point projeté orthogonal de C  sur la droite (AB) ? Quelles sont celles du point projeté orthogonal de O sur la droite (AC) ?

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