Ce chapitre contient quelques rappels sur les fonctions d’une variable.
1.1D´efinitions,repre´sentations De´finition1.1.1.SoitIune partie deR.Une fonction surIest une application deIdansR. Une fonctionfdnopserraiuqecna`aieocssuttoestdoncuneco nombrere´elx∈Ionbmnueelrer´f(xOn´ecri)t. f:x7→f(x) ou simplementf(x). Exemples 1.1.2.L’application x7→ax´d.eil´naerifonctionefinitune x7→ax+banoi.enffiefuncton´editfin x7→ax2+bx+c,a6.2e´rlynˆunpoedegomed0=nfitid,e´ x7→sinxonaftlniinnsioctsu.fie´d De´finition1.1.3.L’ensemble des pointsxontioalu`cnoffsteleefiedl´pepsn’ia ledomainedede´finitiondef. Exemples 1.1.4. f(x) =x1urponfieidte´sex6ston.Smado=0tinfienoidenie´deR∗=R\{0}. f(x) =√x2−ruo´dfieinpee1tsx≥1 et pourx≤ −1. f(x) =√1−x2serufiein[d´ste−1,1]. D´efinition1.1.5.On appellegraphede la fonctionf(x) l’ensemble des points decoordonn´ees(x, f(x)p)raarpprot`adeuxaxesOxetOy, lorsquexparcourt ledomaineded´efinitiondef. Remarque 1.1.6.Soitanadtniopiamodelsefid´denedeontiniunf. La droite {x=a}coupe le graphe defen un et un seul point. C’est le point (a, f(a)).
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6 FONCTIONSCHAPITRE 1. D’UNE VARIABLE De´finition1.1.7.Soientfetgdeux fonctions. L’applicationx7→f(g(xd))nfie´ti une fonction qu’on appelledelcamoop´seef(x)etg(x). On notef(g(x)) ou (f◦g)(xoitcnofettec)siotnuapxfinietd´eleesn.Elxnoi´eeditfinmadoedinsnelad degtels queg(xinitnoedened´dfiesledomai)soitdanf. Exemple 1.1.8.Sif(x) =1xetg(x) =√1−x2, on af(g(x)) =√11−x2. Le domainedede´finitiondef(g(x)) est ]−1,1[. En effet,±1 sont dans le domaine ded´efinitiondegmaisg(± ;1) = 0 et doncg(±1)n’est pasdans le domaine de d´efinitiondef.
1.2Limites,continuite´,de´ri´ vees On suppose que la fonctionfdtseleal]inunrvteniomrussnfie´uaeia, b[ contenant un pointx0,peut-ˆetsaufneerx0. De´finition1.2.1.On dit que la fonctionf(x)tend versL(Lfini) lorsquex tend versx0si quelquesoitlenombrer´eel >0, il existe un nombreα >0tel que la relation0<|x−x0|< αneıˆartne|f(x)−L|< . Ceci signifie que pour unocqnuqlenne´odverutroudoitueonnαen fonction de ttredca´el’nduaeqquelx`ax0(avecx6=x0a`rnf´erieu)estiαtracede´’lf(x`a) Lur`af´inieerste. D´efinition1.2.2.La constanteLpptaese´eellimite def(x)quandxtend vers x0oulimite def(x)enx0et on note L= limf(x). x→x0 Th´eor`eme1.2.3.Soientf(x)etg(x)deux fonctions telles quef(x)tende vers Letg(x)tende versMquandxtend versx0. Alors limf(x)±g(x) =L±M,limf(x)g(x) =LM. x→x0x→x0 SiL6= 0, on a lim1)=L1,xl→x0gf((xx)=)ML. x→x0f(xim D´emonstration.tioS(empreri`arepe)ti >0. Commef(x) tend versLquand x→x0, il existeα1>0 tel que si 0<|x−x0|< α1on ait|f(x)−L|< /2. De ` lameˆmemaniere,onmontrequ’ilexisteα2>0 tel que si 0<|x−x0|< α2on ait|g(x)−M|< /2. Posonsα= min(α1, α2). On aα >0 et si 0<|x−x0|< α on a 0<|x−x0|< α1et 0<|x−x0|< α2, donc |f(x) +g(x)−L−M| ≤ |f(x)−L|+|g(x)−M|)erilaguanriett´liganie´( < /2 +/2 =.
´ ´ ´ 1.2. LIMITES, CONTINUITE, DERIVEES7 Onamontr´equepourtout >0 il existeα >0 de sorte que 0<|x−x0|< α tˆıne|f(x) +g(x)−L−M|< . Donc en ra limf(x) +g(x) =L+M. x→x0
Rappel.:lugneriatriait´eegalIn´|a+b| ≤ |a|+|b|eellrant.E´ngelatiıˆenelis´es |a±b| ≥ |a| − |b|. D´efinition1.2.4.On suppose quefsid´tauseenefinisex0. Lorsque la limite de f(x) enx0e´estelagala`elavruf(x0) def(x) enx0, on dit quefest continue en x0. On dira quefestcontinue sur l’intervalle]a, bsi elle est continue en tout[ pointx0de ]a, b[. Sif(x) est continue sur ]a, b[ son graphe au-dessus de ]a, b[ est une courbe continue. Exemples 1.2.5.Les fonctionsex, logx, sinx, cosx, tanxel,surles,meˆoynolsp compositions, sommes, produits, quotients, valeurs absolues sont continuslo``au ellessontd´efinies. Proposition 1.2.6.Sifest continue enx0ledeganisieortbeslevoaueen´x0. Pluspre´cise´ment,ilexisteα >0etA >0tels que |f(x)|< Apourx∈]x0−α, x0+α[. De´monstration.Commefest continue enx0, on a limx→x0=f(x0qu´etn,secnoar.P) pour tout >0 il existeα >0 tel que 0<|x−x0|< α=⇒ |f(x)−f(x0)|< . Ceci est aussi vrai pourx=x0car|f(x0)−f(x0)|= 0< . Donc pour tout >0, il existeα >0 tel que |x−x0|< α=⇒ |f(x)−f(x0)|< . En particulier, pour= 1, il existeα >0 tel que |x−x0|< α=⇒ |f(x)−f(x0)|<1. PosonsA=|f(x0)|ilisantl+1.Enuturpontiaergnlutbeio,onegal’in´triait´e |x−x0|< αque |f(x)|=|f(x0) +f(x)−f(x0)| ≤ |f(x0)|+|f(x)−f(x0)|<|f(x0|+ 1 =A. C’estqu’ilfautde´montrer.