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Cours d’AlgµebreJean-Claude Mado2002-200326Chapitre 1Anneaux et CorpsTous les anneaux A seront suppos¶es commutatifs, unitaires et 1 =0 .A A1.1 Anneaux (rappels)Un anneau A d¶esigne donc un triplet (A;+;£) c’est µa dire un ensemble A,non vide et muni de deux lois de composition interne l’addition ‘+’ et lamultiplication ‘£’ telles que :i) (A;+) possµede une structure de groupe commutatif, d’¶el¶ement neutrenot¶e 0 .Aii) La multiplication £, (not¶ee ¶egalement ¢ ) est associative, commutativeet poss¶ede un ¶el¶ement neutre not¶e 1 ; elle est distributive par rapport µaAl’addition.Produits d’anneaux :¶Etant donn¶e une famille (A ) d’anneaux, il existe sur le produit d’en-i i2IQsembles A une structure canonique d’anneau produit.ii2IPar la suite nous nous int¶eresserons principalement aux anneaux :ZZ- ZZ, l’anneau des entiers relatifs, l’anneau des entiers modulo l’entier n,nZZnet aux extensions Z , IQ, etc.;-k[X], anneaux des polyn^omes aµ une ind¶etermin¶ee sur un corps k, vu commeapplications aµ support flnie de IN dans k;-k[X ;:::;X ], l’anneau des polyn^omes µa n ind¶etermin¶ees sur un corps k,1 nnd¶eflni comme l’ensemble des applications µa support flni de IN dans k.3664 CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS- k[[X]] anneau des s¶eries formelles µa une ind¶etermin¶ee sur un corps k,l’ensemble des applications de IN dans k, utilis¶es en combinatoire (s¶eriesg¶en¶eratrice), ou pour la r¶esolution d’¶equations difi¶erentielles.1.1.1 Divisibilit¶e dans ...

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Cours

d’Alg`ebre

Jean-Claude

Mado

2002-2003

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Chapitre 1

Anneaux et Corps

Tous les anneauxA,snutiiammtutafireset1spustnoreocse´sop A 6= 0 A .

1.1 Anneaux (rappels) Un anneauA(tpielnurtodcnesd´neigA,+,×elbmesnenireut`adc’es)A, non vide et muni de deux lois de composition interne l’addition ‘+’ et la multiplication ‘×’ telles que : i) (A,eurtsenuegederutc+eds`os)p´lme’de´uertnentecomrouptif,muta note´0 A . ii) La multiplication×(n,lamenettoe´´ege∙) est associative, commutative etposse´deune´l´ementneutrenot´e1 A urtapipvterpiabratdisolrete`s;le l’addition.

Produits d’anneaux : ´ Etantdonne´unefamille(A i ) i∈I d’anneaux, il existe sur le produit d’en- sembles Q i∈I A i une structure canonique d’anneau produit. Parlasuitenousnousinte´resseronsprincipalementauxanneaux: -Z, l’anneau des entiers relatifs, n Z Z l’anneau des entiers modulo l’entiern, et aux extensionsZ n ,IQ ;, etc. -k[Xnaen,]´eesuruncorpsnua`dnieete´nimrxdaupoesnˆlyesomk, vu comme applicationsa`supportfiniedeINdansk; -k[X 1 , . . . , X n aomeslynˆespoaedua’nn]l,nincrupsore´niussee´dnmretk, ` d´efinicommel’ensembledesapplications`asupportfinideIN n dansk. 3

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CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS

-k[[X´sprocn]]neandeaus`auneind´etermisse´irseofmrleelk nee sur u , l’ensemble des applications deINdanskteirliire,(sueantcooism´beisnse ´ ge´ne´ratrice),oupourlar´esolutiond’e´quationsdiff´erentielles.

1.1.1Divisibilit´edansunanneau Dans un anneauAoe´dnnurenfitioibnletareinaidiviseerdroe´ra`tse’c(,dep direre´flexiveettransitive)not´ee|,d´efiniepar: a, b∈A b|a∃⇒⇐c∈A a=bc. Deux´el´ementaetbseront ditsocssase´idansA´vsli’sent:erifi a|betb|a. Tout´ele´mentxdeA´ementu’uqle´nnosiariderz´mao,disevixest undivi- seur de zeros’il est non nul (x6= 0 A exils’et´eunteisnet´lme)y6= 0 A tel que ´ xy= 0 A . L’anneauAo.edidivesrued´zreln’iosepeds´aseptseitide`tnserg Siun´elementdeirudeu’ensnmelbestuneborneinf´ereSpour la relation d’ordrenote´e|c,`adi’est:resi -i)ddivisetoute´le´mentadeS, -ii)une´le´mentmdeAndtiuq´tlee´emvisiteuoade ´ S, verifie :mdivised. On dit alors quedest leplus grand commun diviseur(pgcd) de la partieStirce´no,d=pgcd(Sa”i`asl’cisoioatrp”n.se`fin´etdesil), Si 1 =pgcd(S)les´el´ementsedSsont ditspremiers entre eux. Ond´efinitdemeˆmelanotiondeplus petit commun multiple(ppcm) comme bornesup´erieured’unepartiedeA. ¸ qu Ilde´couledefacon´evidentedesde´finitionse: - Dans un anneauAmenee´´ledxuistsxetysont tels quexdivisey, alors pgcd(x, y) =xetppcm(x, y) =y. -Soientx, y, zsedtneme´lesdeA, tel quepgcd(x, y, z)osti´dfieinorals ´ pgcd(x, y, z) =pgcd(pgcd(x, y), z).

Unite´sdel’anneau Un´el´ementade l’anneauAest ditinversibleld’isunit´e1lee´emtnvisile´’ A de l’anneau, on dit alors queaest unet´nieude l’anneauA. L’ensembledese´le´mentsinversiblesdans(A,×) :Amuni de la loi interne×

´ 1.2. IDEAL D’UN ANNEAU5 constitue un groupe multiplicatif, on le noteU(A), c’est le´tsepedesunigrou deA. Dans un anneauAstnle´xeme´gr`eeuedntiaetbsemenseultssconoatiste´ise s’ilexisteuneunite´u∈ U(A), telle quea=ub.a= 0 alorsb et si ;= 0 a6= 0, il existez, t∈Atel quea=bzetb=at, on a donca= (at)zet donc a(1−tz) = 0,zt= 1 etzinversible

Sous-anneau Un sous-anneauBdeAest une partie deAstable pour les lois ‘+’ et×tel que (B,+,×) soit un anneau, et tel que 1 B = 1 A . On dit alors queAest une extensiondeB. Une intersection de sous anneaux est encore un sous anneau.

1.2Ide´ald’unanneau Unid´ealIdeAest une partie deAtelle que : i)Iest un sous-groupe additif deA ii) Pour toutx∈I, et touta∈Aon aaxrtieappant`aI. Les parties{0}etAosd´sidentdeuxeaA,sid´eauxcesontleaixuedidstrtviA. Unid´ealIest ditpropretdeerentsel´ffidi’sA. L’id´ealIest ditpremierete,prrotpesils’:efiire´vli’s, x, y∈A, xy∈I=⇒x∈Iouy∈I. Siunid´ealItunit´edel’anneatneitnnue´´lmenecodeuA, alorsI=A. En effet, soitasvnreneitdenaislbeml´´eunI, toutydeAeutapircrerslo´es’ x=a(a −1 xcnodappate)rtient`aI. L’intersectionI=∩ j∈J (I j xdeuae´di’deuqnoclequleilamefund’)Aest en- coreunide´aldeA. SoitSune partie non vide deA’int,lctioerselsuotednuae´diseexdAqui contiennentSetsnudie´laedA,not´e(S),ilesteppaie´lae´dgneldrenpa´erS, c’estl’ensembledessommesfiniesdemultiplesd’e´l´ementsdeS: l (S) ={ P i=1 x i a i |l∈IN,x i ∈S, a i ∈A,1≤i≤l}, onecrit´egalement: ´ (S) ={ P i l =1 x i A|l∈Ix,N i ∈S,1≤i≤l}, siSest une partie finieS={x 1 , x 2 . . . , x n }simpcritnt:lemenoe´

6CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS (S) = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = P i n =1 x i A, et on dit que c’est l’´edrenngleea´dirlpanest´lmesee´x 1 , x 2 , . . . , x n deA. Demeˆmeunide´alIde l’anneauAest dit detype finis’il est de la forme I= (x 1 , . . . , x n `u)ox 1 , . . . , x n e´sedtnostneme´ldesIic’es,irest`adIest engendre´parunnombrefinid’´el´entdeA. em Unid´ealIde l’anneauAest ditprincipal, s’il est de la formeI= (x)o`ux estun´ele´mentdeIiradies’c,`tseIteesenngntapurrde´e´em´nlexdeA. Les ideaux triviaux deAsont principaux :{0}= (0), etA= (1). La relation binaire ‘|’ de l’anneauAse traduit en termes de relation d’inclu- sionentreide´auxprincipaux: a, b∈A a|b⇐⇒(a)⊃(b). Ilenre´sultequeles´ele´mentsaetbsont associes si et seulement si (a) = (b). ´ Sur l’ensembleIdised’uxdau´eueannnaAuedto,pnriede´nfiisinuxloetern d’addition et de multiplication : SoientIetJid´eauxddeuxeA, on appelleau´eiduxdeesecedosmmxqu’on noteI+J´dalenid´e’l,raI∪J. gen re p Ond´efinitdemeˆme,l’itroduaepli´dIJel’icommemns’erleblgnelae´dape´rdne S={xy|x∈Iy,∈J}. Danslecasd’id´eauxprincipauxI= (a)etJ= (b), on aIJ= (ab). On a toujours l’inclusionIJ⊂I∩J´’gel,´eefiire´vnonlare´neg´enntta´e´eital (denaseicnnounri´et´ebpropZ:ppcm(a, b)6=ab). Cependant dans le cas I+J=Ao,(ertnomnnetuesc’e)icrcxeagil’le´´t:eIJ=I∩J. Muni de ces deux lois d’addition et de multiplication,Iopsse`ednusertuc- ture,quibienqu’´etantinte´ressanten’estpascelled’unanneau.Pourautant, l’id´al(0)est´ele´mentneutredel’op´eration+,etl’id´eal(1)celuidelamul-e tiplication dansI. Soientaetbdeux´eau’ledenname´lstneA, tels quem=ppcm(a, bfieinti´d)os dansA, alors (m) = (a)∩(b.ntmeueoqrpice´rte,) SiItuesnid´ealdeA, alors on peut munir le groupe quotientAId’une structuresuppl´ementaired’anneauquotient. Proposition 1.2.1SoitAun anneau, etIaien´udedlA. Alors I est premier si et seulement siAIetsnit`egre. D´emonstration: ⇒