Cours-ChapitreI

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ållåså¥lUNIVERSITE DE BOURGOGNE L3-MATHEMATIQUESAnalyse Nume´rique Ele´mentaire,NORMES MATRICIELLES ET CONDITIONNEMENT1. Rappel sur les normes et les normes matricielles:(a) Notations:n-K est le corpsR ouC.K est l’espace vectoriel surK des colonnes a` n e´le´ments dansK.n-K est muni du produit scalaire usuel note´ (ou` ¯ est la conjugaison complexe):   x y1 1n    t . n . n¯ . .< X|Y >= x y¯ = XY, X = ∈K , Y = ∈K .   i i . .i=1 x yn n-L’espace vectoriel des matrices a` coefficients dansK, a` nlignes et p colonnes est note´M (K). Il est de dimensionn,pnp surK. Quand n= p, on le noteM (K): on a un produit interne qui en fait une alge`bre.n- Soit M∈M (C). On appelle spectre de M , note´ (M), l’ensemble de ses valeurs propres dansC.n(b) Normes: De´finitions+i. Une norme sur une espace vectoriel E surK est une application de E dansR , note´e||.|| , telle que:-||v||= 0⇔ v= 0,-||v + v ||≤||v ||+||v ||, ∀v ,v ∈ E,1 2 1 2 1 2-|| v||=| |||v||∀v∈ E, ∀ ∈C.ii. Une norme sur l’espaceM (K) est appele´e matricielle si et seulement si elle ve´rifie:n||AB||≤||A||||B||, ∀A,B∈M (K).n(c) Equivalence des Normes′ ′i. De´finition: Soient deux normes note´es||.|| et||.|| sur un espace vectoriel E surK.||.|| et||.|| sont e´quivalentessi et seulement s’ il existe deux re´els positifs a et b tels que:′a||v||≤||v||≤ b||v||, ∀v∈ E.ii. Cas de la dimension finie:Dans un espace de dimension finie , toutes les normes sont e´quivalentes.iii. Remarques:En dimension ...

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Extrait

UNIVERSITE DE BOURGOGNE

Analyse Nume´rique Ele´mentaire ,

NORMES MATRICIELLES ET CONDITIONNEMENT

L3-MATHEMATIQUES

1.Rappel sur les normes et les normes matricielles: (a)Notations: n -Kest le corpsRouC.Kest l'espace vectoriel surKseocdes`alonnn´eme´elsnadstnK. n -Ke¯u`altsjnociagureaiueusotln(o´esoncomplexe):mtsealscitduroupidun    x 1 y 1 n t   n   n ¯ <X|Y>=x i y¯ i =XY,X=   ∈K,Y=   ∈K. å . . i=1 x n y n -L'espace vectoriel des matrices a` coefficients dansKa,`nlignes etpnot´enoenestscloM n,p (K). Il est de dimension npsurK. Quandn=p, on le noteM n (K)anietquunitenefrgu`ietbinperaoldannuero.: - SoitM∈M n (C). On appellespectre deM´ton,e s (M), l'ensemble de ses valeurs propres dansC. (b)rmNo:Desfin ´ eoitisn

+ i. Unenorme sur une espace vectoriel E surKest une application de E dansRe´eot,n||.||, telle que: -||v||=0⇔v=0, -||v 1 +v 2 || ≤ ||v 1 ||+||v 2 ||,∀v 1 ,v 2 ∈E, -|| l v||=| l | ||v|| ∀v∈E,∀ l ∈C.

ii. Unenorme sur l'espaceM n (K)est appele´ematriciellesi et seulement si elle ve´rifie:

(c)Equivalence des Normes

||AB|| ≤ ||A|| ||B||,∀A,B∈M n (K).

′ ′ i.D´efinition:Soientdeuxnormesnote´es||.||et||.||sur un espace vectorielEsurK.||.||et||.||sont e´quivalentes si et seulement s' il existe deux re´els positifsaetbtels que:

′ a||v|| ≤ ||v|| ≤b||v||,∀v∈E.

ii. Casde la dimension finie: Dansunespacededimensionfinie,touteslesnormessont´equivalentes. iii. Remarques: Endimensionfinie,laconvergenceounond'unesuitened´ependpasdelanormechoisie:onprendraune norme,mˆemeinhabituelle,quipermetdeconclurefacilement.Parcontre,uncalculd'erreurde´pendradela norme choisie. (d) Exemples:

n i.Exemples surK: On a les 3 normes usuelles suivantes:   x 1   n ∀X=   ∈K, . x n

ii.Normes surM n (K).

1

||X|| 1 ||X|| 2 ||X|| +¥

n = å |x i | i=1 n 2 = å |x i | i=1 =sup{|x i |,i=1..n}

A.donn ´ eNeosrmessubor: n Soit une norme quelconque||.||surK; On appellenemron ´ eerdonsubo`a||.||surM n (K)la norme note´e |||.|||de´finie par: ||MX|| ∀M∈M n (K),|||M|||=sup{ }. X6=0 ||X|| B.Proprie´t´ese´le´mentairesd'unenormesubordonne´esurM n (K): n -||MX|| ≤ |||M||| ||X||,∀X∈K; n -|||M|||=inf{ l /||MX|| ≤ l ||X||,∀X∈K}; -|||MN||| ≤ |||M||| |||N||| ∀M,N∈M n (K)est matricielle.: toute norme subordonne´e n -|||I n |||=`u1 oI n est la matrice identite´ dansK. C.:srmNoeFedb ´ roiuen D´efinition:∀M∈M n (K)on pose: ¯ t ||M|| F =Trace(M)M. C'estunenormematriciellequin'estpassubordonn´eecar||I n || F =n6=1 sin6=1. (e)obussemronsedseraintme ´ eels ´´ eetrp ´ iPorsrdonn ´ ee|||.||| 1 ,|||.||| 2 ,|||.||| ¥ surM n (K).

i.dlarenu'snoytcepRali ` eingures.ci,eamrtrussavel

SoitMune matrice(n,n)ficefco`aansdntiesK.Mposse`de dansCn valeurs propres compte´es avec leur or- dredemultiplicit´e,not´ees( l 1 , l 2 , ..., l n )avec:

0≤ | l 1 | ≤ | l 2 |...,≤ | l n |.

•psceyanoRitfinneioaltr ´ e:De ´ te:sorpt ´ irp

–n:D ´ efinitio

On appellespectre deM, s (M)l' ensemble de ses valeurs propres dansC. On appellerayon spectral deM, r (M)le plus grand module des valeurs propres de M, soit| l n |.

–(⋆)seudaroysneptcarlPropri ´ et ´ :

-SiMesthermitienne,semi-d ´ efiniepositive(⇔<MX|X>≥0), alors r (M)est la plus grande des valeurs propres. ¯ ¯ t t - Pour toute matrice M deM n (K)alors r (MM)MMest la plus grande valeur propre de t t ¯ ¯ et r (MM) = r (M M). Preuve: -SiMest hermitienne alors toute valeur propre est re´elle. De plus , soitX i un vecteur propre deMrelatif 2 `alavaleurpropre l i , alors<MX i |X i >= l i ||X i || ≥0 donc l i ≥0,∀i`1aden. On a donc:

d'o`u: r (M) = l n .

0≤ l 1 ≤ l 2 ...≤ l n .

t t ¯ ¯ - Dans le casMquelconqueMMest hermitienne semi-de´finie positive car<MMX|X>=<MX|MX> t tt ¯ ¯¯ ≥0 d'ou` r (MM)est la plus grande valeur propre deMM.hcnanEe´tlesgeanesderˆolMetMon obtient t ¯ lemˆemer´esultatpourM M. t tt t ¯ ¯¯ ¯ Prouvons que : r (MM) = r (M M). r (MM)est la plus grande valeur propre deMMet soitX 0 un vecteur propre (non nul) relatif a` cette valeur propre. Alors: t tt t ¯ ¯¯ ¯ MMX 0 = r (MM)X 0 ⇒(M M)MX 0 = r (MM)MX 0 . 2 cas: t tt ¯ ¯¯ -siMX 0 6=0 alorsMX 0 est un vecteur propre de(M M)pour la valeur propre r (MM)et donc: r (MM)≤ ¯ t r (M M). t tt t ¯ ¯¯ ¯ -siMX 0 =0 alorsMMX 0 = r (MM)X 0 ⇒ r (MM) =0 et on a bien 0≤ r (M M). Dans tous les cas, on a: t t ¯ ¯ r (MM)≤ r (M M) t ¯ etcommeonpeute´changerlesrˆolesdeMetMe´dntiudenoteises´n'.d`ollsua´''gtuelearlit´edanl'in´ega

2

•gnlusrislaueedvsatriunemesd'i ` erMceontiniefiD ´ ¯ t MMeet´mpcoeuclvesaederdror-lumepositiveetdoncsseavelrupsorrpseehestitrmnneimese´d-iinfie tiplicit´esontre´ellespositivesetordonne´escommesuit: 0≤ a 1 ≤ a 2 ...≤ a n . Posons : m i = a i ∀i∈ {1,2, ..,n}.Alors l'ensemble{ m 1 , .., m n }pel ´ el'eestapinss-avseruelmesndelb gulie`res de M

ii.(⋆)Proposition:

Soit A= (a i,j ) i,j=1..n une matrice deM n (K). n • |||A|| å | 1 =sup j=1..n i = |a i,j |. 1 ¯ t • |||A||| 2 = r (AA). n • |||Ap å |a|. ||| +¥ =su i=1..n j =1 i,j

Preuve: Seulseraprouv´eencourslepoint2.LesdeuxautrespointsserontfaitsenTD.

(f)(⋆)Thor ´ eA'pporixe ` em.Id1rayonspemationduarlpractmeorenuneicirtam.ell

The ´ or ` emeI.1: Soit A une matrice deM n (K), alors: -Pour toute norme matricielle||.||on a: r (A)≤ ||A||. r e -∀ e >0, il existe une norme matricielle||.|| A, e telle que||A|| A, e ≤(A) +. Preuve: voir Cours.

2.deteuiSsecirtameuqleuQ:eor ` sth ´ utilemesdsnasie ´´ mtelssetareseviedoh ´ tis

Une suite de matrices(A k ) k∈N deM n (K)tend versB∈M n (K)si et seulement si il existe une norme||.||pour laque- lle||A k −B||tend vers 0 quandk−>+¥.

Conse´quences: SiA= (a)tend versB= (b)alorsatend versbquandk−>+¥. k k ,(i,j) i,j=1.. n i,j i ,j=1..n k ,(i,j) i,j

k (a)(⋆)Convergence de la suite(A) k∈N ,A∈M n (C).

Th ´ eor ` emeI.2: Soit A une matrice deM n (C)posisproreleeentelcniuav ´ aqeisyl,oral:sernaviussnoit k - lim k−>+¥ (A) =0; k n lim0 - k−>+¥ (A)v=∀v∈C; - r (A)<1; - ilexiste une norme matricielle surM n (C)telle que||A||<1. Preuve: voir cours. (b)(⋆)Inversion de matrice

The´ore`me I.3: Soit B une matrice deM n (C) −1k -Si r B1I Bet alors pour toute nor, alors IB est inversible et ( )<−(−) = å k≥0 B mematricielle||.||. − 1 1 telle que||B||<1alors||(I−B)|| ≤. 1−||B|| -Si I−opsrola,betuotruintsesBre ` eliguormematricielle||.||, on a||B|| ≥1. Preuve: voir cours. (c) The´ore`meI.4: 1 k SoitAune matrice deM n (C)alors,||A|| −> r (A),k−>+¥. k

3