SUITES DE NOMBRES RÉELS1. Définition d'une suite1.1. DéfinitionUne suite numérique est une fonction de dans , définie à partir d'un certain rang n ˛ .0La notation (u ) désigne la suite en tant qu'objet mathématique (que l'on note parfois tout simplement u) et un ndésigne l'image de l'entier n (appelé encore terme d'indice n de la suite (u )), terme que l'on pourrait noter u(n)nmais l'usage en a voulu autrement.Certaines suites ne sont définies qu'à partir d'un certain rang, comme par exemple :1 *u = définie pour n ˛ nnv = n - 3 définie pour n 3nn , +¥ = ensemble des0entiers n tels que n n .Notons que le domaine de définition est nécessairement du type n , +¥ où n ˛ . 00 0Il faut bien comprendre qu'il y a de multiples façons de définir une suite. Nous en rencontrerons principalementde deux types. Celles qui sont définies par une "relation de récurrence" et la donnée d'un ou plusieurs termesinitiaux comme par exemple u = u + u et u = 0 ; u = 1 (suite de Fibonacci). Et celles qui sont définiesn+2 n+1 n 0 1explicitement "en fonction de n" comme les deux exemples cités juste au-dessus. Les stratégies pour étudier lessuites dépendront justement de leur type. Techniques fonctionnelles pour les suites de la forme u = ƒ(n) etntechniques de récurrence pour les suites récurrentes.2. Sens de variation (ou monotonie) d'une suite2.1. DéfinitionSoit (u ) une suite de nombres réels. On dit que :n• La suite (u ) est croissante (à partir du rang n ) lorsque ...
1. Définition d'une suite 1.1. Définition Une suite numérique est une fonction dedans, définie à partir d'un certain rangn0∈. La notation (un) désigne la suite en tant qu'objet mathématique (que l'on note parfois tout simplementu) etun désigne l'image de l'entiern(appelé encore terme d'indicende la suite (un)), terme que l'on pourrait noteru(n) mais l'usage en a voulu autrement. Certaines suites ne sont définies qu'à partir d'un certain rang, comme par exemple : un= 1 pour définien∈* n vn=n− pour3 définien3 n0,+∞=ensemble des Notons que le domaine de définition est nécessairement du typen0,+∞oùn0∈.entiersntels quenn0. Il faut bien comprendre qu'il y a de multiples façons de définir une suite. Nous en rencontrerons principalement de deux types. Celles qui sont définies par une "relation de récurrence" et la donnée d'un ou plusieurs termes initiaux comme par exempleun+2=un+1+unetu0=0 ;u1= (suite de Fibonacci). Et celles qui sont définies 1 explicitement "en fonction den" comme les deux exemples cités juste au-dessus. Les stratégies pour étudier les suites dépendront justement de leur type. Techniques fonctionnelles pour les suites de la formeun=ƒ(n) et techniques de récurrence pour les suites récurrentes.
2. Sens de variation (ou monotonie) d'une suite 2.1. Définition Soit (unde nombres réels. On dit que :) une suite •La suite (un) est croissante (à partir du rangn0) lorsqueunun+1pour tout entiernn0. •La suite (un) est strictement croissante (à partir du rangn0) lorsqueun<un+1pour tout entiernn0. •La suite (un) est décroissante (à partir du rangn0) lorsqueunun+1pour tout entiernn0. •La suite (un) est strictement décroissante (à partir du rangn0) lorsqueun>un+1pour tout entiernn0. •La suite (un) est monotone (à partir du rangn0) si elle est croissante ou décroissante à partir du rangn0. •La suite (un) est stationnaire s'il existe un entiern0tel queun=un+1pour tout entiernn0. •La suite (un) est constante lorsqueun=un+1pour tout entierndu domaine de définition de (un). Remarques : •suite stationnaire et une suite constante, donnons un exemple.Pour comprendre la nuance entre une NotonsEla partie entière d'un réel (par exempleE(π)=3) et (un) la suite définie, pourn∈*, par : E1 un=n On au1=E(1)=1,u2=E(0,5)=0 puis pour toutn2,un=0. La suite (un) est stationnaire (à partir du rang 2) mais non constante puisqueu1=1 etu2=0. Suites de nombres réels Page1G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/
•Il existe des suites qui sont ni croissantes, ni décroissantes. Par exemple :un=(−1)n. •Il est tout à fait correct de dire qu'une suite est croissante sur l'intervallen0,+∞au lieu de dire qu'elle est croissante à partir du rangn0. •Contrairement aux fonctions de la variable réelle, on ne définit le sens de variation d'une suite que sur des intervalles de la formen0,+∞se passe pour les premiers termes reste, ici, anecdotique.; ce qui
2.2. Techniques d'étude de la monotonie d'une suite: 2.2.1. Technique fonctionnelle: utilisable pour les suites du typeun=ƒ(n). 2.2.1. ThéorèmeOù l'on utilise le sens de variation de lafonction associée Soit (un) la suite définie parunƒ(n) oùƒpye[]lledutintervausenurédninifonfioctsteneua;+∞[ oùa∈+. = Si la fonctionƒnomtser][esuotona;+∞[ alors la suite (un) est monotone surE(a)+1 ;+∞et possède le même sens de variation queƒ. Démonstration : Supposonsƒrcssoiteanurs[]a;+∞[. (Les autres cas se prouvent de manière analogue) Soitn∈E(a)+1 ;+∞. Commeƒest croissante sur [E(a)+1 ;+∞[, on a alors : un+1−un=ƒ(n+1)−ƒ(n)0 Donc (un) est croissante surE(a)+1 ;+∞. De même, la stricte monotonie deƒentraîne celle de (un).
Exemple 1 : soit (un) la suite définie, pourn1, par : π un=cos n Notonsƒla fonction définie sur [1 ;+∞[ par :ƒ(x)=cosπ x La fonctionƒest dérivable sur [1 ;+∞[ et on a : πsin ƒ'(x)=x2xπ Or, pour toutx∈[1 ;+∞[, on a :π∈]0 ;π[ x Et donc : sinπ0 x D'où :ƒ'(x)0 Doncƒest croissante sur [1 ;+∞[. En conséquence, la suite (un) est croissante pourn1.
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Le symbole[]signifie que l'intervalle peut être ouvert ou fermé.
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2n2+1 = Exemple 2 :unn2+5 Considérons la fonctionƒdéfinie sur [0 ;+∞[ par : ƒ(x)= 2xx22++51 La fonctionƒest dérivable sur [0 ;+∞[ et : ƒ'(x)=218x520 x+ La dérivéeƒ'est strictement positive sur ]0 ;+∞[ et s'annule en 0, donc la fonctionƒest strictement croissante sur [0 ;+∞[. Par conséquent, la suite (un) est donc strictement croissante.
2.2.2. Techniques algébriques C'est l'utilisation pure et simple de la définition : (un) est croissante à partir du rangn0⇔ pour toutnn0on aun+1−un0
Exemple 1 :un=2n+sinn Étudions, pour tout entiern, le signe de la différence de deux termes consécutifs : un+1−un=2(n+1)+sin(n+1)−2n−sinn=2+sin(n+1)−sinn Or :−1sin(n+ 1)1 et−1−sinn1 En ajoutant membre à membre :−2sin(n+1)−sinn2 Par conséquent :un+1−un0 La suite (un) est donc croissante.
Variante : soit (un) une suite à termes STRICTEMENT POSITIFS. Si, pour tout entiern,un+11 alors la suite (un) est croissante. un Si, pour tout entiern, 0 <un+11 alors la suite (un) est décroissante. un
Exemple 2 :un= 22npourn 1 n La suite (un) à termes STRICTEMENT POSITIFS. Évaluons, pour toutnconsécutifs par rapport à 1 :1, la situation du quotient de deux termes + uunn+1=n2n112×2n2n=2nn+12 × + Recherchons s'il existe des valeurs de l'entiernpour lesquelles le quotient ci-dessus est supérieur à 1 : ( 1 2−1)n1⇔n 2+1 unun+11⇔nn+122( 2⇔)nn+112⇔ 2nn+1⇔(5) L'équivalence (2) est justifiée par la croissance de l'applicationtatsur+. L'équivalence (5) est obtenue à l'aide de l'identité ( 2− 21) (+1)=1. Suites de nombres réels Page3G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/
Ornest un entier ; le quotientun+1est supérieur ou égal à 1 si et seulement sinest supérieur ou égal à 3. un Comme la suite (un) est à termes strictement positifs, il vientun+1unpourn3. La suite (un) est croissante pourn3. Note : si l'on a pronostiqué le résultat (avec une calculatrice par exemple), on peut alors rédiger une solution plus courte : pourn 13, on a :+ 11+13 n n+1 4 n3 Par passage à l'inverse, il vient :nn+1positifs)étetnernmorbseilagéni(43En éle l vient :n vant au carré, in+12edesanc19orsi6c(tat2sur+) D'où : 2×nn+12 181 16 Même conclusion que précédemment. Notons, au passage, que puisqueu3=elasuitermed:(et,noae89psutiteltslpeun) minorée.(Voir plus bas)
Exemple 3 :cas d'une suite définie par une somme un=1+122+132+... 1n∑pour1n∈* +2=k2nk=1 = 01 > On a, pour toutn∈*:un+1−un (n+1)2 Donc (un) est strictement croissante.
2.2.3. Technique par récurrence: pratique pour les suites du typeun+1=ƒ(un). Exemple : Soit (un) la suite définie par :uu0n+=16un 1= Démontrons par récurrence que cette suite est décroissante. On considère la propriété℘définie pourn∈par : ℘(n) : 0un+1un •On au1=4 donc 0u1u0, d'où℘(0). Donc la propriété℘est initialisée au rang 0. •Montrons que℘est héréditaire à partir du rang 0. Soitn∈. Supposons℘(n) : 0un+1un Alors, par croissance de l'applicationtatsur+, nous avons : 0un+1un 0un+2un+1
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Nous reparlerons de cette suite à d'autres occasions.
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D'où℘(n+1). La propriété℘au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc d'après le principe de initialisée est raisonnement par récurrence, elle est vraie à tout rangn: pour toutn0, on aun+1un La suite (un) est bien décroissante.
3. Suite majorée, suite minorée, suite bornée 3.1. Définition Une suite (un) est majorée lorsqu'il existe un réelMtel queunMpour tout entiern. Une suite (un) est minorée lorsqu'il existe un réelmtel quemunpour tout entiern. Une suite (un) est bornée lorsqu'elle est minorée et majorée : il existe des réelsmetMtels quemunMpour tout entiern Remarque : Une suite (un) est bornée si et seulement si il existe un réelMtel que |un|Mpour tout entiern. En effet, si (un) est bornée, il existe des réelsaetbtels que pour tout entiernon ait : aunb NotonsM=max(|a| ; |b|). Commeb|b|Met−M−|a|a, on obtient : −MunM D'où : |un|M La réciproque est évidente.
3.2. Techniques pour prouver qu'une suite est majorée (ou minorée ou bornée): 3.2.1. Technique algébrique: manipulation d'inégalités n −1+n Exemple 1 :un= ( )2 poursin ,n∈* n On a :−2(−1)n+sinn2 et 0 121 (n1) n D'où :−2un2 La suite (un) est bornée. n Exemple 2 :un=∑k12, pourn∈* k=1 Montrer que (un) est majorée par 2. En remarquant que, pourk2 :k12k(k1−1)k1−1− 1k On a :un=1+nk∑=2k121+n∑1−1=1+1−n1=2− 1n2 k=2k−1k
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Exemple∑n1 3 :un=k=0k! Montrer que (un) est majorée par 3. Montrons tout d'abord, par récurrence, la propriété℘, définie pourk∈*, par : ℘(k) :k! 2k−1 •On a évidemment℘(1). La propriété℘est initialisée au rang 1. •Montrons que℘est héréditaire à partir du rang 1. Soitk∈*. Supposons℘(k) :k! 2k−1 Alors on a : (k+1)!=(k+1)×k!(k+1) 2k−1 Et comme (k+1) (2 :k+1)! 2k Ce qui est℘(k+1). Du principe de raisonnement par récurrence, on déduit : k! 2k−1pour toutk1 n1 On peut donc écrire :un=1+k∑n=1k1!1+∑=12k−1 k ation d'indice :n=n∑−11k Or, par translk∑=12k1−1k=02 On reconnaît une somme denequrdesoai12nuseetimoégirté,'dùo:écutconsd'unifsemstre n−11k1−12n k∑02= 11=21−21n2 =− 2 D'où, en ajoutant 1 :un3 On a prouvé que la suite (un) est majorée par 3.
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3.2.2. Technique fonctionnelle 2 Exemple :un= 2nn2++51 Considérons la fonctionƒdéfinie sur [0 ;+∞[ par : ƒ(x)= 2xx22++51 On a déjà vu, plus haut, queƒest croissante sur [0 ;+∞[.On peut aussi retrouver ce résultat par Par ailleurs, on aƒ(0)=e51tlimƒ(x)=2. La suite (un)bocéernsteond2te.rap51alégésit)d'inionulatanip.eM(iruqglbéedahoétmla x→ +∞
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3.3.3. Technique par récurrence Exemple :un+1= 6+un avecu0=0 Montrer que cette suite est bornée. Le calcul des premiers termes (u1= 6 2,45 ;u2= 6+6 et 2,91u3=6+6+6 nous 2,98) amène à considérer la propriété℘, définie pourn∈, par : ℘(n) : 0un3 •Par hypothèse, on a℘(0). La propriété est initialisée au rang 0. •Montrons que℘est héréditaire à partir du rang 0. Soitn∈. Supposons℘(n) : 0un3 Alors, en ajoutant 6 : 66+un9 Par passage à la racine carrée (qui est une fonction croissante sur+) : 6 6+un3 Donc : 0un+13 Conclusion : pour tout entiern0, on a : 0un3
4. Comportement asymptotique d'une suite de réels 4.1. DéfinitionSuite convergente On dit qu'une suite converge (ou admet une limite finie) lorsqu'il existe un réelltel que : tout intervalle ouvertIcentré enlcontient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Lorsque (un) converge versl, on note alors :l= limun n→+∞ Une suite non convergente est appelée suite divergente. En formulant différemment cette définition, on obtient plusieurs variantes toutes équivalentes : (un) converge lorsqu'il existe un réelltel que : 1) Tout intervalleI=]l−ε,l+ε[ (ε∈+∗) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. 2) Pour tout réelε∈∗+, il existe un rangNà partir duquel tous lesunenfirivétun∈]l−ε,l+ε[. 3) Pour tout réelε∈∗+, il existe un rangN tel que pour tout indicen, on ait : nN⇒ |un−l| <εLire :nNimplique |un−l| <ε Graphiquement, cela se traduit ainsi : Quelle que soit la largeur de la bandehorizontale choisie,il existe un rang(ou un indice) à partir duquel tousles points de la représentation graphique de la suite sont situés dans cette bande.
Rang à partir duquel tous les points sont dans la bande choisie
n
Sur cet exemple, le graphique permet de conjecturer que la suite (unesmed)ocvgeernv,32serleuqecèroéhte gendarmes confirmera. (Voir 6.2.) Remarque : on peut très bien travailler avec un intervalleIqui est fermé (et donc avec des inégalités larges).
4.2. PropriétéUnicité de la limite Si une suite (un) converge, alors sa limitelest unique. Démonstration Raisonnons par l'absurde. Supposons que la suite (un) admette deux limites distinctesl1etl2avecl1<l2. Notonsd=l2−l1. Comme (un) converge versl1, à partir d'un certain rangN1, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ouvertI1de centrel1 3et de rayond. De même, comme (un) converge versl2, à partir d'un certain rangN2, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ouvertI2de centrel2 3et de rayond. Donc à partir du rangN=max(N1,N2), tous les termes de la suite sont simultanément dansI1etI2. Or ces deux intervalles sont disjoints (ils ne se chevauchent pas). Ce qui n'est pas possible. Ceci prouve l'unicité de la limite.
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I
Illustration : un
l2 d l1
O2 1
n
1Comment, à partir du rangN1, tous les termes de la suite pourraient-ils se situer dans ces 2 deux "tuyaux" ?
4.3. Propriété Si une suite (un) converge, alors (un) est bornée. Démonstration Notonslla limite de la suite (un) etIl'intervalle ]l−1,l+1[.Ibien un intervalle ouvert centré enest l. Comme (un) converge, à partir d'un certain rangN, tous les termes de la suite (un) sont dansI. Autrement dit : nN⇒l−1 <un<l+1 •SiN=0, alors c'est fini, (un) est bornée par les réelsl−1 etl+1. •SiN1, alors notonsAl'ensemble {u0, ... ,uN−1,l−1,l+1},Mle plus grand élément deAetmson plus petit élément. Ainsi (un) est bornée par les réelsmetM.
Exercice : soit (un) une suite bornée et (vn) une suite convergeant vers 0.Cet exercice est très important car i Démontrer que la suite (unvn) converge vers 0.ermettra de démontrer que le produit d Sol tion :deux suites convergentes converge vers l u produit des limites. Exploitons nos deux hypothèses : 1. Comme (un) est bornée, il existe un réelMtel que pour toutn: |un|M 2. Soitε∈∗+. Comme (vn) converge vers 0, on aura à partir d'un certain rangN: vn∈−εM;εM ε C'est-à-dire : |vn| <M εMε D'où : |un| |vn| <M C'est-à-dire : |unvn|∈]−ε;ε[ Ce qui prouve bien que la suite (unvn) converge vers 0.