Cours de statistique descriptive - Chapitre 7

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Chapitre 7Statistique descriptive à une variableI VocabulaireVocabulaire◮ Population : Ensemble étudié d’objets, de personnes ...◮ Individu : Un élément de la population◮ Caractère : C’est une caractéristique, une propriété des individusExemples :◮ Population : Le parc automobile d’un pays. Caractère : l’âge ou la couleur du véhicule.◮ Population : Les pays de l’europe. Caractère : l’effectif de la population.◮ Population : Une classe. Caractère : Les notes à un devoir ou la taille d’un élève.Définition Une série statistiqueUne série statistique est l’ensemble des valeurs prises par le caractère étudié sur la population consi-dérée.Remarque La valeur d’un caractère n’est pas forcément numérique!On distingue les cas suivants :Qualitatif : Exemples : la couleur, oui/non d’un référendum ...Caractèrediscret : Exemples : âge, nombre d’enfants ...Quantitatifcontinu :Exemples : taille, poids ...Exercices : Livre : 1, 2 et 3 page 146Le vocabulaire.22II. REPRÉSENTATIONSD’UNE SÉRIE 23II Représentations d’une sérieMise en forme dans un tableauAprès étude, la série apparaît à l’état brut.On notera x la série et x , x , ..., x les valeurs prises par le caractère étudié donnant la série à l’état1 2 Nbrut.N correspond donc à l’effectif total de la sérieC’est le cas avec l’exemple suivant :Exercice : Sur une classe, les notes à un devoir sont :7 14 8 9 10 10 11 12 12 8 8 9 10 10 11 11 1210 10 8 8 9 10 10 10 11 11 9 10 10 10Une première représentation ...

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Chapitre 7

Statistique descriptive à une variable

I Vocabulaire Vocabulaire ◮Population: Ensemble étudié d’objets, de personnes ... ◮Individu: Un élément de la population ◮Caractère: C’est une caractéristique, une propriété des individus Exemples : ◮Population :Le parc automobile d’un pays.Caractère :l’âge ou la couleur du véhicule. ◮Population :Les pays de l’europe.Caractère :l’effectif de la population. ◮Population :Une classe.Caractère :Les notes à un devoir ou la taille d’un élève.

Définition Une série statistique Une série statistique est l’ensemble des valeurs prises par le caractère étudié sur la population consi dérée.

RemarqueLa valeur d’un caractère n’est pas forcément numérique!

On distingue les cas suivants :

Caractère

Qualitatif:

Quantitatif

Exemples :la couleur, oui/non d’un référendum .. .

Exercices : Livre : 1, 2 et 3 page 146 Le vocabulaire.

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discret:Exemples :âge, nombre d’enfants .. .

continu:Exemples :. .taille, poids .

II. REPRÉSENTATIONSD’UNE SÉRIE23 II Représentationsd’une série Mise en forme dans un tableau Après étude, la série apparaît àl’état brut. On noteraxla série etx 1 ,x 2 , .. .,x N les valeurs prises par le caractère étudié donnant la série à l’état brut. Ncorrespond donc à l’effectif total de la série C’est le cas avec l’exemple suivant : Exercice : Sur une classe, les notes à un devoir sont :

7 148 910 10 11 12 128 89 10 10 11 11 12 10 10 88 910 10 10 11 11 9 10 10 10

Une première représentation consiste à ranger les valeurs dans un tableau. ◮Dans un tableau d’effectifs.

Valeurx i x 1 x 2 . . .x p Total pest le nombre de valeurs différentes prises par la série. Effectifn nn. . .n N i1 2p N=n 1 +n 2 +∙ ∙ ∙+n p Pour notre exemple on obtient :N= 31,p= 7et le tableau suivant : Valeurx i 7 8 9 10 11 12 14Total Effectifn i 5 3 11 5 4 12N= 31

◮Dans un tableau de fréquences. Définition Fréquence d’une valeur de la série n i La fréquence de la valeurx i sera notéef i et se calcule ainsi :f i =. N n i Elle s’exprime parfois en pourcentage et se calcule alors avec :f i =×100. N Une fois les calculs de fréquences réalisés, on peut présenter le tableau des fréquences de la série. Valeurx i x 1 x 2 . . .x p Total pest le nombre de valeurs différentes prises par la série. Fréquencef i f 1 f 2 . . .f p 1 ou 100 %

Pour notre exemple on obtient : AvecN= 31, le tableau est :

Valeurx i 1411 127 89 10Total 1 54 12 5 31 Fréquencef i 1 31 3131 31 3131 31 Fréquencef i en %3,2 16,1 12,9 38,7 16,1 9,8 3,2 100

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CHAPITRE 7.STATISTIQUE DESCRIPTIVE À UNE VARIABLE

◮Dans un tableau avec regroupement des valeurs. Ce sera le cas des séries à très grands effectifs ou avec un caractère continu. Définition Classe d’une série Une classe est un intervalle[a;b[, aveca < bdans lequel on regroupe toutes les valeursx i vérifiant :a6x i < b Ensuite on peut dresser un tableau d’effectifs ou de fréquences. Pour notre exemple. Classe[0 ;5[ [5; 10[; 20][10 ;15[ [15Total Effectif0 1021 0N= 31 10 21 Fréquence10 0 31 31 Dans ce cas, les données du tableau sont moins précises que la série à l’état brut.

Représentations graphiques On distingue : ◮Les diagrammes en bâtons ◮Les diagrammes circulaires, semicirculaires ... ◮Les histogrammes, pour représenter des données regroupées en classes. ◮Courbe des effectifs ou fréquences cumulés. Exercice : Le scrabble Diagrammes en bâtons.Voir l’énoncé Exercice : Livre : 4 page 146 Diagramme circulaire à lire. Exercices : Document 1 : Tout Histogrammes : Définition. Exercice : Livre : 6 page 146 Histogramme à construire. Exercice : Livre : 7, 10 page 147 Effectifs et fréquences.

Exercices : Livre : 8, 9 page 147 ( exemples page 131) Courbe des effectifs, fréquences cumulés.

III Caractéristiquesd’une série Une série statistique étant donnée et mise en forme. On procède alors à une étude numérique, en calculant desindicateursappeléscaractéristiques.

III. CARACTÉRISTIQUESD’UNE SÉRIE

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Cela permet d’analyser les résultats obtenus sur le caractère étudié et/ou de comparer deux séries entre elles. On distingue deux types de caractéristiques :

Caractéristiques de dispersion ou de répartition ◮L’étendue d’une série Définition Etendue d’une série Elle est notéee, et se calcule comme l’amplitude des valeurs de la sériex. On a donce=x max −x min . Par définition, elle ne dépend que des valeurs extrêmes et représente donc mal la dispersion de la totalité de la série. Parfois, la série sera élaguée des valeurs extrêmes considérées comme aberrantes. ◮La médiane d’une série Définition Médiane d’une série La médianemd’une série est une valeur qui partage la population en deux groupes d’effectifs égaux, la moitié a des valeurs inférieures àmet l’autre des valeurs supérieures àm. Dans la pratique, on calculemune fois la série ordonnéeavec la règle suivante : ◮Si l’effectif total de la série est impair, la médiane d’une série est la valeur qui partage la population en deux groupes d’effectifs égaux.mest donc la valeur centrale de la série ordonnée. ◮Si l’effectif total de la série est pair, la médiane est la demisomme des valeurs centrales. mn’est donc pas une valeur de la série dans ce cas! ◮Les quartiles d’une série Définition Les quartiles d’une série Le premier quartileQ 1 d’une série est une valeur qui partage la population en deux groupes d’effectifs respectivement un quart et trois quarts : Dans la pratique, on calculeQ 1 une fois la série ordonnéeavec la même démarche que pour la médiane. ◮Si l’effectif total de la série se divise par4, le premier quartileQ 1 est la valeur qui partage la population avec un quart des valeurs sont inférieures àQ 1 et trois quarts des valeurs sont supérieures àQ 1 . ◮Si l’effectif total de la série ne se divise pas par4, le premier quartileQ 1 est la demi somme des valeurs centrées sur l’effectif un quart.Q 1 n’est donc pas une valeur de la série dans ce cas! On définit de même le quartileQ 3 pour la répartition trois quarts, un quart. Remarque Pour mesurer la dispersion, on préfèrera l’écart interquartileQ 3 −Q 1 à l’étendue car moins sensible aux valeurs extrêmes.

Caractéristiques de position ◮Le mode d’une série Localisons où se trouvent les valeurs les plus fréquentes : Notion de « pic » d’effectif ou de fréquence.

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CHAPITRE 7.STATISTIQUE DESCRIPTIVE À UNE VARIABLE

Définition Le mode ◮Le mode est la valeur qui a le plus grand effectif ou fréquence. ◮Dans le cas d’une série avec des données regroupées en classes. La classe modaleest la classe qui a le plus grand effectif ou fréquence. ◮La moyenne d’une série Dans tous les cas avec une série notéex, la moyenne sera elle notéex¯. Définition Moyenne d’une série pour une série à l’état brut On ax:x 1 ;x 2 ;. . . x N .Nétant l’effectif total. On calcule : Somme des valeursx 1 +x 2 +∙ ∙ ∙+x N ¯x= = Effectif totalN Bien souvent la série est déjà mise en forme dans un tableau, le calcul sera alors adapté, selon les cas suivants : Propriété Moyenne d’une série pour une série rangée dans un tableau d’effectifs Valeurx i x 1 x 2 . . .x p Total On a : Effectifn i n 1 n 2 . . .n p N On calcule : n 1 x 1 +n 2 x 2 +∙ ∙ ∙+n p x p x¯ = n 1 +n 2 +∙ ∙ ∙+n p Propriété Moyenne d’une série pour une série rangée dans un tableau de fréquences Valeurx i x 1 x 2 . . .x p Total On a : Fréquencef i f 1 f 2 . . .f p 1 On calcule : x¯ =f 1 x 1 +f 2 x 2 +∙ ∙ ∙+f p x p Propriété Moyenne d’une série avec des données regroupées en classes On calcule alors la moyenne avec les centres des classes, notésc i . Exercices : Livre : 18 à 23 page 149 Moyennes à la main ou avec la calculatrice (voir p318319).

Exercices : Livre : 31, 36, 37 page 151 m,Q 1 etQ 3 (voir p 135).

Exercices : Livre : 40, 42 page 152 m,Q 1 etQ 3 (voir p 135).

Exercice : Document 2 : Tout Problèmes.

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