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• Publié par: Zowyir
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Extrait

Chapitre 9

Calcul intégral.

I Introduction.

1 Mesurer l’aire d’une tâche.

On se donne une tâche, comment mesurer son aire ?

unité d'aire

2 Mesurer l’aire sous une courbe.

f est une fonction continue et strictement positive. Comment mesurer l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe d’une part et les droites d’équation x = 2 et x = 5 d’autre part ?

133

134

CHAPITRE 9. CALCUL INTÉGRAL.

3 Aire sous une courbe et dérivation. On pend la fonction carrée, b est un réel strictement positif. h est aussi un réel. On fait calculer l’aire sous la courbe entre 0 et b , puis entre 0 et b + h . On calcule le taux d’accroissement entre ces deux courbes.

On constate que la dérivée en un point b de l’aire sous la courbe semble égale à f ( b ) . Conclusions. Ainsi, on constate que la notion d’aire sous une courbe nous amène à deux conclusions distinctes. • On peut en faire un calcul approché avec des sommes de rectangles dont la largeur est de plus en plus petite et dont la hauteur est du type f ( x ) . • On voit que l’aire sous la courbe semble avoir pour dérivée la fonction elle même. Si on sait trouver une fonction dont la dérivée est f , on pourra faire un calcul exact de cette aire sous la courbe. Cela va nous donner la notion de primitive.

II. DÉFINITION DE L’INTÉGRALE D’UNE FONCTION POSITIVE. 135 II Définition de l’intégrale d’une fonction positive. Dans cette partie, a et b sont des réels tels que a < b . f est une fonction continue et positive sur l’intervalle [ a ; b ] . Le plan est rapporté à un repère. On appelle C la courbe représentative de f dans ce repère. 1 Aire sous la courbe d’une fonction positive.  Définition 1 On appelle aire sous la courbe C sur l’intervalle [ ab ] l’aire du domaine plan qui est situé entre les droites verticales d’équations x = a et x = b , la courbe C et l’axe des abscisses. y = f x

5 4 3 2 1

2 − 1 − 1

aire sous la courbe entre a et b

1 2 3 4 5 6 7 x = a x = b

Remarque 1 Cette aire est exprimée en unités d’aires.  Définition 2 On n Z b ote f ( t ) dt l’aire sous la courbe C sur l’intervalle [ ab ] . Ceci se lit « intégrale entre a et b de f ». a N.B. la variable t qui est dans cette notation est une notation muette. C’est à dire que Z a b f ( t ) dt = Z a b f ( u ) du = Z b f ( x ) dx a Exemple 1 ◮ f est la fonction constante f ( x ) = 3 sur l’intervalle [ − 1; 4] . Dans ces conditions :

f ( x ) = 3  3 2 1

3 − 2 − 1 1 2 3 4 5 Z − 4 1 f ( t ) dt =          unités d’aire.

136 CHAPITRE 9. CALCUL INTÉGRAL. L’aire sous la courbe est ici l’aire d’un rectangle : Z − 4 1 15 unités d’aires. 3 dt = 3 × 5 = Dans le cas général, si f ( x ) = k , Z a b k dt = k × ( b − a ) ◮ f est la fonction linéaire f ( x ) = 2 x sur l’intervalle [0; 3] .

6 5 4 3 2 1

2 − 1 1 2 3 L’aire sous la courbe est ici l’aire d’un trapèze : Z 1 3 2 t dt = (2+6 2 ) × 2 =  8 unités d’aires. Remarque 2 • On peut aussi encadrer, à l’aide des graduations du repère, Z 1 3 2 t dt entre deux nombres. On voit que 6 < 3 Z 1 2 t dt < 10 . • On peut trouver un meilleur encadrement en utilisant un quadrillage plus fin bien sûr. C’est ce qui conduit au paragraphe suivant. Exercice 20. Faire le n ◦ 9, le n ◦ 10 page 246. Exercice 21. Faire l’exercice n ◦ 8 page 246 avec les deux dessins ci dessous :  0  0  8  8  6  6  4  4  2  2  2 20  2 0  4 0  6 0  8 1  0 1  2 1  4 1  6 1  8 2  0 2  2  2 20  2 0  4 0  6 0  8 1  0 1  2 1  4 1  6 1  8 2  0 2  2 

II. DÉFINITION DE L’INTÉGRALE D’UNE FONCTION POSITIVE. 137 2 Intégrales et suites adjacentes. b ♣ Théorème 1 f est une fonction continue, croissante et positive sur l’intervalle [ a ; b ] . L’intégrale Z f ( t ) dt , qui a représentate l’aire sous la courbe entre a et b , est la limite des suites ( u n ) et ( v n ) définies par : b − a n − 1 u n = X f a + k =0  k b − n a  ; v n = b n − a k X n =1 f  a + k b − n a  n

Lecture de ces formules. ◮ b − a est la longueur de l’intervalle où l’on veut estimer l’aire sous la courbe. Donc b − a est la largeur de chacun n des petits rectangles. − ◮ Dans chaque formule, f  a + k b − n a  est la hauteur de chaque petit rectangle. Le produit avec b a donne n donc l’aire de chaque petit rectangle. ◮ Enfin, on fait, pour chaque formule, la somme des aires des rectangles : en prenant le minimum de f sur chaque petit intervalle dans un cas et le maximum dans l’autre. Interprétation : • La première suite, ( u n ) , représente une suite dont tous les termes sont plus petits que l’aire que l’on cherche à approximer. • La seconde suite, ( v n ) , représente une suite dont tous les termes sont plus grands que l’aire que l’on cherche à approximer. b • Ces deux suites, dans le cas d’une fonction monotone, sont adjacentes et leur limite commune est donc Z f ( t ) dt . a Remarque 3 On admet que cette propriété reste valable dans le cas d’une fonction continue sur un intervalle [ a ; b ] 3 Valeur moyenne d’une fonction positive. Remarque 4 Avec les notations de la définition, il existe un rectangle dont la base est le segment [ a ; b ] et dont l’aire b est exactement égale à Z a b f ( t ) dt . En effet, sa hauteur doit alors être égale à b − 1 a Z . f ( t ) dt a

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4 y = 3  125 3 2 1

CHAPITRE 9. CALCUL INTÉGRAL.

2 − 1 1 2 3 4 5 − 1 R 1 4 f ( x ) dx = 9  375 3 × 3  125 = 9  375 L’aire sous la courbe est égale à l’aire du rectangle.

Remarque 5 X On peut constater que Z a b dt = b − a . Cette formule s’écrit en fait R a b f ( t ) dt b . R a dt X D’autre part, quand on calcule la moyenne d’une statistique, Valeurs du caractère x 1 x 2    x k effectifs n 1 n 2    n k

cette moyenne est le nombre n 1 × x 1 + n 2 × x 2 +    + n k × x k x = n 1 + n 2 +    + n k On constate la similitude des deux formules, somme pondérée par un produit en haut, somme de la pondération en bas. On définit donc par analogie la moyenne d’une fonction continue sur un intervalle : 1 f ( t ) dt s’appelle  Définition 3 Le nombre b − a Z a b la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [ a ; b ] . Exercice 22. Faire les exercices n ◦ 16 et n ◦ 20 page 246.

4 Propriétés des intégrales liées à l’aire. ♣ Théorème 2 (Relation de Chasles.) Avec les mêmes notations que dans la définition : quel que soit le nombre c ∈ [ a ; b ] , Z a b f ( t ) dt = Z a c f ( t ) dt + Z c b f ( t ) dt

II. DÉFINITION DE L’INTÉGRALE D’UNE FONCTION POSITIVE.

4 3 2 1

2 − 1 1 a 2 b 3 4 c 5 Z a b f ( t ) dt = Z a c f ( t ) dt + Z c b f ( t ) dt 5 Le cas des fonctions strictement négatives. Remarque 6 Soit f une fonction strictement négative sur [ a ; b ] .

4 3 2 1

y = − f ( x )

1 1 2 3 4 5 6 − 1 − 2 − 3 − 4

y = f ( x )

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On voit, à cause de la conservation d’une aire par une réflexion, que l’aire A entre la courbe représentative de f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et y = b est égale à l’aire sous la courbe représentative de la fonction − f sur l’intervalle [ a ; b ] . Ainsi A = R a b − f ( t ) dt .  Définition 4 A = − R a b f ( t ) dt . Ceci définit l’intégrale d’une fonction strictement négative.

140 CHAPITRE 9. CALCUL INTÉGRAL. Remarque 7 Cette définition permet d’écrire alors, pour une fonction f strictement négative, − Z a b f ( t ) dt = Z a b − f ( t ) dt

Exercice 23. Faire l’exercice n ◦ 26 page 247, avec la relation de Chasles.

Remarque 8 On peut définir, comme pour les fonctions strictement positives, la valeur moyenne d’une fonction 1 b strictement négative par le nombre b − a Z a f ( t ) dt .

III Intégrale et primitives. 1 Le théorème fondamental. ♣ Théorème 3 Soit f une fonction continue, croissante et positive sur l’intervalle [ a ; b ] ( a < b ). Pour tout x ∈ [ a ; b ] , on appelle A ( x ) l’aire sous la courbe de f sur l’intervalle [ a ; x ] . Alors la fonction x 7−→A ( x ) est une primitive de f sur l’intervalle [ a ; b ] . Preuve:

• Pour dériver A ( x ) , on va calculer la limite, quand h tend vers 0, de son taux de variation entre x et x + h , A ( x + h ) − A ( x ) h . on peut remarquer que le numérateur de ce quotient, A ( x + h ) − A ( x ) , est l’aire sous la courbe de f sur [ x ; x + h ] . On supposera que h > 0 . • Comme f est croissante, cette aire est plus petite que l’aire du rectangle de hauteur f ( x + h ) et de largeur h . Elle est aussi plus grande que l’aire du rectangle de hauteur f ( x ) et de largeur h .

III. INTÉGRALE ET PRIMITIVES.

hf ( x ) ≤ A ( x + h ) − A ( x ) ≤ hf ( x + h ) f ( x ) ≤ A ( x + h h ) − A ( x ) ≤ f ( x + h )

• Or f est continue en x , donc h li → m 0 f ( x + h ) = f ( x ) . • Le théorème des gendarmes indique que A ( x + h ) − A ( x ) a une limite et que cette limite est f ( x ) . h Conclusion : x 7−→A ( x ) est une fonction dérivable sur [ a ; b ] et, pour tout x ∈ [ a ; b ] , A ′ ( x ) = f ( x ) . Remarque 9 On admettra que ce résultat est vrai même si la fonction f n’est pas croissante. On dit alors que x 7−→A ( x ) est une primitive de f sur [ a ; b ] . Remarque 10 Si on sais, connaissant la fonction f , ◮ calculer une primitive de f sur l’intervalle ◮ dans toutes ces

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142 IV Primitives d’une fonction. 1 Définition et premières propriétés.

a. La définition.

CHAPITRE 9. CALCUL INTÉGRAL.

 Définition 5 Soit f une fonction définie sur un intervalle I . On dit que la fonction F définie sur l’intervalle I est une primitive de f sur I quand : • F est dérivable sur I ; ′ • F = f . Exemple 2 • On sait que, pour tout réel x , ( x 2 ) ′ = 2 x . On peut traduire cette égalité en disant que la fonction x 7−→ x 2 est une primitive de x 7−→ 2 x sur R . • On sait que, pour tout x > 0 , (ln( x )) ′ = 1 x . On peut dire que la fonction ln est une primitive de la fonction inverse sur ]0; + ∞ [ . b. Une condition pour avoir des primitives.

♣ Théorème 4 Si la fonction f est continue sur I alors f admet une primitive sur I . Exercice 24. Faire l’exercice n ◦ 1 page 273. c. Primitives d’une même fonction.

Remarque 11 Soit f une fonction continue sur l’intervalle I . Soit F une primitive de f sur I Alors, quel que soit le nombre réel k , la fonction G : x 7−→ F ( x ) + k est aussi une primitive de f sur I . En effet : • G est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables ; • G ′ ( x ) = F ′ ( x ) = f ( x ) . ♣ Théorème 5 Soit f une fonction continue sur l’intervalle I . Soient F et G deux primitives de f sur I . Il existe un nombre réel k tel que G = F + k . Preuve: Considérons la fonction G − F . G − F est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables et de plus, ′ ( G − F ) = f − f = 0 . G − F est donc une fonction constante sur I , puisque sa dérivée est nulle. Il existe un réel k tel que G − F = k , soit G = F + k . Ainsi, en connaissant une primitive de f sur I , il est aisé de donner toutes les primitives de f sur I . Exemple 3 • On sait que que la fonction x 7−→ x 2 est une primitive de x 7−→ 2 x sur R . La fonction x 7−→ x 2 − 17 est aussi une primitive de x 7−→ 2 x sur R . • On sait que la fonction ln est une primitive de la fonction inverse sur ]0; + ∞ [ . La fonction x 7−→ ln( x ) + 3 est aussi une primitive de la fonction inverse sur ]0; + ∞ [ . d. Conséquence.

♣ Théorème 6 f est une fonction qui admet des primitives sur un intervalle I . x 0 est un élément de I . y 0 est un réel quelconque. Il existe une unique primitive F 0 de f qui vérifie F 0 ( x 0 ) = y 0 . Preuve:

IV. PRIMITIVES D’UNE FONCTION.

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◮ Unicité. Si F 1 et F 2 sont des primitives de f qui vérifient F 1 ( x 0 ) = y 0 et F 2 ( x 0 ) = y 0 . Alors, comme F 2 = F 1 + k , on a y 0 = y 0 + k . Ainsi k = 0 et F 1 = F 2 . ◮ Existence. Soit F une primitive de f sur I . Quel que soit k , F + k est une primitive de f sur I . Ainsi, F 0 = F − F ( x 0 ) + y 0 est une primitive de f qui vérifie : F 0 ( x 0 ) = F ( x 0 ) − F ( x 0 ) + y 0 = y 0

Exemple 4 • On sait que la fonction ln est une primitive de la fonction inverse sur ]0; + ∞ [ . Les primitives de la fonction inverse sur ]0; + ∞ [ sont toutes de la forme F ( x ) = ln( x ) + k où k est un nombre réel. • Calculons la primitive de la fonction inverse qui vaut 3 en 2. On doit avoir :

F (2) = 3 ln(2) + k = 3 k = 3 − ln(2) Ainsi la primitive F cherchée est de la forme F ( x ) = ln( x ) + 3 − ln(2) .

Exercice 25. Faire l’exercice n ◦ 3 page 273.