Cours L1 Option Reels (mestrano)
35 pages
Français

Cours L1 Option Reels (mestrano)

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres
35 pages
Français
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

Universite de Nice-Sophia AntipolisAnnee universitaire 2009-2010Cours de Licence, Option Nombres ReelsExtrait des notes du cours donne en 2008-2009 par Antoine DucrosNicole Mestrano1Table des matieres1 Introduction 41.1 Rappel sur les di erents ensembles de nombres . . . . . . . . . 41.2 Necessite d’introduire les nombres reels . . . . . . . . . . . . . 42 L’ensemble N des entiers naturels 62.1 Proprietes de base de l’ensembleN . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Le principe de recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Deuxieme formulation du principe de recurrence . . . . . . . . 62.4 Autres formulations du principe de r . . . . . . . . . 72.5 Une application importante : la division euclidienne . . . . . . 72.6 Ecriture d’un entier dans une base de numeration . . . . . . . 72.7 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.10 Calcul pratique du developpement d’un entier en base b . . . . 92.11 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.12 Les operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Nombres premiers et decomposition en facteurs premiers 113.1 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Decomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 ...

Informations

Publié par
Nombre de lectures 28
Langue Français

Extrait

Universite de Nice-Sophia Antipolis
Annee universitaire 2009-2010
Cours de Licence, Option Nombres Reels
Extrait des notes du cours donne en 2008-2009 par Antoine Ducros
Nicole Mestrano
1Table des matieres
1 Introduction 4
1.1 Rappel sur les di erents ensembles de nombres . . . . . . . . . 4
1.2 Necessite d’introduire les nombres reels . . . . . . . . . . . . . 4
2 L’ensemble N des entiers naturels 6
2.1 Proprietes de base de l’ensembleN . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Le principe de recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Deuxieme formulation du principe de recurrence . . . . . . . . 6
2.4 Autres formulations du principe de r . . . . . . . . . 7
2.5 Une application importante : la division euclidienne . . . . . . 7
2.6 Ecriture d’un entier dans une base de numeration . . . . . . . 7
2.7 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.8 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.9 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.10 Calcul pratique du developpement d’un entier en base b . . . . 9
2.11 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.12 Les operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Nombres premiers et decomposition en facteurs premiers 11
3.1 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Decomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 L’ensembleZ des entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5bleQ des nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . 15
4 L’ensemble R des nombres reels 17
4.1 Majorants et Minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Borne superieure et borne inferieure . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Les suites 21
5.1 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Criteres de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Autres criteres de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 Fonctions continues 25
6.1 Premieres de nitions et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2 Le theoreme des valeurs intermediaires . . . . . . . . . . . . . 26
6.3 Fonctions continues strictement monotones . . . . . . . . . . . 27
iemes6.4 Application : les fonctions \racines n " . . . . . . . . . . . 28
27 Limites in nies de suites reelles 29
7.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Sommes et Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.3 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.4 Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Developpement d’un nombre reel en base b 33
31 Introduction
1.1 Rappel sur les di erents ensembles de nombres
L’ensemble le plus simple et le plus intuitif est l’ensemble N =f0; 1; 2;:::g
des entiers naturels.
Pour traiter certains types de problemes (ceux mettant en jeu des gains et
des pertes, par exemple), il est commode d’introduire l’ensemble
Z =f:::; 2; 1; 0; 1; 2;:::g des entiers relatifs.
La necessite de pouvoir diviser un entier relatifp par un entier relatif non nul
q m^eme lorsque q n’est pas multiple de p a conduit a introduire l’ensemble
Q des nombres rationnels, qui est constitue de l’ensemble des quotients p=q
avec p2Z et q2Zf 0g.
1.2 Necessite d’introduire les nombres reels
Les mathematiciens ont de ni un ensemble de nombres contenant l’ensemble
Q (et beaucoup plus gros que celui-ci dans un sens que nous ne preciserons
pas ici), celui des nombres reels qui est note R car l’ensemble des nombres
rationnels se revele insu sant pour plusieurs raisons. Nous allons en montrer
quelques unes.
1.2.1 En geometrie
D’apres le theoreme de Pythagore, la longueur l de la diagonale d’un carre
2de c^ote egal a 1 est de carre l egal a 2.
Or il n’existe aucun nombre rationnel de carre egal a 2. La longueur l de
cette diagonale n’est donc pas un nombre rationnel.
En fait,l est l’unique nombre reel positif de carre egal a 2. On note ce nombrep p
reel 2. La valeur approchee la plus utitlisee de 2 est 1; 14.
On peut ^etre beaucoup plus precis, par exemple, on sait que :p
2 = 1:414213562373095::::::. p
On demontrera (cf n du chapitre 3), que 2 n’est pas rationnel.
Notons ici, au passage, que dire qu’un nombre reel n’est pas rationnel est
equivalent a dire que son developpement decimal est in ni et non periodique.
La circonference d’un cercle de rayon 1 n’est pas non plus un nombre ration-
nel, elle vaut , ou est un nombre reel qui n’est pas rationnel. La valeur
4approchee la plus utitlisee de est 3; 14 mais on peut ^etre beaucoup plus
precis, par exemple, on sait que :
= 3; 141592653589793238462643383279502884197169399375:::.
Comme signale ci-dessus, n’est pas rationnel donc son developpement
decimal est in ni et non periodique.
On voit donc que certains nombres qui apparaissent naturellement en geometrie
n’appartiennent pas a l’ensembleQ.
1.2.2 En analyse (Convergence de suites)
La suite u = 3 ; u = 3; 1 ; u = 3; 14 ; u = 3; 141 ; u = 3; 1415 ....0 1 2 3 4
est constituee de nombres rationnels (u = 3,u = 31=10, u = 314=100 ....)0 1 2
mais sa limite est egale au nombre reel qui n’est pas rationnel.
Cet exemple met en evidence le caractere particulierement inadapte de Q
lorsqu’on s’interesse a l’etude des suites et de leurs limites.
Nous verrons plus loin que R jouit par contre d’excellentes proprietes en la
matiere.
52 L’ensemble N des entiers naturels
2.1 Proprietes de base de l’ensemble N
On ne donnera pas de de nition rigoureuse d’un entier naturel, ni de l’addi-
tion, de la multiplication et de l’ordre sur N ; on supposera que ces notions
sont intuitivement acquises. On admettra sans demonstration les resultats
elementaires les concernant (par exemple, le fait que a + b=b + a si a et b
sont deux entiers...).
2.2 Le principe de recurrence
On rappelle (sans demonstration) le principe fondamental suivant.
SoitP une propriete portant sur les entiers naturels et veri ant les proprietes
i) et ii) suivantes :
i) P (0) est vraie
et
ii) Pour tout entier n, si P (n) est vraie alors P (n + 1) est vraie.
Alors : Pour tout entier n, la propriete P (n) est vraie.
Pour demontrer une propriete par recurrence", on doit d’une part l’initialiser
(c’est le i)) et d’autre part montrer \l’heredite" (c’est le ii)). Pour montrer
\l’heredite" on prend pour hypothese que P (n) est vraie et on doit arriver a
la conclusion que P (n + 1) est vraie.
2.3 Deuxieme formulation du principe de recurrence
Dans certains cas, il sera plus facile d’utiliser la version suivante du principe
de recurrence.
SoitQ une propriete portant sur les entiers naturels et veri ant les proprietes
i) et ii) suivantes :
i) Q(0) est vraie
et
ii) Pour tout entier n, siQ(m) est vraie pour tout entiermn, alorsQ(n+1)
est vraie.
Alors : Pour tout entier n, la propriete Q(n) est vraie.
62.4 Autres formulations du principe de recurrence
Dans le principe de recurrence, la propriete i) peut ^etre remplacee par la
0propriete i ) suivante :
i’) Il existe un entier a pour lequel P (a) est vraie
Dans ce cas, ii) devient
ii’) Pour tout entier na , si P (n) est vraie alors P (n + 1) est vraie.
et la conclusion est :
Pour tout entier na, la propriete P (n) est vraie.
On laisse au lecteur le soin de reformuler la deuxieme formulation du principe
de recurrence.
2.5 Une application importante : la division euclidienne
Commen cons par un peu de vocabulaire : en mathematiques, un couple est
une liste de deux objets dont l’ordre compte et qui peuvent ^etre egaux. Par
exemple, (2; 3) et (3; 2) sont deux couples di erents, et (2 ; 2) est un couple.
Le principe de recurrence ci-dessus permet de demontrer ce qui suit.
Theoreme 2.5.1 (Division euclidienne). Soit a un entier naturel et soit b
un entier naturel non nul. Alors, il existe un unique couple d’entiers (q;r)
tel que a =bq +r veri ant 0r<b.
On dit que q le quotient de la division euclidienne de a par b, et que r est
son reste.
Demonstration| En cours, on donnera seulement la demonstration de
l’existence du couple (q, r), l’unicite sera traitee en TD. Lors de la preuve,
on notera la pertinence de la deuxieme formulation du principe de recurrence.

2.6 Ecriture d’un entier dans une base de numeration
Nous comptons \en base 10". Pourquoi ?
Reponse d’Antoine Ducros : Il semble que ce soit parce que nous avons dix
doigts. L’atteste le fait que toutes les civilisations ont en e et developpe,
independamment les unes des autres, des systemes de numeration fondes sur
la base 10 a( une exception pres : je crois me souvenir qu’il y a un peuple qui
compte en base 5, donc sur les doigts d’une seule main). Des traces d’autres
bases existent toutefois : base 12 pour certaines unitees de mesure (un pied
vaut douze pouces, jusque dans les annees 70 la livre sterling etait divisee en
vingt shilling de douze pence chacun...), base 60 pour les mesures de temps
ou d’angles...
7Theoreme 2.6.1 (Ecriture d’un entier \en base b"). Soit b un entier au
moins egal a 2. Soita un entier. Alors, il existe une unique suitea ;a ;:::;a ;:::0 1 n
d’entiers tel

  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • Podcasts Podcasts
  • BD BD
  • Documents Documents