COURS MECANIQUE CLASSIQUE

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Chapitre 9Les équations de Maxwell9.1 équation de conservation de la charge électrique!¡ @‰(M,t)div j (M,t)¯ ˘ 0@t845 9.2 forme locales des équations de MaxwellDans un référentiel galiléen, le champ électromagnétique vérifie leséquations de Maxwell :Phénomène équations de structure relations aux sources!¡champ ma- équation de Maxwell fluxdivB(M,t)˘ équation de maxwell ampère!¡!¡ !¡¡¡!@E(M,t)gnétique 0 rotB(M,t)˘„ ( j (M,t)¯" )0 0@tChamp équation de Maxwell Faraday équation de Maxwell Gauss!¡ !¡!¡ ‰(M,t)¡!@B(M,t)électrique divE(M,t)˘rotE(M,t)˘¡"0@t˜ Les constantes fondamentales" ,permittivité du vide, et„ perméa-0 02bilité du vide, vérifient " .„ .c ˘ 1 où c est la célérité de la lumière dans0 0¡7 ¡1le vide. On a fixé„ ˘ 4…10 H.m0!¡!¡@E(M,t)˜ Le terme j (M,t)˘" homogène à une densité volumique de cou-d 0@trant, est appelé courant de déplacement.˜ La conservation de la charge est compatible avec les équations de Max-well. on prenant la divergence de l’équation de maxwell ampère!¡!¡ !¡ @E(M,t)¡!div(rotB(M,t))˘„ (div j (M,t)¯" div( ))0 0@t!¡!¡ !¡ @divE(M,t)¡¡!div(rotB(M,t))˘„ (div j (M,t)¯" ( )0 0@t48COURS MP-PC 09:52/10 novembre 2010or!¡¡!div(rotB(M,t))˘ 0et en ulisant l’équation de maxwell gauss!¡ ‰(M,t)divE(M,t)˘"0on trouve!¡ @‰(M,t)div j (M,t)¯ ˘ 0@t˜ Les équations de Maxwell sont linéaires vis-à-vis des sources :!¡ !¡cette propriété valide le principe de superposition relatif à E et B .En850 particulier, cette linéarité ...

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Extrait

Chapitre 9

Les quations de Maxwell

9.1 quationde conservation de la charge lectrique

−→ ∂ρ(M,t) d ivj(M,t)+ =0 ∂t 9.2 formelocales des quations de Maxwell 845 Dans un rÉfÉrentiel galilÉen, le champ ÉlectromagnÉtique vÉrifie les Équations de Maxwell :

PhÉnomÈne champ ma- gnÉtique Champ Électrique

Équations de structure −→ Équation de Maxwell fluxd iv B(M,t)= 0 Équation de Maxwell Faraday −→ −→ →− ∂B(M,t) rot E(M,t)= − ∂t

relations aux sources Équation de maxwell ampÈre −→ − →− → −→ ∂E(M,t) rot B(M,t)=µ 0 (j(M,t)+ε 0 ) ∂t Équation de Maxwell Gauss −→ ρ(M,t) d iv E(M,t)= ε 0

♠Les constantes fondamentalesε 0 ,permittivitÉ du vide, etµ 0 permÉa- 2 bilitÉ du vide, vÉrifientε 0 .µ 0 .c=1 oÙ c est la cÉlÉritÉ de la lumiÈre dans −7−1 le vide. On a fixɵ 0 =4π10H.m −→ −→ ∂E(M,t) ♠Le termej d (M,t)=ε 0 homogÈne À une densitÉ volumique de cou- ∂t rant, est appelÉ courant de dÉplacement. ♠La conservation de la charge est compatible avec les Équations de Max- well. on prenant la divergence de l’Équation de maxwell ampÈre −→ −→ −→→− ∂E(M,t) d iv(r ot B(M,t))=µ 0 (d ivj(M,t)+ε 0 d iv( )) ∂t −→ − −− → →→ ∂d iv E(M,t) d iv(r ot B(M,t))=µ 0 (d ivj(M,t)+ε 0 ( ) ∂t

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or − →− → d iv(r ot B(M,t))=0 et en ulisant l’Équation de maxwell gauss −→ ρ(M,t) d iv E(M,t)= ε 0 on trouve −→ ∂ρ(M,t) d ivj(M,t)+ =0 ∂t ♠Les Équations de Maxwell sont linÉaires vis-À-vis des sources : −→−→ cette propriÉtÉ valide le principe de superposition relatif ÀEetB.En particulier, cette linÉaritÉ permet d’utiliser la mÉthode complexe pour les 850 calculs des champs ♠Les Équations deMaxwell sont valables dans n’importe quel milieu. Elles ne sont utilisable sous cette forme quand si l’on sait expliciter la −→ source (ρ,j) du champ dans le milieu considÉrÉ; c’est le cas : -dans les milieux non diÉlectriques et non magnÉtique; 855 -dans le vide; -dans les plasmas.

9.3 Formeintgrale des quations de Maxwell

♠Flux du champ Électrique Ó −→ ρ(M,t) −→ −→ Q int d iv E(M,t)= ⇔E.d S= ε 0 ε 0 qui n’est d’autre que le thÉorÈme de Gauss ce thÉorÈme est valable sans 860 restriction en rÉgime variable, À condition que le flux du champ et la charge intÉrieure soient calculÉs au mme instant t.

♠Flux du champ magnÉtique Ó −→ −→ −→ d iv B(M,t)=0⇔B.d S=0

Le champ magnÉtique est À flux conservatif : Le flux du champ magnÉtique se conserve À travers toute section d’un tube de champ. Le flux du champ 865 magnÉtique est le mme À travers toute surface s’appuyant sur un contour −→ Con dÉfinit ainsi le flux deBÀ travers le contourC tel : [phone]page 49AMAMI MOHAMED

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♠Circulation du champ Électrique −→ I Ï −→ →− ∂B(M,t) −→ d →− →− d Φ r ot E(M,t)⇔= −E.d l= −B.d S= − ∂t dtt d Le champ Électrique n’est pas À circulation conservative en rÉgime va- riable.A un champ magnÉtique variable est toujours associÉ un champ Électrique À circulation non conservative. 870 ♠Circulation du champ magnÉtique −→ ÏI Ï − −→− → → ∂E(M,t) −→ −→−→ −→−→ r ot B(M,t)=µ 0 (j(M,t)+ε 0 )⇔B.d l=µ 0 (j.d S+j d .d S) ∂t Le thÉorÈme d’AmpÈre de la magnÉtostatique se gÉnÉralise en prenant en compte l’intensitÉ du courant de dÉplacement À travers le contour orientÉ. −→ −→ ∂E(M,t) Le courant de dÉplacementj d (M,t)=ε 0 est source de champ ∂t −→ magnÉtique, comme un courantjCe terme ne traduit que les variations temporelles du champ Électrique; il n’y a ni courant, ni dÉplacement 875

9.4 Relationsde passage Le champ ÉlectromagnÉtique d’une distribution volumique de charges et de courants est continu. Si l’on dÉcrit la distribution par un modÈle superficiel (distribution surfacique de charges et de courants), le champ ÉlectromagnÉtique subit une discontinuitÉ À la traversÉe de la distribu- tion. Les Équations de Maxwell ne peuvent s’Écrire en un point M de la distribution superficielle, et doivent tre remplacÉes par les relations de passage : −→−→ σ(M,t) −→ E 2 (M,t)−E 1 (M,t)=n 1→2 ε 0 −→ −→−→ −→ B 2 (M,t)−B 1 (M,t)=µ 0 j s (M,t)∧n 1→2 A la traversee d’une surface chargÉe avec une densitÉ surfaciqueσ(M,t), la composante normale champ Électrique est discontinue.A la traversÉe d’une distribution surfacique de courant, la composante tangentielle du 880 champ magnÉtique est discontinue. ♠RÈgle mnÉmotechnique pour trouver la relation de passage Pour trouver la relation de passage associÉe À une Équation de Maxwell, on remplace : −→ -l’opÉrateur nabla dans le premier membre parn 12 ; 885 tel : [phone]page 50AMAMI MOHAMED

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-le champ dans le premier membre par la discontinuitÉ du champ; −→ -les dÉrivÉes temporelles dans le second membre par0 ; -les densitÉs volumiques dans le second membre par les densitÉs surfa- ciques correspondantes

9.5 Potentielsscalaire et vecteur 890 −→−→ Le champ ÉlectromagnÉtique (E(M,t),B(M,t)) dÉrive d’un potentiel −→ scalaireV(M,t) et d’un potentiel vecteurA(M,t) tel que : −→ −→ −−−→ ∂A(M,t) E(M,t)= −gradV(M,t)− ∂t −→ −→ −→ B(M,t)=r otA(M,t) −→−→ Pour un couple (E(M,t),B(M,t)) donnÉ, on a en fait une infinitÉ de couples −→ (A(M,t),V(M,t)) possibles.Supposons en effet qu’on en ait trouvÉ un notÉ −→ (A 0 ,V 0 ) et soitφ(M,t) une fonction scalaire quelconque. Si l’on Écrit −→ −→−−−→ A=A 0 +gradφ(M,t) −→ − −→ →− → on a encoreB=Ar ot. Pour obtenir le mmeEil suffit de dÉfinir un nou- veau potentiel V tel que : −→−→ −−−→ ∂A −−−→ ∂A 0 −gradV−− =gradV 0 − ∂t∂t ∂φ ce qui donneV=V 0 +. On peut construire ainsi une infinitÉ de couples ∂t de potentiels donnant les mmes champs. cette indÉtermination peut tre mise À profit en imposant une condition supplÉmentaire sur ces potentiels qui simplifie les calculs intermÉdiaires. Cette condition est appelÉe choix de jauge. En rÉgime variable on choisit la jauge de Lorentz −→ ∂V d iv A+µ 0 ε 0 =0 ∂t −→ qui ne fait que restreindre le choix de tous les couples (A,V) possibles permet d’obtenir, pour les potentiels, les Équations appelÉes Équations de Poisson : 2 ∂Vρ Δ V−µ 0 ε 0 + =0 2 ∂tε 0 −→ 2 −→ −→ ∂A →− →− Δ A−µ 0 ε 0 +µ 0 j=0 2 ∂t tel : [phone]page 51AMAMI MOHAMED

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Une fois encore, en rÉgime stationnaire, nous retrouvons les Équations de Poisson des potentiels introduites aux chapitres prÉcÉdents. De mme la forme particuliÈre de la jauge de Lorentz en rÉgime stationnaire n’est autre que la jauge de Coulomb Il y a donc parfaite compatibilitÉ entre les Équations des rÉgimes variables et celles des rÉgimes stationnaires 895

9.6 nergielectromagntique ♠On admet l’existence d’une Énergie ÉlectromagnÉtique localisÉe dans la rÉgion oÙ rÈgne le champ ÉlectromagnÉtique avec une densitÉ volumique u em (M,t) l’Énergie W(t) contenue par le champ dans un volumeVÀ l’ins- tant t s’Écrit Ñ W(t)=u em (M,t)dτ V ♠Puissance transportÉe par le champ Le phÉnomÈne de transport de l’Énergie par le champ ÉlectromagnÉtique est appelÉ rayonnement Élec- tromagnÉtique. La puissance ÉlectromagnÉtique rayonnÉe À travers une surface Σ s’Écrit comme le flux À travers Σ du vecteur courant d’Énergie ÉlectromagnÉtique, appelÉ vecteur de Poynting Ï −→ −→ P ra yonn e e = Π (M,t).d S ♠Puissance cÉdÉe par le champ À la matiÈre Le champ Électromagne- tique peut cÉder de la puissance aux porteurs de charges par l’intermÉ- diaire de la force de Lorentz. La puissance cÉdee a un volumedτs’Écrit −→−→ dP c ed e e =j(M,t).E(M,t)dτ

La puissance du terme magnÉtique de la force de Lorentz est nulle. ♠Bilan d’Énergie ou de puissance La variation dW de l’Énergie Électro- magnÉtique W(t ) d’un volumeVpendant une durÉe dt est donnÉe par

dW= −∂W ra yonn e e −∂W c ed e e

ou∂W c ed e e est l’Énergie cÉdÉe pendant dt aux porteurs de charges presents dans le volumeV(elle est donc perdue par le champ), et∂W ra yonnÉe est l’Énergie rayonnÉe pendant dt À travers la surface Σ dÉlimitantV(le flux Étant sortant, le champ perd de l’Énergie quand∂W ra yonnÉe >0). AprÈs sim- plification par dt , on obtient le bilan de puissance sous forme intÉgrale : Ñ ÓÑ ∂u em (M,t) − → → − → − − → dτ= − Π (M,t).d S−j(M,t).E(M,t)dτ V ∂t V

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soit sous forme locale ∂u em (M,t) −→ −→−→ +d iv Π (M,t)= −j(M,t).E(M,t) ∂t ♠IdentitÉ de Poynting Revenons À prÉsent À l’idÉe d’une Équation locale de conservation de l’Énergie qui doit tre contenue dans les Équations de Maxwell. Essayons de la dÉgager en faisant apparatre le terme prÉcÉdent. −→ Il suffit de multiplier scalairement maxwell ampÈre parE −→ −→ − −→−→−→− → → ∂E E.r ot B=µ 0 (E.j+ε 0 E. ) ∂t −→ − −→ → →− E.r ot B −→ −→−→ ∂E =E.j+ε 0 E. µ 0 ∂t −→ B puis on multiplie scalairement l’Équation de maxwell faraday par µ 0 −→ −→−→ B − −→ → B∂B .r ot E= −. µ 0 µ 0 ∂t Enfin, en effectuant la diffÉrence des deux Équations, on obtient : −→ − →−−→ →− →− → 2 2 E.r ot B−B.r ot E −→−→ ∂ ε 0 E B =j.E+(+) µ 0 ∂t2 2µ 0 −→−→ 2 2 E(M,t)∧B(M,t) →−→− ∂ ε 0 E B −d iv( )=j.E+(+) µ 0 ∂t2 2µ 0 −→−→ 2 2 ∂ ε 0 EE B∧B −→−→ (+)+d iv( )= −j.E ∂t2 2µ 0 µ 0 On en dÉduit la densitÉ volumique d’Énergie ÉlectromagnÉtique 2 2 ε 0 E(M,t)B(M,t) u em = + 2 2µ 0 et le vecteur de Poynting −→−→ −→ E(M,t)∧B(M,t) Π (M,t)= µ 0 −→ Le choix du couple (u em , Π ;il faut considÉrer le choix) n’est pas unique fait ici comme un postulat supplÉmentaire de l’ÉlectromagnÉtisme. 900

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9.7 Casparticulier de l’ARQS les Équations de Maxwell s’Écrivent dans ce cadre : −→ ρ(M,t) d iv E(M,t)= ε 0 −→ −→ −→ ∂B(M,t) r ot E(M,t)= − ∂t −→ d iv B(M,t)=0 − →− → −→ r ot B(M,t)=µ 0 j(M,t) On en dÉduit la conservation de la charge −→ d ivj(M,t)=0 On nÉglige le courant de dÉplacement, et le champ magnÉtique se calcule comme en magnÉtostatique

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