Cours sur la géométrie algébrique et géométrie complexe

Informations

• Publié par: Sawyog
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

G¶eom¶etrie alg¶ebrique et g¶eom¶etrie complexe
Claire Voisin
Institut de math¶ematiques de Jussieu, CNRS,UMR 7586
Table des matiµeres
0 Introduction 4
I Sch¶emas a–nes et projectifs, faisceaux coh¶erents 5
1 Sch¶emas a–nes et projectifs 5
n1.1 L’espace a–ne A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5k
n1.2 projectifP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8k
1.3 Sch¶emas quasi-projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Sch¶emas a–nes sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Sch¶emas projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Sch¶emas quasi-projectifs, op¶erations . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Premiµeres propri¶et¶es des sch¶emas quasi-projectifs . . . . . . . . . . . 15
1.5µeres¶et¶es des morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Pourquoi les sch¶emas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Faisceaux coh¶erents 23
2.1 Faisceaux quasi-coh¶erents sur les sch¶emas a–nes . . . . . . . . . . . 23
2.2 Op¶erations sur les faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Faisceaux localement libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Diviseurs de Cartier et flbr¶es en droites . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 O(1) sur un Proj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3 Grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Faisceaux coh¶erents sur un sch¶ema projectif.. . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Cohomologie des faisceaux quasi-coh¶erents . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 de l’espace projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 Th¶eorµemes d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Etude des sous-sch¶emas 43
3.1 Composantes irr¶eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Multiplicit¶es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Compl¶etion formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Sous-sch¶emas localement intersection complµete . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Construction de (sous)-sch¶emas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1 Fibr¶es a–nes et projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.2 Lieux des z¶eros d’une section d’un faisceau localement libre . 51
3.5.3 Rev^etements cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Degr¶e des sous-sch¶emas projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1II Le point de vue complexe 55
4 Vari¶et¶es complexes et k˜ahl¶eriennes 55
4.1 Vari¶et¶es et flbr¶es vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Op¶erateur @ sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.3 Composition et changement de variables . . . . . . . . . . . . 57
4.1.4 Vari¶et¶es complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.5 Fibr¶es vectoriels holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Th¶eorµeme de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.1 Op¶erateurs @, @ sur les formes . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.2 Op¶erateur @ d’un flbr¶e vectoriel holomorphe . . . . . . . . . . 61
4.2.3 La r¶esolution de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 M¶etriques hermitiennes, formes de Chern et classes de Chern . . . . 63
4.4 Vari¶et¶es k˜ahl¶eriennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.1 G¶eom¶etrie hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.2 M¶etriques k˜ahl¶eriennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.3 Caract¶erisation locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Th¶eorie de Hodge et th¶eorµemes d’annulation 68
25.1 M¶etrique L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 Adjoints formels et Laplaciens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.1 Laplaciens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Op¶erateurs elliptiques et th¶eorµeme de Hodge . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.1 Symboles des op¶erateurs difi¶erentiels . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.2 Symbole du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4 Le th¶eorµeme fondamental.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.1 Formes harmoniques et cohomologie. . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5 Identit¶es k˜ahl¶eriennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6 Th¶eorµemes d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 G¶eom¶etrie alg¶ebrique et g¶eom¶etrie complexe 82
6.1 Th¶eorµeme de plongement de Kodaira . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2 Le principe GAGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.1 Le foncteur alg¶ebrique vers analytique . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.2 Vari¶et¶es de Chow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.3 Le th¶eorµeme de comparaison de Serre . . . . . . . . . . . . . 91
III Vari¶et¶es lisses et cohomologie de de Rham 96
7 Difi¶erentielles de K˜ahler 96
7.1 Module des diަerentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2 Faisceau des diަerentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 R¶egularit¶e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.4 R¶esolutions flnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.5 Sous-vari¶et¶es lisses et ¶eclatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.5.1 Eclatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
27.5.2 Propri¶et¶e universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.5.3 Cas localement intersection complµete . . . . . . . . . . . . . . 109
8 Cohomologie de de Rham alg¶ebrique 111
8.1 Complexe de de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.1.1 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.1.2 Invariance par homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.1.3 Suite spectrale de Fr˜olicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.2 Version holomorphe et th¶eorµeme de comparaison . . . . . . . . . . . 118
8.2.1 D¶eg¶en¶erescence en E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1201
8.3 Th¶eorµemes d’annulation et th¶eorµeme de Lefschetz . . . . . . . . . . 121
9 Dualit¶e de Serre 124
9.1 Fibr¶e canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.1.1 Suite exacte d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2 Ext et Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3 Le th¶eorµeme de dualit¶e de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4 Cas des courbes projectives lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.4.1 Degr¶e des flbr¶es inversibles et th¶eorµeme de Riemann-Roch . . 134
9.4.2 Cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.5 Classe de cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.5.1 Cohomologie locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10 Classes de Chern 142
10.1 Premiµere classe de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.1.1 Version cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.1.2 V topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.1.3 Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.2 Construction g¶en¶erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
n10.2.1 Cohomologie deP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145k
10.2.2 Calcul de la cohomologie de de Rham d’un flbr¶e projectif . . 147
10.2.3 Formule de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.2.4 Principe de scindage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.2.5 Cas des faisceaux coh¶erents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
IV Platitude et d¶eformations 156
11 El¶ements de th¶eorie des d¶eformations 156
11.1 Foncteurs de d¶eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.2 Classe de Kodaira-Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.2.1 Cas g¶en¶eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
111.3 Obstructions : Le \principe de relµevement T " . . . . . . . . . . . . 161
12 Platitude 165
12.1 Modules plats sur un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
12.2 Modules gradu¶es et polyn^ome de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.3 Faisceaux plats au-dessus d’une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.4 Polyn^ome de Hilbert et flnitude . . . . . . . . . . . . . . . . .