Cours sur le calcul matriciel
Description
Calcul matricielYves LafontFaculté des Sciences de Luminy - Licences MASHS-MI-SPC - Année 1 - Semestre 2.2006Yves Lafont est enseignant-chercheur à la Faculté des Sciences de Luminy. Il effectue sa recherche à l’Institut deMathématiques de Luminy dans les domaines de l’algèbre, la logique et l’informatique théorique.Site personnel : http://iml.univ-mrs.fr/∼lafontSite du cours : http://iml.univ-mrs.fr/∼lafont/licence/cm.html2 Faculté des Sciences de Luminy - Licences MASHS-MI-SPC - Année 1 - Semestre 2.1 Calcul vectoriel1.1 Scalaires et vecteurspDans ce cours, un scalaire est un réelλ∈R, et un vecteur est unp-upletu = (x ,...,x )∈R .1 p~Notation : On utilise le symbole0 pour le vecteur nul(0,...,0). Autre notation en usage : 0.Les opérations sur les scalaires sont la sommeλ+ et le produitλ, qui vérifient les identités suivantes :(λ+)+ν =λ+(+ν), λ+0 =λ, λ+ =+λ,(λ)ν =λ(ν), 1λ =λ, λ =λ, (λ+)ν =λν +ν, 0λ = 0.De plus, tout scalaireλ a un opposé−λ tel queλ+(−λ) = 0. On écritλ− pourλ+(−).−1 −1 −1Enfin, tout scalaire non nulλ a un inverseλ tel queλλ = 1. On écritλ/ pourλ .Les opérations sur les vecteurs sont la sommeu+v et le produit externeλu, qui vérifient les identités suivantes :(u+v)+w =u+(v +w), u+0 =u, u+v =v +u,(λ)u =λ(u), 1u =u, (λ+)u =λu+u, 0u = 0, λ(u+v) =λu+λv, λ0 = 0.On écrit−u pour(−1)u etu−v pouru+(−v), de sorte queu−u = 0.Exercice 1 : En utilisant ces propriétés, montrer que siλu = 0, alorsλ = 0 ouu = 0.Interprétation ...
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| Langue | Français |
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Calcul matriciel Yves Lafont Faculté des Sciences de Luminy - Licences MASHS-MI-SPC - Année 1 - Semestre 2. 2006
Yves Lafont est enseignant-chercheur à la Faculté des Sciences de Luminy . Il effectue sa recherche à l' Institut de Mathématiques de Luminy dans les domaines de l'algèbre, la logique et l'informatiqu e théorique. Site personnel : http : //iml.univ-mrs.fr/ ∼ lafont Site du cours : http : //iml.univ-mrs.fr/ ∼ lafont/licence/cm.html
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1 Calcul vectoriel 1.1 Scalaires et vecteurs Dans ce cours, un scalaire est un réel λ ∈ R , et un vecteur est un p -uplet u = ( x 1 x p ) ∈ R p . Notation : On utilise le symbole 0 pour le vecteur nul (0 0) . Autre notation en usage : ~ 0 . Les opérations sur les scalaires sont la somme λ + et le produit λ , qui vérient les identités suivantes : ( λ + ) + ν = λ + ( + ν ) λ + 0 = λ λ + = + λ ( λ ) ν = λ ( ν ) 1 λ = λ λ = λ ( λ + ) ν = λν + ν 0 λ = 0 De plus, tout scalaire λ a un opposé − λ tel que λ + ( − λ ) = 0 . On écrit λ − pour λ + ( − ) . Enn, tout scalaire non nul λ a un inverse λ − 1 tel que λλ − 1 = 1 . On écrit λ pour λ − 1 . Les opérations sur les vecteurs sont la somme u + v et le produit externe λu , qui vérient les identités suivantes : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) u + 0 = u u + v = v + u ( λ ) u = λ ( u ) 1 u = u ( λ + ) u = λu + u 0 u = 0 λ ( u + v ) = λu + λv λ 0 = 0 On écrit − u pour ( − 1) u et u − v pour u + ( − v ) , de sorte que u − u = 0 . Exercice 1 : En utilisant ces propriétés, montrer que si λu = 0 , alors λ = 0 ou u = 0 . Interprétation géométrique de la somme et du produit externe : composition des vecteurs et changement d'échelle . v u u + v u u v λu Remarque : Tout vecteur u = ( x y ) ∈ R 2 est de la forme u = x~ı + y~ où les vecteurs ı~ = (1 0) et ~ = (0 1) forment la base canonique de R 2 , et les scalaires x com tte bas ~ e. De même, tout vecteur u = ( x y z ) ∈ R 3 est de la forme u = y s x o ~ı nt + le y s ~ d + eu z x ~k où ~ı po = sa ( n 1 t es 0 d 0 e ) , u~ da = ns (0 c e 1 0) , k = (0 0 1) forment la base canonique de R 3 , et x y z sont les trois composantes de u dans cette base. 1.2 Produit scalaire Une forme bilinéaire symétrique sur R p est une application ϕ : R p × R p → R qui vérie les identités suivantes : ϕ ( u + u ′ v ) = ϕ ( u v ) + ϕ ( u ′ v ) ϕ ( λu v ) = λϕ ( u v ) ϕ ( v u ) = ϕ ( u v ) Remarque : On en déduit que ϕ (0 u ) = 0 . Il suft pour cela d'appliquer la deuxième identité avec λ = 0 . Exercice 2 : Montrer qu'il existe une seule forme bilinéaire symétrique ϕ sur R 2 telle que : ϕ ( ~ ~ ) ϕ ( ~~ ) = 1 ϕ ( ~ı~ ) = 0 ı ı = [ Utiliser la décomposition des vecteurs dans la base canonique. ] Dénition : Ce ϕ est le produit scalaire déni par u u ′ = xx ′ + yy ′ pour u = ( x y ) et u ′ = ( x ′ y ′ ) . Autres notations en usage pour le produit scalaire : h u u ′ i et h u | u ′ i . Remarque : Le produit scalaire est déni de telle sorte que la base canonique ~ı~ soit orthonormée . On vérie aisément que cette forme bilinéaire symétrique est dénie positive . Autrement dit, on a les propriétés suivantes : u u > 0 u u = 0 si et seulement si u = 0 On dénit de même le produit scalaire comme une forme bilinéaire symétrique dénie positive sur R p . Dénition : La norme euclidienne du vecteur u est le réel k u k = u u , de sorte que k u k 2 = u u . Exercice 3 : Montrer qu'on peut dénir le produit scalaire à partir de la norme euclidienne. [ Développer k u + v k 2 . ] Dénition : On dit que les vecteurs u et v sont orthogonaux et on écrit u ⊥ v si on a u v = 0 . Exercice 4 : Montrer que u ⊥ v si et seulement si k u + v k 2 = k u k 2 + k v k 2 ( théorème de Pythagore ). Exercice 5 : Montrer l' inégalité de Cauchy-Schwarz : | u v | 6 k u kk v k . [ Étudier la fonction f ( λ ) = k λu + v k 2 . ] Exercice 6 : Montrer les propriétés de la norme euclidienne : k u + v k 6 k u k + k v k k λu k = | λ | k u k k u k = 0 si et seulement si u = 0
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1.3 Déterminant dans R 2 et produit vectoriel dans R 3 Une application δ : R p × R p → R q est dite bilinéaire alternée si elle vérie les identités suivantes : δ ( u + u ′ v ) = δ ( u v ) + δ ( u ′ v ) δ ( λu v ) = λδ ( u v ) δ ( v u ) = − δ ( u v ) Exercice 7 : En déduire les identités suivantes : δ ( u v + v ′ ) = δ ( u v ) + δ ( u v ′ ) δ ( u λv ) = λδ ( u v ) δ (0 u ) = 0 = δ ( u 0) δ ( u u ) = 0 δ ( u + λv v ) = δ ( u v ) = δ ( u λu + v ) Une application bilinéaire alternée δ : R p × R p → R s'appelle une forme bilinéaire alternée sur R p . Exercice 8 : Montrer qu'il existe une seule forme bilinéaire alternée δ sur R 2 telle que δ ( ı~~ ) = 1 . ′ Dénition : Ce δ est le déterminant déni par det( u u ′ ) = yxyx ′ = xy ′ − yx ′ pour u = ( x y ) et u ′ = ( x ′ y ′ ) . Interprétation géométrique : la valeur absolue du déterminant est l'aire du parallélogramme déni par u u ′ , et son signe est donné par l' orientation trigonométrique du plan . C'est l' aire algébrique du parallélogramme. u ′ u + − u u ′ Exercice 9 : Montrer l'identité ( u v ) 2 + det( u v ) 2 = k u k 2 k v k 2 , et en déduire l'inégalité | det( u v ) | 6 k u kk v k . Quelle est l'interprétation géométrique de cette inégalit é ? Exercice 10 : Montrer qu'il existe une seule application bilinéaire alte rnée δ : R 3 × R 3 → R 3 telle que : ~ ~ ~ δ ( ~ı~ ) = k δ ( ~k ) = ı~δ ( k~ı ) = ~ Dénition : Ce δ est le produit vectoriel déni par u ∧ u ′ = zyzy ′′ ~ı − zxzx ′′ ~ + x x ′ ~ k pour u = ( x y z ) et u ′ = ( x ′ y ′ z ′ ) . y y ′ Interprétation géométrique : u ∧ u ′ est orthogonal à u et u ′ , sa norme est l'aire du parallélogramme déni par u u ′ , et son sens est donnée par la règle des trois doigts de la main droite . C'est l' aire vectorielle du parallélogramme. Exercice 11 : Montrer que le produit vectoriel n'est ni commutatif, ni ass ociatif : il existe u v tels que u ∧ v 6 = v ∧ u , et de même, il existe u v w tels que ( u ∧ v ) ∧ w 6 = u ∧ ( v ∧ w ) . [ Utiliser des vecteurs de la base canonique. ] Exercice 12 : Montrer l'identité ( u v ) 2 + k u ∧ v k 2 = k u k 2 k v k 2 , et en déduire l'inégalité k u ∧ v k 6 k u kk v k . Quelle est l'interprétation géométrique de cette inégalit é ? 1.4 Déterminant dans R 3 Une forme trilinéaire alternée sur R p est une application δ : R p × R p × R p → R qui vérie les identités suivantes : δ ( u + u ′ v w ) = δ ( u v w ) + δ ( u ′ v w ) δ ( λu v w ) = λδ ( u v w ) δ ( v u w ) = − δ ( u v w ) = δ ( u w v ) Exercice 13 : En déduire une identité pour chaque permutation des vecteurs u v w dans δ ( u v w ) . [ Il y a 6 cas. ] éaire alternée δ su 3 telle ~ Exercice 14 : Montrer qu'il existe une seule forme trilin r R que δ ( ~ı~k ) = 1 . Dénition : Cette unique application est le déterminant , ou produit mixte , déni par det( u u ′ u ′′ ) = u ( u ′ ∧ u ′′ ) . Pour u = ( x y z ) , u ′ = ( x ′ y ′ z ′ ) , u ′′ = ( x ′′ y ′′ z ′′ ) , on a le développement par rapport à la première colonne : x x ′ x ′′ det( u u ′ u ′′ ) = y y ′ y ′′ = xyz ′′ y ′′ x ′ x ′′ x ′ x ′′ ′′ z z ′ z ′′ z ′′ − y z ′ z ′′ + z y ′ y Interprétation géométrique : la valeur absolue du déterminant est le volume du parallélépipède déni par u u ′ u ′′ , et son signe est donné par la règle des trois doigts de la main droite . C'est le volume algébrique du parallélépipède. Exercice 15 : Établir une formule de développement par rapport à chaque colonne et à chaque ligne. [ Il y a 6 cas. ] Exercice 16 : Calculer tous les déterminants de vecteurs de la base canonique. [ Il y a 27 cas. ] Exercice 17 : Montrer l'inégalité | det( u v w ) | 6 k u kk v kk w k . Quelle est son interprétation géométrique ?
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1.5 Droites vectorielles et colinéarité p Notation : Si u ∈ R p , on pose R u = { λu | λ ∈ R } ⊂ R . Dénition : Si u est un vecteur non nul, on dit que D = R u est la droite vectorielle engendrée par le vecteur u . Interprétation géométrique : D est la droite de vecteur directeur u qui passe par l'origine O . O u D = R u Remarque : En fait, tout vecteur non nul de D est directeur. Autrement dit, si u ′ ∈ D et u ′ 6 = 0 , alors R u ′ = D . Un tel vecteur directeur dénit un système paramétrique pour la droite vectorielle qu'il engendre. Exemple : Si u = ~ı + 2 ~ , la droite D est dénie par le système paramétrique x = λ y = 2 λ Exercice 18 : Écrire un autre système paramétrique pour cette droite, et donner la forme générale d'un tel système. Interprétation cinématique : D est la trajectoire d'un point qui se déplace à vitesse consta nte u et qui passe par l'origine O à l'instant 0. Cette trajectoire est inchangée si on multipl ie la vitesse u par une constante non nulle. Pour représenter le temps , on utilise souvent t à la place de λ comme variable paramétrique . Éc ~ Exercice 19 : rire un système paramétrique pour la droite R u où u = ~ı + 2 ~ + 3 k . Dénition : On dit que deux vecteurs u v ∈ R p sont colinéaires s'ils appartiennent à une même droite vectorielle. Remarque : Si u = 0 , alors u v sont forcément colinéaires. Si u 6 = 0 , cela revient à dire que v ∈ R u . Exercice 20 : Montrer le critère de colinéarité pour R 2 : u v ∈ R 2 sont colinéaires si et seulement si det( u v ) = 0 . [ Pour la réciproque : commencer par le cas u = 0 puis celui où la première composante de u est non nulle. ] Remarque : Ce critère donne une équation cartésienne de la droite R u . Exemple : Si u = ~ı + 2 ~ , la droite R u est dénie par l'équation cartésienne 12 yx = 0 , c'est-à-dire y − 2 x = 0 . Exercice 21 : Écrire une autre équation cartésienne de cette droite, et donner la forme générale d'une telle équation. Exercice 22 : Montrer le critère de colinéarité pour R 3 : u v ∈ R 3 sont colinéaires si et seulement si u ∧ v = 0 . Remarque : Si u 6 = 0 , ce critère donne 3 équations cartésiennes pour la droite R u , mais on peut toujours supprimer l'une d'elles, qui est conséquence des 2 autres : on obtient u n système cartésien à 2 équations pour la droite R u . En fait, si aucune composante de u n'est nulle, on peut supprimer n'importe laquelle des 3 équa tions. Exercice 23 : É re un ~ cri système cartésien à 2 équations pour la droite R u où u = ı~ + 2 ~ + 3 k . 1.6 Plans vectoriels et coplanarité Notation : Si U V ⊂ R p , on pose U + V = { u + v | u ∈ U et v ∈ V } ⊂ R p . Dénition : Si u v sont deux vecteurs non colinéaires de R p , on dit que P = R u + R v = { λu + v | λ ∈ R } est le plan vectoriel engendré par les vecteurs u et v et que u v forment base du plan vectoriel P . Interprétation géométrique : P est le plan parallèle à u et v qui passe par l'origine O . Remarque : On verra plus tard que deux vecteurs non colinéaires de P forment nécessairement une base de P . Une telle base dénit un système paramétrique pour le plan qu'elle engendre. ~ Exemple : Si u = ~ı + 2 ~ + 3 k et v = 4 ~ı + 5 ~ , le plan R u + R v est déni par le système paramétrique suivant : + 4 zx ==3 λλ y = 2 λ + 5 Dénition : On dit que trois vecteurs u v w ∈ R p sont coplanaires s'ils appartiennent à un même plan vectoriel. Remarque : Si u v sont colinéaires, alors u v w sont forcément coplanaires. Si u v ne sont pas colinéaires, cela revient à dire que w ∈ R u + R v (d'après la remarque ci-dessus). Exercice 24 : Montrer le critère de coplanarité : u v w ∈ R 3 sont coplanaires si et seulement si det( u v w ) = 0 . [ Pour la réciproque : commencer par le cas u ∧ v = 0 puis celui où la première composante de u ∧ v est non nulle. Dans le deuxième cas, développer le déterminant par rapport à la première ligne. ] Remarque : Si u v ne sont pas colinéaires, ce critère donne une équation cartésienne du plan R u + R v . 1 4 x ~ Exemple : Si u = ~ı + 2 ~ + 3 k et v = 4 ~ı + 5 ~ , le plan R u + R v est déni par l'équation cartésienne 2 5 y = 0 , c est-à-dire − 15 x + 12 y − 3 z = 0 , ou encore 5 x − 4 y + z = 0 . 3 0 z '
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1.7 Orthogonal et biorthogonal Dénition : Si u est un vecteur de R p , son orthogonal est l'ensemble u ⊥ = { v ∈ R p | u ⊥ v } ⊂ R p . Remarque : 0 ⊥ = R p car tout vecteur de R p est orthogonal au vecteur nul. Exercice 25 : Montrer que si u est un vecteur non nul de R 2 , alors u ⊥ est une droite vectorielle. u u ⊥ O Exemple : ( ı~ + 2 ~ ) ⊥ est la droite vectorielle d'équation cartésienne x + 2 y = 0 et de vecteur directeur 2 ı~ − ~ . Exercice 26 : Montrer que si u est un vecteur non nul de R 3 , alors u ⊥ est un plan vectoriel. ~ ) ⊥ t le plan vectoriel ~ Exemple : ( ı~ + 2 ~ + 3 k es d'équation cartésienne x + 2 y + 3 z = 0 et de base 2 ı~ − ~ 3 ~ı − k . Dénition : Si U ⊂ R p , son orthogonal est l'ensemble U ⊥ = T u ∈ U u ⊥ = { v ∈ R p | u ⊥ v pour tout u ∈ U } . Exercice 27 : Quel est l'ensemble ( R p ) ⊥ ? Exercice 28 : Montrer que si u v sont deux vecteurs non colinéaires de R 3 , alors { u v } ⊥ est une droite vectorielle. ER U xe n em v m e a c pr t lq e eu u :e r { : d ı~ D + an 2 s ~ c + e 3 c ~k a s, 4 ~ıu + ∧ 5 v~ e } s ⊥ tuesntvlaecdtreouirtedivree ~k cc.ttoeruireldleed { é u v ni } e ⊥ p.arlesystèmecartésien x ++25 yy + 3 z ==00 irecteur de cette droite est 5 ı~ − 4 ~ + 4 x Exercice 29 : Montrer que ( R u ) ⊥ = u ⊥ et que ( R u + R v ) ⊥ = { u v } ⊥ . Remarque : En particulier, cela signie que l'orthogonal d'une droite vectorielle de R 2 est une droite vectorielle. De même, l'orthogonal d'une droite vectorielle de R 3 est un plan vectoriel, et vice-versa. Dénition : Le biorthogonal d'un vecteur u est u ⊥⊥ = ( u ⊥ ) ⊥ . On dénit de même le biorthogonal de U ⊂ R p . Exercice 30 : Montrer que u ∈ u ⊥⊥ , et plus généralement, U ⊂ U ⊥⊥ . Exercice 31 : Montrer que u ⊥⊥ = R u si u est un vecteur de R 2 ou de R 3 . [ Distinguer les cas u = 0 et u 6 = 0 . ] Exercice 32 : Montrer que { u v } ⊥⊥ = R u + R v si u v sont des vecteurs de R 2 ou de R 3 . Exercice 33 : Montrer que U = U ⊥⊥ si U est une droite vectorielle de R 2 ou de R 3 , ou un plan vectoriel de R 3 . 1.8 Droites et plans afnes Dénition : Si u 0 v sont des vecteurs de R p et v est non nul, on dit que D = u 0 + R v = { u 0 + λv | λ ∈ R } est la droite afne passant par u 0 et parallèle à v . On dit aussi que la droite vectorielle R v est la direction de D . P 0 v P D = u 0 + R v u 0 O u = u 0 + λv −−→ Remarque : C'est une droite au sens habituel, mais ici, on identie le vecteur u avec le point P tel que u = OP , dont les coordonnées sont d'ailleurs les composantes de u . On peut remplacer u 0 par n'importe quel vecteur de D , et v par n'importe quel vecteur non nul de R v . De tels vecteurs dénissent un système paramétrique pour D . Exemple : Si u 0 = (1 2) et v = 3 ~ı + 4 ~ , la droite D est dénie par le système paramétrique yx ==21++34 λλ Remarque : On obtient un système cartésien pour D à partir d'un système cartésien pour la direction R v en remplaçant le membre droit de chaque équation (qui est nul) par la valeur du membre gauche en u 0 . Exemple : Pour la droite D ci-dessus, l'équation cartésienne de R v est 4 x − 3 y = 0 et celle de D est 4 x − 3 y = − 2 . Remarque : La droite D = u 0 + R v est aussi la droite passant par u 0 et u 1 = u 0 + v . Exercice 34 : Établir un critère d'alignement pour trois points de R 2 (respectivement de R 3 ). Exercice 35 : Écrire un système paramétrique et une équation cartésienne pour la droite passant par (1 2) et (4 7) . Exercice 36 : Montrer que la droite passant par u et v est l'ensemble D = { λu + v | λ ∈ R λ + = 1 } . Dénition : Si u 0 v w sont des vecteurs de R p et v w ne sont pas colinéaires, on dit que P = u 0 + R v + R w est le plan afne passant par u 0 et parallèle à v w . On dit aussi que le plan vectoriel R v + R w est la direction de P . Exercice 37 : Écrire un système paramétrique et une équation cartésienne pour le plan passant par les points (1 2 3) (4 5 7) (1 1 1) .
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2 Applications linéaires et matrices 2.1 Applications linéaires Dénition : Une application f : R p → R q est dite additive si on a f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ) pour tout u v ∈ R p . Exercice 38 : Montrer que si f : R p → R q est additive, alors on a f (0) = 0 et f ( − u ) = − f ( u ) pour tout u ∈ R p . En déduire qu'on a f ( λu ) = λf ( u ) pour tout λ ∈ Q . [ Commencer par le cas λ ∈ N . ] Dénition : Une application f : R p → R q est dite linéaire si elle satisfait les deux identités suivantes : f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ) pour tout u v ∈ R p f ( λu ) = λf ( u ) pour tout λ ∈ R et u ∈ R p Exercice 39 : Montrer que l' application nulle 0 : R p → R q dénie par 0( u ) = 0 est linéaire, de même que l' identité id : R p → R p dénie par id( u ) = u et les composantes ξ i : R p → R dénies par ξ i ( x 1 x p ) = x i . Exercice 40 : Montrer que si f g : R p → R q sont linéaires, alors f + g est linéaire, ainsi que λf pour tout λ ∈ R . Exercice 41 : Montrer que si f : R p → R q et g : R q → R r sont linéaires, alors g ◦ f : R p → R r est linéaire. Exercice 42 : Montrer que pour tout a ∈ R , l'application f : R → R dénie par f ( x ) = ax est linéaire, et que toute application linéaire f : R → R est de cette forme. Remarque : L'application f : R → R dénie par f ( x ) = ax + b est dite afne . Pour b 6 = 0 , elle n'est pas linéaire. Attention : les fonctions linéaires des physiciens, par exemple, sont en fait des applications afnes. Exercice 43 : Montrer que pour tout a b ∈ R , l'application f : R → R 2 dénie par f ( x ) = ( ax bx ) est linéaire, et que toute application linéaire f : R → R 2 est de cette forme. Exercice 44 : Montrer que pour tout a b ∈ R , l'application f : R 2 → R dénie par f ( x y ) = ax + by est linéaire, et que toute application linéaire f : R 2 → R est de cette forme. [ Utiliser la base canonique ~ı . ] ~ Dénition : L' image d'une application linéaire f : R p → R q est l'ensemble im f = f ( R p ) = { f ( u ) | u ∈ R p } , et son noyau est l'ensemble ker f = f − 1 { 0 } = { u ∈ R p | f ( u ) = 0 } . Exercice 45 : Montrer que toute droite vectorielle de R 2 est l'image d'une application linéaire f : R → R 2 et le noyau d'une application linéaire g : R 2 → R . Exercice 46 : Monter qu'une application linéaire f : R p → R q est injective si et seulement si on a ker f = { 0 } . 2.2 Matrices carrées d'ordre 2 Dénition : Une matrice carrée d'ordre 2 est un tableau de la forme A = cadb . On montre comme ci-dessus que l'application f : R 2 → R 2 dénie par f ( x y ) = ( ax + by cx + dy ) est linéaire, et que toute application linéaire f : R → R 2 est de cette forme. Dénition : On dit que f est l'application linéaire de matrice A , ou que A est la matrice de f . Remarque : D'une part, les colonnes de la matrice A correspondent aux vecteurs f ( ~ı ) = ( a c ) et f ( ~ ) = ( b d ) . D'autre part, si on pose ( x ′ y ′ ) = f ( x y ) , alors x ′ et y ′ s'expriment au moyen du système linéaire suivant : + by yx ′′ == caxx + dy On représente ce calcul par un diagramme (gure 1). Les sommets du haut et du bas correspondent respectivement aux entrées x y et aux sorties x ′ y ′ . L'arête entre x et x ′ , par exemple, indique le coefcient de l'entrée x dans la sortie x ′ . On omet le coefcient lorsqu'il vaut 1, et l'arête lorsque s on coefcient vaut 0 (gure 2). Exercice 47 : Dans chacun des cas suivants, donner la matrice de l'applica tion linéaire f ainsi que son diagramme, puis dessiner les vecteurs f ( ı~ ) et f ( ~ ) : symétrie de centre O : f ( x y ) = ( − x − y ) ; homothétie de rapport ρ et de centre O : f ( x y ) = ( ρx ρy ) ; symétrie orthogonale d'axe O~ı : f ( x y ) = ( x − y ) ; projection orthogonale sur l'axe Oı~ : f ( x y ) = ( x 0) ; afnité orthogonale de rapport ρ et d'axe Oı~ : f ( x y ) = ( x ρy ) ; rotation d'angle θ et de centre O : f ( x y ) = ( x cos θ − y sin θ x sin θ + y cos θ ) ; similitude de rapport ρ , d'angle θ , et de centre O : f ( x y ) = ( ρx cos θ − ρy sin θ ρx sin θ + ρy cos θ ) . Remarque : Pour u 6 = 0 , la translation de vecteur u n'est pas linéaire. Il en va de même pour toute transformatio n du plan qui ne préserve pas l'origine O : par exemple, la symétrie de centre O ′ 6 = O .
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