Cours sur les variétés affines

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666Varietes a nesSoit F un corps algebriquement clos. Soit n un entier, n 0.n nEspace a ne de dimension n sur F , noteA ou simplementA , c’est l’ensembleFnF =FF =f(a ;:::;a )j a 2Fg1 n in(produit direct de n copies de l’ensemble F ). Elements deA sont appeles points. Pourntout point P = (a ;:::;a )2 A , les elements a ;:::;a sont les coordonnees du point1 n 1 nP .On note par A la F -algebre F [x ;:::;x ] des polyn^ omes a coe cients dans F en n1 nvariables x ;:::;x . Tout f2A determine une application (fonction)1 nnA !F; P = (a ;:::;a )7!f(P ) =f(a ;:::;a ):1 n 1 nL’ensemble des zeros de cette fonction, note Z(f), est appele l’ensemble des zeros dupolyn^ ome f. Ainsi doncnZ(f) :=fP2A j f(P ) = 0g:Plus generalement, pout tout sous-ensemble TA, on noteZ(T ) l’ensemble des zeroscommuns des polynomes^ de T :\nZ(T ) = Z(f) =fP2A j f(P ) = 0 8f2Tg:f2TComme dans le cas de T =ffg on prefere la notation allegee Z(f) a Z(ffg), on ecritaussi Z(f ;:::;f ) pour Z(ff ;:::;fg).1 r 1 rDe nition.nUn sous-ensembleYA est dit un ensemble algebrique, siY =Z(T ) pour unTA.Lemme.Tout ensemble algebrique est l’ensemble des zeros communs(1) d’un ideal aA;(2) d’un ensemble ni de polyn^ omes.Preuve. (1)Z(T ) =Z(a), ou a = l’ideal engendre parT . (2) L’anneauA est noetherien,l’ideal a est donc engendre par un nombre ni d’elements. Proposition.nLes ensembles algebriques sont les ensembles fermes d’une topologie surA ...

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Extrait

Vari´et´esaffines SoitFucnrospla´griebemqutcens.lotioSnun entier,n≥0. Espace affine de dimensionnsurF´en,toA Fn ou simplementA n , c’est l’ensemble F n =F× ∙ ∙ ∙ ×F={(a 1  . . .  a n )|a i ∈F} ´ (produit direct dencopies de l’ensembleFnest´lme.)EdeA n l´esappesontpoints. Pour tout pointP= (a 1  . . .  a n )∈A n stes,ll´´eenema 1  . . .  a n sont lescoordonn´eesdu point P. On note parAlaFlg-aebr`eF[x 1  . . .  x n ylopsed]snstades`anˆomciencoeffiFenn variablesx 1  . . .  x n . Toutf∈Amierunneetd´ction)itnof(noaeppilac A n →F P= (a 1  . . .  a n )7→f(P) =f(a 1  . . .  a n ). L’ensembledesze´rosdecettefonction,not´eZ(fduoserz´)appe,este’sn´lledesemelb poly ˆ ef. Ainsi donc nom Z(f) :={P∈A n |f(P) = 0}. Plusg´ene´ralement,pouttoutsous-ensembleT⊂A, on noteZ(Tbmelnees)’ls´erodesz communsdespolynoˆmesdeT: Z(T) = \ Z(f) ={P∈A n |f(P) = 0∀f∈T}. f∈T Comme dans le cas deT={f}´`fnonaio´ellanelatoteeg´Z(f)`aZ({f}irce´no,)t pre er aussiZ(f 1  . . .  f r ) pourZ({f 1  . . .  f r }). De´finition. Un sous-ensembleY⊂A n est dit unrbqieuensemblealg´e, siY=Z(T) pour unT⊂A. Lemme. Toutensemblealg´ebriqueestl’ensembledeszeroscommuns ´ (1)d’unide´ala⊂A; (2)d’unensemblefinidepolynˆomes. Preuve. (1)Z(T) =Z(a`u),oa=l’iddn´rperae´laneegT. (2) L’anneauAesneir,eonte´ht l’id´ealacengtdonesmorburnne´apnerdtseneml´´ed’niefi. Proposition. Lesensemblesalg´ebriquessontlesensemblesferme´sd’unetopologiesurA n . Preuve.(1)Lare´uniondedeuxensemblesalg´ebriquesestunensemblealg´ebrique: Z(T 1 )∪Z(T 2 ) =Z(T 1 ∙T 2 `o,)uT 1 ∙T 2 :={f 1 ∙f 2 |f 1 ∈T 1  f 2 ∈T 2 }.En effet, si P∈Z(T 1 ) ouP∈Z(T 2 ), alorsP∈Z(T 1 ∙T 2  si). Inversement,P6∈Z(T 1 ) etP6∈Z(T 2 ), alorsf 1 (P)6= 0 etf 2 (P)6= 0 pour certainsf 1 ∈T 1 etf 2 ∈T 2 ,d’o`uP6∈Z(T 1 ∙T 2 ) parce que (f 1 ∙f 2 )(P) =f 1 (P)∙f 2 (P)6= 0. (2)L’intersectiond’ensemblesalg´ebriques(ennombrefiniouinfini)estalge´brique: \ Z(T i ) =Z( [ T i ). i∈I i∈I 1

2 (3) L’ensemble vide∅ ⊂A n aede´alitatotquelinsiA n netnbmesosiqbrs:uesale´elg ∅=Z(1) =Z(A) etA n =Z(0) =Z(∅). D´efinition. La topologie surA n ainsi obtenue s’appelle latopologie de Zariski. Exemple-Exercice. La topologie de Zariski sur la droite affineA 1 , c’est latopologie cofinie, c.-a-d., la ` topologie dont les ouverts non-vides sont les sous-ensembles du complement fini. Cette topologie n’est p´e´ear(= n’est pasHausdorff). assep De´finition. Un espace topologiquenon-videXest ditebltiucedr´ri, siX6=X 1 ∪X 2 srm´eefsuotruop propresX 1  X 2 (X. Exercice. 1)A 1 tse´rricudelbite. 2)Xelrridu´eibct⇐⇒tous deux ouverts non-vides ont intersection non-vide. 3)Xbielictdu´err⇐⇒tout ouverts non-vide estdense. 4)Xel,ctib´eduirrU⊂Xun ouvert non-vide =⇒Uparrap(elbitcuder´irsteport`ala topologie induite). ¯ 5)Xquelconque,Y⊂Xrielde´rne-sbmesuounslb=ecuit⇒l’erenchde´aYdeYest aussiirre´ductible. De´finition. Unevaque)affineire´´t(ela´gbeireiqu´errctduleibesneelbm´glairbe,c’estuneacspne’u(d affine).Unevarie´te´quasi-affinetunoc’es,deu’v-dintnovureeat´e.ffinvane´eri A part de l’applicationZassocie`qui-sneesbmtauostuoelT⊂Ale sous-ensemble Z(T)⊂A n orsndie´lpci’lpanationsco,Iqutdaniagia’lsertusnesqteeasuicisoate`tou sous-ensembleY⊂A n le sous-ensembleI(Y)⊂Arudseopylˆnmoesquis’annulentsY: I(Y) :={f∈A|Z(f)⊃Y}. L’ensembleI(Ye)tse´lanudiannedel’auAposel,sunoitare´sEnpl.ZetIinversent les inclusions: T 1 ⊂T 2 =⇒Z(T 1 )⊃Z(T 2 ) etY 1 ⊂Y 2 =⇒I(Y 1 )⊃I(Y 2 ). Finalement,ellestransformentlesre´unionsenintersections: Z( S T i ) = T Z(T i ) etI( S T j ) = T I(T j ). i∈I i∈I j∈J j∈J Concernantlesdeuxcompos´eesdecesdeuxop´erations,ona Proposition. (1)Pourtoutide´ala⊂Aon a I(Z(a)) = √ a ` √ a:={f∈A|f m ∈apour unm≥1}est leradicaldi’led´ealae´la’estunid(c ou contenanta.),tnmelera´eeng´usPlI(Z(T)) = p (To)`u(Taprrde´gnneeale’id´):=lT.

3 ¯ (2) Pour tout sous-ensembleY⊂A n on aZ(I(Y)) =Y . Preuve.(1)L’inclusione´videntea⊂I(Z(a)) entraˆıne √ a⊂ p I(Z(a’d`ou),) √ a⊂ I(Z(a´di’laearcequel))pI(Z(a)) estradical¨ınc.,covecsideapoernorpac)larid..-(c-d`a L’inclusion inverse provient duNullstellensatzci-dessous. (2)Z(I(Yst)efeun´ermntconanet)Yem´ertfuoteuqrertnomedcI.ffiuslnodtZ(T) contenantYcontient aussiZ(I(Y)): Z(T)⊃Y⇒T⊂I(Z(T))⊂I(Y)⇒Z(T)⊃Z(I(T)). Theorem (Nullstellensatzde Hilbert). Soientf;f 1  . . .  f r ∈AavecZ(f)⊃Z(f 1  . . .  f r ). Alorsf∈ p (f 1  . . .  f r c,-.)-d`ail., existentg 1  . . .  g r ∈At.q.f m =g 1 f 1 +∙ ∙ ∙+g r f r avec unm≥1. Nousabandonspourl’instantlapropositionci-dessus(sa2e`mepartieserad´emontre´e plus tard) et nous concentrons sur la preuve du Nullstellensatz. Elle se base sur Th´eor`eme. Danscethe´or`emelecorpsdebaseFssimdnoilarepatneuemrbqilg´etreaasˆeenep clos. SoitKun corps contenantF. SiKest d’engendrement finicommeF-g`alreeb, alors Kest une extensionalg´ebriquedeF(et donc une extensionfiniedeF). Preuve. On suppose queKesquurtpasn’esebrialg´Fanscen--c.d.a-,e´rgrtedeuq,edel ` dance tr.deg F Ksotivieeseptelqurentmo´endtoaFerbe`gla-Kn’est pas d’engendrement fini. SoitF 0 reeenttnnuroecprisairi´mdeFetKt.q. tr.deg F 0 Konemd´deertr=tffiuslI.1 que laF 0 -la`gbeerKleererstpasd’engendremne’ls,itduffionecd´sifitneA.inisnicnod caso`utr.deg F K= 1. Danscecas,ilexisteune´l´ementx∈Ktranscendant surFet t.q. l’extensionK/F(x) est finie. Le corpsF(x) est le corps des fractions rationnelles d’une variable. Soientf 1  . . .  f m el´edes´sdementKnne(rbmoinfielI.)ffitsud´deonemertruqlea Fa-gle`rbeAueeqitetsplutpesengendr´eepareuxK. Soient encoree 1 = 1 e 2  . . .  e r une base deKanstomtcace`inetseemecape´´rsndioc ´ vectoriel surF(x.Ecrivo)ocpmsotiosnisenldse´ (1)f i = P r a ij e j ∙ j=1 b ij ´ avecdespolynoˆmesa ij  b ij ∈F[xivcrsaonE].nsitiopmsoe´oceldssuis k r c ij ∙e k (2)e i ∙e j = k= P 1 d ijk toujoursavecdespolynˆomesc ijk  d ijk ∈F[x]. Tout´ele´menta∈Aanibnosi´nilriaeeunstomecroduedepeitsdf 1  . . .  f m a`tsicneocffie dansF faisant la substitution (1), on voit que. Enaest une combinaison li ´ i e d nea r e produits dee 1  . . .  e r snadstneicffie`acoF(x minateurs) t.q. les diviseurs premiers d s d´ e eno descoefficientssetrouventparmilesdiviseurspremiersdespolynˆomesb ij . Maintenant, enfaisantlasubstitution(2),onsed´ebarrassedesproduitsetl’onvoitqueaest une combinaisonlin´eairedee 1  . . .  e r sansdntiefficoeca`F(x diviseurs premiers des les) t.q. d´enominateursdescoefficientssetrouventparmilesdiviseurspremiersdespolynˆomesb ij etd ijk .