Dans la définition et l’étude de l’intégrale de Riemann, on a toujours considéré une fonction

Annette Decomps

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Université en Ligne Mathématiques Annette Decomps Université Pierre et Marie Curie Intégrales impropres 1. Définitions et théorèmes généraux 1.1. Généralités 1.2. Exemples 1.3. Définitions 1.4. Critère de Cauchy pour les intégrales impropres 1.5. Convergence absolue 2. Intégrales impropres des fonctions positives 2.1. Critère de convergence 2.2. Théorème de comparaison 2.3. Intégrales de Riemann 3. Intégrales de fonctions de signe quelconque 3.1. Exemples d’intégrales absolument convergentes +∞ sint3.2. Étude d’une intégrale semi-convergente dt ∫0 t4. Méthodes de calcul des intégrales impropres 4.1. Utilisation d’une primitive 4.2. Intégration par parties 4.3. Changement de variable 5. Relation entre la convergence des intégrales et des séries 5.1. Théorème général 5.2. Cas des fonctions positives 5.3. Cas des fonctions positives et décroissantes 6666Université en ligne. Mathématiques. Intégrales impropres Dans la définition et l’étude de l’intégrale de Riemann, on a toujours considéré un intervalle [a,b] fermé et borné et une fonction réelle définie sur l’intervalle [a,b]. Ainsi le symbole bf (t)dt a-t-il un sens pour certaines familles de fonctions (fonctions continues, continues par ∫amorceaux, monotones…) définies sur un intervalle [a,b] fermé et borné. Le but de ce chapitre est d’étendre, dans certains cas, la notion d’intégrale à des fonctions définies sur un intervalle qui n’est pas un intervalle fermé borné, ...

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Université en Ligne Mathématiques Annette Decomps Université Pierre et Marie Curie

    Intégrales impropres

      1. Définitions et théorèmes généraux 1.1. Généralités 1.2. Exemples 1.3. Définitions 1.4. Critère de Cauchy pour les intégrales impropres 1.5. Convergence absolue 2. Intégrales impropres des fonctions positives 2.1. Critère de convergence 2.2. Théorème de   comparaison  2.3. Intégrales de Riemann   3. Intégrales de fonctions de signe quelconque 3.1. Exemples d’intégrales absolument convergentes 3.2. Étude d’une intégrale semi-convergente ∫ 0 +∞ si t n t dt   4. Méthodes de calcul des intégrales impropres 4.1. Utilisation d’une primitive 4.2. Intégration par parties 4.3. Changement de variable 5. Relation entre la convergence des intégrales et des séries 5.1. Théorème général 5.2. Cas des fonctions positives 5.3. Cas des fonctions positives et décroissantes  

Université en ligne. Mathématiques. Intégrales impropres     Dans la définition et létude de lintégrale de Riemann, on a toujours considéré un intervalle [ a , b ]   fermé et borné  et une fonction réelle définie sur lintervalle a , b ] . Ainsi le symbole ∫ b f ( t ) dt a-t-il un sens pour certaines familles de fonctions (fonctions continues, continues par a morceaux, monotones) définies sur un intervalle a , b ] fermé et borné. Le but de ce chapitre est détendre, dans certains cas, la notion dintégrale à des fonctions définies sur un intervalle qui nest pas un intervalle fermé borné, cest-à-dire un intervalle dun des types suivants : - intervalles bornés, ouverts ou semi-ouverts : [ a , b [ , ] a , b ] , ] a , b [ , a ∈ R , b ∈ R , a < b ) , - intervalles non bornés : ] −∞ , b ] , ] −∞ , b [ , [ a , +∞ [ , ] a , +∞ [ , ] −∞ , +∞ [ , ( a ∈ R , b ∈ R ) .   1. Définitions et théorèmes généraux 1.1. Généralités On considère un intervalle I  de R  qui nest ni vide, ni réduit à un point et qui nest pas un intervalle fermé borné. Il est donc dun des types énumérés plus haut. Définition. Soit   f   une fonction réelle   définie sur I. On dit que   f   est   localement intégrable sur I   si f est intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans   I.    Ainsi,

- la fonction x 6 1   est localement intégrable sur  les intervalles  ] −∞ ,0 [ et ] 0, +∞ [ ,       - la fonction logarithme est localement intégrable sur lintervalle ] 0, +∞ [ , - la fonction x 6 1 2  est localement valles 1 − intégrable sur les inter        ] −∞ , − 1 [ , ] − 1,1 [ et ] 1, +∞ [ . Éliminons les faux problèmes : cas dune fonction bornée sur un intervalle borné Considérons, par exemple, la fonction : x 6 sin , définie sur lintervalle ] 0,1 ] . Lintégrale    ∫ 0 1 si t n t dt  existe car la fonction x 6 sin , prolongée en 0 par 1, est une fonction continue     [ 0,1 ] rale ∫ 1 si t n t d  ne ralement, si une sur et lintég 0 t st pas une intégrale impropre. Plus géné fonction, localement intégrable sur un intervalle I borné mais non fermé, cest-à-dire dun des types [ a , b [ , ] a , b ] , ] a , b [ , ( a ∈ R , b ∈ R , a < b ) , est bornée sur I,  on peut la prolonger sur tout

 

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Université en ligne. Mathématiques. Intégrales impropres     lintervalle en lui donnant nimporte quelle valeur aux bornes . Ainsi le symbole ∫ 0 1 sin ⎝ ⎛     t 1 ⎞ ⎠  dt    a-t-il un sens (cf. cours sur lintégrale de Riemann). Donc, dans le cas où lintervalle dintégration est borné et non fermé, on considérera seulement le cas où la fonction est non bornée. Mais il y a de vrais problèmes Dans le cas dintervalles ouverts de la forme : ] a , b [ , ] −∞ , b [ , ] a , +∞ [ , ] −∞ , +∞ [ , il est bien évident que les problèmes aux deux bornes sont indépendants . On fractionnera alors lintervalle dintégration en deux intervalles. Par exemple, dans le cas dun intervalle ] a , b [ , on considérera un point c vérifiant a < c b , les intervalles ] a , c ] et [ c , b [ et les intégrales  ∫ c f ( t ) dt et ∫ c b f ( t ) dt . a Finalement notre étude se limitera à celle de lintégration  soit de fonctions non bornées sur un intervalle borné : a , b [ , ( a ∈ R , b ∈ R , a < b ) , - - soit de fonctions définies sur un intervalle non borné : a , +∞ [ , ( a ∈ R ) .   Tous les autres cas se ramènent à ceux-ci. On commencera toujours par vérifier que la fonction est localement intégrable sur lintervalle dintégration. Dans le cas contraire, il faudra se demander si les difficultés peuvent être résolues par prolongement de la fonction ou fractionnement de lintervalle. Nous énoncerons les théorèmes généraux, pour un intervalle dintégration, que nous désignerons par le symbole [ a , [ , avec ∈ ou = ∞ .   1.2. Exemples a. Intégration d’une fonction définie sur un intervalle non borné Soit f  une fonction numérique définie sur un intervalle [ a , +∞ [ , ( a ∈ ) . On suppose f localement intégrable, ce qui signifie que, pour tout > a , lintégrale  ∫ a x f ( t ) dt  existe, ou encore que la fonction F : x 6 ∫ a x f ( t ) dt  est définie sur lintervalle [ a , +∞ [ .    Quand x tend vers ∞ , trois cas peuvent se présenter :   - la fonction F a une limite finie, - la fonction F tend vers ∞ ou -∞ , - la fonction F na pas de limite, comme on peut le voir sur les exemples suivants.

 

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Université en ligne. Mathématiques. Intégrales impropres   - On considère la fonction 6 e − x  sur lintervalle [ 0, ∞ [ . On a, pour tout > 0 ,    ∫ 0 x e − t dt = 1 − e − x , doù x l → i + m ∞ ∫ 0 x e − t dt = 1. - On considère la fonction 6 ln sur lintervalle [ 1, + ∞ [ . On a pour tout > 1 ,    x ∫ 1 x ln t dt = x ln x − x + 1 = x ( ln x − 1 ) + 1 , doù ∫ 1 ln t dt tend vers +∞ quand x tend vers +∞ . - On considère la fonction cosinus sur lintervalle 0, ∞ . On a, pour tout > 0 , x ∫ 0 cos t dt = sin x , donc ∫ 0 x cos t dt na pas de limite quand x tend vers ∞ . Remarque. Nous avons précisé limite   finie . Par définition, la limite, pour les suites comme pour les fonctions, est un nombre réel . Mais, dans les cas des suites et des fonctions qui tendent vers +∞ ou − , certains parlent de limite infinie , ce qui sinterprète facilement dans le cadre de la droite achevée R (voir note* en fin de chapitre). Dans tout le chapitre quand nous parlerons de limite sans préciser, il sagira de limite finie. b. Intégration d’une fonction non bornée, définie sur un intervalle borné non fermé Soit f  une fonction numérique, définie sur un intervalle [ a , b [ , ( a b ) . On suppose f non bornée au voisinage de b,  et localement intégrable sur [ a , b [ , ce qui signifie que, pour tout > a ,   lintégrale ∫ x f ( t ) dt existe, ou encore que la fonction F : x 6 ∫ a x f ( t ) dt  est définie sur    a lintervalle [ a , b [ , ( a < b ) . Quand x tend vers b , trois cas peuvent se présenter : - la fonction F a une limite finie, - la fonction F tend vers +∞ ou − , - la fonction F na pas de limite, comme on peut le voir sur les exemples suivants. - On considère la fonction x 6 ln(1 − x ) sur [ 0,1 [ . On a, pour tout x ∈ [ 0,1 [ ,   ∫ 0 x ln(1 − t ) dt = ( x − 1) ln(1 − x ) − x , doù m 1 ∫ 0 1 ln(1 − t ) dt = − 1 .   li x → - On considère la fonction x 6 1 2  sur 0,1 [ . On a pour tout x , 0 ≤ < 1 ,   1 −    x ⎤ x ∫ 0 1 − dt t 2 = 1 2 ⎢ ⎣ ⎡     ln ⎛ ⎝     1 1 − + t t ⎞ ⎠     ⎦ ⎥   0 = 2 1 ln ⎝ ⎛     1 1 + − x x ⎞ ⎠     , doù ∫ 0 x 1 − dt t 2  tend vers +∞ quand x tend vers 1. - On considère la fonction x 6 x 1 2 sin ⎛ 1 ⎞ ] 0,1 ] . On a, pour t t x , 0 < ≤ 1 , ⎝ x ⎠  sur ou     

 

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Université en ligne. Mathématiques. Intégrales impropres   1 1 i ⎛ 1 ⎞ ⎡ cos ⎛ 1 ⎞⎤ 1 cos(1) c ⎛ 1 ∫ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ = ⎣ ⎢ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎦ ⎥ x =− ⎝ ⎜ x ⎠ ⎞ ⎟ , doù ∫ x 1 t 1 2 sin ⎛ ⎝     1 t ⎞ ⎠     dt  na pas de limite quand x   x t 2 s n t dt t os tend vers 0.   1.3. Définitions On distinguera le cas où lintervalle I est semi-ouvert et le cas où lintervalle I est ouvert. A. On considère une fonction f  localement intégrable sur un intervalle semi-ouvert a , , avec ∈ ou = ∞ . Définition. On dit que l’intégrale de f sur a , [  est convergente (ou existe) si la fonction F : x 6 ∫ a x f ( t ) dt a une limite finie quand x   tend vers   . On pose alors :    ∫ a x →ω ∫ a x t . f ( t ) dt = lim f ( t ) d On appelle cette limite intégrale impropre (ou généralisée) de f sur [ a , . x Si la fonction F : x 6 ∫ f ( t ) dt n’a pas de limite finie quand x tend vers , on dit que a    l’intégrale de f sur [ a , [ est divergente. + Ainsi, dans les exemples étudiés au paragraphe précédent, les intégrales ∫ ∞ e − t dt  et 0 ∫ 0 1 ln t dt  sont convergentes et valent respectivement 1 et -1 . +∞ Les intégrales ∫ 1 ln t dt , ∫ 0 1 1- dt t 2 , ∫ 0 +∞ cos t dt et ∫ 0 1 t 1 2 sin ⎛ ⎝     1 t ⎞ ⎠     dt sont divergentes. Dans les deux premiers cas, la fonction F : x 6 ∫ x f ( t ) tend vers ∞ , dans les deux derniers, la fonction dt +    a F : x 6 ∫ a x f ( t ) dt na pas de limite quand x tend vers .    Remarques   a. Soit a’ vérifiant a < a ' < . Daprès la relation de Chasles on a : ∫ a x f ( t ) dt = ∫ a a ' f ( t ) dt + ∫ a x ' f ( t ) dt . Ainsi, la fonction x 6 ∫ a x f ( t ) dt  a une limite quand x tend vers , si et seulement si, la    x fonction x 6 ∫ f ( t ) dt  a une limite quand x tend vers .    a ' Comme pour les suites et les séries, la nature (cest-à-dire convergence ou divergence) dune intégrale impropre ne dépend que du comportement de f quand x tend vers .

 

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Université en ligne. Mathématiques. Intégrales impropres   b. Si f est une fonction localement intégrable sur un intervalle [ a , , pour étudier la nature de lintégrale ∫ f ( t ) dt  ou pour calculer sa valeur quand elle est convergente, on utilise a fréquemment une primitive de f . Cest ce quon a fait dans les exemples du paragraphe précédent. En particulier, on peut faire un changement de variable ou une intégration par parties, lorsque les conditions sont réalisées sur tout intervalle [ a , x ]   ( a < x < ) , et faire tendre x vers (voir au paragraphe 4). B. On considère une fonction f  localement intégrable sur un intervalle ouvert ] 1 , 2  avec 1 ∈ ou 1 = -∞ , et 2 ∈ ou 2 = + ∞ . Définition. Soit c un point quelconque de l’intervalle   ] 1 , 2 [ . On dit que   l’intégrale de f sur c égrales f ( t ) dt et f ( ] 1 , 2 [   est convergente si chacune des int ∫ ω 1 ∫ c 2 t ) dt est convergente. On pose alors : ∫ ω 1 2 f ( t ) dt = ∫ c ω 1 f ( t ) dt + ∫ c 2 f ( t ) dt . Cette définition ne dépend pas du choix du point c  car, si d  est un autre point de ] 1 , 2 [ , lintégrale   ∫ c d f ( t ) dt est une constante, et la relation de Chasles montre également que la valeur de lintégrale est indépendante du choix de c . Remarque nvergence des deux intégrales e 2 dt . On doit insister sur la nécessité de la co ∫ c ω 1 f ( t ) dt t ∫ c f ( t ) En effet, pour une fonction impaire, par exemple localement intégrable sur ] −∞ , +∞ [ , on a pour tout x réel ∫ − x x f ( t ) dt = 0 . Or les deux intégrales ne sont pas nécessairement x ∫ − + ∞ ∞ t dt , on a : ∫ − x t dt = 1 2 ( x 2 − x 2 ) = 0 et les convergentes. Cest le cas pour lintégrale x intégrales ∫ − 0 x t dt et ∫ 0 t dt sont divergentes. Donc lintégrale ∫ − + ∞ ∞ t dt est divergente. En revanche, lintégrale de la fonction impaire x 6  sur ] −∞ , +∞ [ est convergente. ( x 2 + 1 ) 3 2    x En effet ∫ 0 x ( t 2 + t 1 ) 3 2 dt = ⎣ ⎢ ⎡ ⎢       − ( t 2 + 1 1 ) 1 2 ⎥ ⎦ ⎥ ⎤       0 = 1 − 1 1 + x 2 , doù x li → m +∞ ∫ 0 x ( t 2 + t 1 ) 3 2 dt = 1. Les deux intégrale d s ∫ 0 +∞ ( t 2 + t 1 ) 3 2 t  et ∫ − 0 ∞ ( t 2 + t 1 ) 3 2 dt  sont convergentes et valent respectivement 1 et 1.

 

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Université en ligne. Mathématiques. Intégrales impropres   −∞ Lintégrale ∫ −∞ ( t 2 + t 1 ) 3 2 dt  est donc convergente et vaut bien entendu 0.   1.4 . Critère de Cauchy   pour les intégrales impropres   On considère une fonction f,  localement intégrable sur un intervalle [ a , [ , avec ∈  ou = ∞ . Nous avons vu que le problème de la convergence de lintégrale ∫ a f ( t ) dt    revient x au problème de lexistence de la limite de la fonction F définie par F ( x ) = ∫ f ( t ) dt quand x   a tend vers . On se ramène à un problème de limite de suites, en utilisant le théorème qui lie lexistence de la limite dune fonction en un point   à la convergence de toutes  les suites images des suites convergentes de limite . Cette convergence est montrée par le critère de Cauchy, doù le nom de critère de Cauchy relatif aux intégrales impropres, par lequel on désigne le théorème suivant. Théorème. Soit f   une fonction localement intégrable sur un intervalle   [ a , [ , avec ∈ ou = ∞ . Pour que l’intégrale ∫ a f ( t ) dt soit convergente, il faut et il suffit que, pour toute suite ( x n )  de limite , la suite ( F ( x n )  définie par F ( x n ) = ∫ a x n f ( t ) dt soit convergente. On a alors : ∫ a f ( t ) dt = n li →+ m ∞ F ( x n ) . On en déduit le critère de Cauchy pour les intégrales impropres. Théorème. Soit f   une fonction réelle, localement intégrable sur un intervalle [ a , [ , avec ∈   ou = ∞ . Pour que l’intégrale ∫ a f ( t ) dt soit convergente, il faut et il suffit que, pour tout > 0 , il existe X ( ε )  tel que, quels que soient les réels X 1  et X 2  vérifiant les inégalités X ( ) < X 1 < X 2 < , on ait ∫ X X 1 2 f ( t ) dt < ε . Soit encore en langage formalisé : ∀ε> 0, ∃ X ( ε ), ∀ X 1 ∈ [ a , ω [ , ∀ X 2 ∈ [ a , ω [ , X ( ε ) < X 1 < X 2 < ω⇒ ∫ X X 1 2 f ( t ) dt < ε . Preuve Idée de la démonstration : cest pour la démonstration de la condition suffisante, quon utilise le théorème précédent. Il sagit dun critère de Cauchy, cest-à-dire un critère qui utilise la

 

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Université en ligne. Mathématiques. Intégrales impropres   convergence des suites de Cauchy, donc la propriété de R dêtre complet. Pour la condition nécessaire, il sagit dune application directe de la définition de la limite. Condition nécessaire On suppose l intégrale ∫ a f ( t ) dt convergente. Cela signifie que la fonction F définie par F ( x ) = ∫ a x f ( t ) dt  a une limite que nous noterons L , quand x  tend vers . Donc, pour tou t > 0 , il existe X ( ε )   tel que les inégalités X ( ) < x <  entraînent F ( x ) − L < . On a donc : ∀ε> 0, ∃ X ( ε ) ∈ [ a , ω [ , ∀ X 1 , ∀ X 2 , X ( ε ) < X 1 < X 2 <ω⇒ F ( X 1 ) − L < ε et F ( X 2 ) − L < ε . On déduit : F ( X 2 ) − F ( X 1 ) < 2 ε  et donc ∫ X X 1 2 f ( t ) dt < 2 ε . Condition suffisante On suppose la condition réalisée. On considère une suite x n )   de points de [ a , [ , telle que lim n = . Pour tout > 0 , il existe N ( ε )   tel que, pour n > ( ) , on ait n > X ( ). Les n → +∞ inégalités p > m > N ( )  entraînent alors : x F ( x p ) − F ( x n ) = ∫ x n p f ( t ) dt < ε . La suite ( F ( x n ) )  est une suite de Cauchy, elle est donc convergente dans R . Daprès le théorème précédent, lintégrale ∫ a f ( t ) dt est convergente.   1.5. Convergence absolue Définition. Soit f   une fonction réelle, localement intégrable sur un intervalle [ a , [ , avec ∈ ou = ∞ . On dit que l’intégrale ∫ f ( t ) dt est absolument convergente si l’intégrale a ∫ a f ( t ) dt est convergente. Théorème. Une intégrale absolument convergente est convergente. Preuve On utilise deux fois la condition de Cauchy, une première sous forme de condition nécessaire, une deuxième sous forme de condition suffisante. Soit ε  un réel strictement positif. Lintégrale ∫ a f ( t ) dt étant convergente, elle satisfait à la condition de Cauchy :

 

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Université en ligne. Mathématiques. Intégrales impropres     ∃ X ( ε ), ∀ X 1 , ∀ X 2, , X ( ε ) < X 1 < X 2 < ω⇒ ∫ X X 1 2 f ( t ) dt < ε . ) dt < ε . On a donc : ∫ X X 1 2 f ( t ) dt ≤ ∫ X 2 f ( t X 1 Lintégrale ∫ f ( t ) dt satisfait au critère de Cauchy, elle est convergente. a Limportance de ce dernier théorème est très grande. Il existe des intégrales qui sont convergentes sans être absolument convergentes, mais les outils permettant de les étudier sont rares et très ciblés : la règle dAbel est dun emploi très limité. Aussi, pour étudier la nature dune intégrale impropre ∫ a f ( t ) dt , on commencera toujours par étudier lintégrale ∫ a f ( t ) dt , doù limportance de lintégrale des fonctions positives.   2.   Intégrales impropres des fonctions positives On considère dans ce paragraphe des fonctions localement intégrables sur un intervalle [ a , [ , avec ∈  ou = ∞ , à valeurs dans R + . Soit f  une telle fonction ; la fonction x F : x 6 ∫ f ( t ) dt  est croissante sur [ a , [  et quand x  tend vers , deux cas seulement sont a    possibles, ou la fonction F a une limite finie ou elle tend vers ∞ . 2.1. Critère de convergence Théorème. (Condition nécessaire et suffisante de convergence) . Soit f une fonction localement intégrable sur un intervalle [ a , [ ,   avec   ∈   ou  = ∞ ,   et vérifiant   ≥ 0 sur cet intervalle. L’intégrale ∫ a f ( t ) dt est convergente si, et seulement si, il existe un réel M tel que l’on ait : ∀ x ∈ [ a , ω [ , 0 ≤ ∫ a x f ( t ) dt ≤ M . Preuve Daprès le théorème de la limite monotone, la fonction F  étant croissante, elle a une limite finie quand x  tend vers , si et seulement si, elle est majorée   au voisinage de . Sinon la fonction F tend ver s +∞   et lintégrale est divergente .   Convention d’écriture.  Dans le cas des fonctions positives et dans ce cas seulement , on écrit, - dans le cas où la fonction F est majorée et donc lintégrale convergente ∫ a f ( t ) dt < +∞ ,

 

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Université en ligne. Mathématiques. Intégrales impropres   - dans le cas où la fonction F nest pas majorée, elle tend vers + ∞  et donc lintégrale est divergente ∫ f ( t ) dt = +∞ . a Il convient de ne pas abuser de ces notations qui sont purement symboliques.   2.2. Théorèmes de comparaison Ces théorèmes jouent un rôle fondamental dans létude des intégrales impropres. Premier théorème de comparaison. Soient f et g deux fonctions localement intégrables sur un intervalle [ a , [ ,   avec   ∈   ou  = ∞ ,   et vérifiant sur cet intervalle 0 ≤ ≤ ; - si l’intégrale ∫ a g ( t ) dt est convergente, l’intégrale ∫ a f ( t ) dt est convergente, - si l’intégrale ∫ a f ( t ) dt est divergente, l’intégrale ∫ a g ( t ) dt est divergente. Preuve Elle repose sur lutilisation des inégalités entre intégrales et les théorèmes de comparaison sur les limites. ∫ x ∫ a x ( t ) dt On pose : ∀ x ≥ a , F ( x ) = f ( t ) dt  et G ( x ) = g .   a x x Pour tout ≥ a, on a f ( t ) dt ≤ g ( t ) dt . ∫ a ∫ a  soit F ( x ) ≤ G ( x ) Les fonctions F et G sont croissantes. On en déduit : - si la fonction G a une limite quand x tend vers , elle est majorée, la fonction F est alors majorée et a donc une limite. - si la fonction F tend vers ∞ quand x tend vers , elle nest pas majorée, donc la fonction G nest pas majorée et tend vers ∞ quand x tend vers . Remarque La nature dune intégrale impropre ne dépendant que du comportement de la fonction quand x   tend vers , il suffit dans la pratique de supposer les inégalités vérifiées au voisinage de   .   Exemples a. Étude de lintégrale ∫ 0 1 sin t ln t dt   Pour tout x vérifiant   0 < ≤ 1, la fonction  6 sin ln garde un signe constant négatif. On a alors : 0 < − sin ln ≤ − ln . Or lintégrale ∫ 0 1 − ln t dt  est convergente, donc lintégrale ∫ 0 1 sin t ln t dt est convergente.

 

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