Electronique B8 - Notes de cours
Description
Electronique B8 Gérard Hincelin 71Guide rectangulaire Chapitre 7 ................................................................................................................................72 GUIDES MICRO-ONDES : GUIDE RECTANGULAIRE................................................... 72 I. PROPRIETES GENERALES .................................................................................................... 72 II. LES MODES DU GUIDE RECTANGULAIRE ..................................................................... 73 II.1 – Etude des modes TE ............................................................................................................ 73 II.2 – Cas des modesTM................................................................................................................ 76 II.3 – Relation de dispersion.......................................................................................................... 76 III. LE MODE DOMINANT TE ................................................................................................. 77 10III.1 - Expressions et répartition des champs ................................................................................ 77 III.2 - Courant de déplacement...................................................................................................... ...
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Electronique B8
Gérard Hincelin
Guide rectangulaire
71
Chapitre 7 ................................................................................................................................ 72
GUIDES MICRO-ONDES : GUIDE RECTANGULAIRE................................................... 72
I. PROPRIETES GENERALES .................................................................................................... 72
II. LES MODES DU GUIDE RECTANGULAIRE ..................................................................... 73
II.1 – Etude des modes TE ............................................................................................................ 73
II.2 – Cas des modesTM................................................................................................................ 76
II.3 – Relation de dispersion.......................................................................................................... 76
III. LE MODE DOMINANT TE
10
................................................................................................. 77
III.1 - Expressions et répartition des champs ................................................................................ 77
III.2 - Courant de déplacement...................................................................................................... 78
III.3 - Courant de conduction ........................................................................................................ 79
III.4 - Autres propriétés................................................................................................................. 79
Exercices........................................................................................................................................... 81
Electronique B8
Gérard Hincelin
Guide rectangulaire
72
Chapitre 7
GUIDES MICRO-ONDES : GUIDE RECTANGULAIRE
x
z
y
a
I. PROPRIETES GENERALES
Etudions une structure plus réaliste, représentée sur la
figure ci-contre, qui a été développée à partir des années
1930 pour les applications radar et les systèmes de
communication.
0
b
Cette structure présente certains avantages, parmi lesquels:
•
La possibilité de transporter de fortes puissances micro-ondes (propagation dans
l’air), ce qui est particulièrement important pour les radars de puissance.
•
L’absence de rayonnement due à sa structure complètement close.
•
Les modes principaux ont une polarisation rectiligne et sont donc faciles à exciter et à
détecter.
Par contre, le mode TEM qui est intéressant, car il présente une fréquence de coupure nulle,
ne peut se propager (comme dans le guide plan). Par conséquent les dimensions du guide
devront être en relation avec la longueur d’onde utilisée (nous verrons que ce n’est pas le
cas pour le câble coaxial et la ligne à ruban, dont les dimensions peuvent être beaucoup plus
petites que la longueur d’onde).
Modes dominants :
Les modes dominants dans le guide rectangulaire ont une structure
proche de celle des modes TE observés dans le guide plan, comme on peut le voir sur les
figures suivantes. La figure de gauche montre l’orientation du champ électrique E
y
des
modes TE
n
dans un guide plan (il n’y a aucune variation du champ dans la direction Oy).
y
x
y
E
y
E
y = b
y = 0
x = a
x = 0
Modes TE pour un guide plan et un guide rectangulaire
Sur la figure de droite on a rajouté deux parois conductrices verticales en y = 0 et y = b, de
façon à réaliser un guide rectangulaire. Ces parois étant normales au champ électrique, elles
ne perturbent pas la propagation des modes TE. De plus, pour ces modes particuliers, la
distance b entre les parois n’est pas critique.
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Gérard Hincelin
Guide rectangulaire
73
Désignation des modes :
Cette première approche ne tient pas compte des réflexions sur
les parois verticales, lesquelles vont à leur tour créer des modes dans la direction Oy.
Comme dans un guide plan, nous trouverons deux types de modes.
•
Modes TM (Transverse Magnétique) :
pour ces modes H
z
= 0, le champ
magnétique ne possède que des composantes transverses à la direction de
propagation (H
x
et H
y
).
•
Modes TE (Transverse Electrique) :
pour ces modes E
z
= 0. Il n’existe que des
composantes E
x
et E
y
.
Les composantes des champs dépendant à la fois de x et de y, les modes sont désignés par
TM
nm
ou TE
nm
, où n et m sont des entiers qui se rapportent aux variations des champs dans
les direction x et y respectivement.
Pour chaque valeur de n, correspondant à un angle particulier
θ
n
dans le plan vertical (plan
xOz) on peut trouver m modes correspondant à
θ
m
angles dans le plan horizontal
II. LES MODES DU GUIDE RECTANGULAIRE
II.1 – Etude des modes TE
•
Les champs sont fonction de x et de y :
0
0
et
x
y
∂
∂
≠
≠
∂
∂
.
•
E
z
= 0 pour ces modes.
Les étapes du calcul sont les suivantes :
1. Nous cherchons une solution de l’équation d’onde pour la composante H
z
.
2. A partir des deux premières équations de Maxwell, nous exprimons les composantes
transverses H
x
, H
y
, E
x
, E
y
en fonction de la composante axiale H
z
.
3. On écrit que les composantes E
x
et E
y
satisfont aux conditions aux limites sur les
parois métalliques.
Equation d’onde :
L’équation d’onde pour la composante H
z
s’écrit :
2
2
2
2
2
2
2
z
z
z
z
H
H
H
H
x
y
z
ω εµ
∂
∂
∂
+
+
=
−
∂
∂
∂
(7.1)
En désignant comme d’habitude par
β
, la constante de propagation longitudinale, les
différents champs varient selon
exp(
)
j z
β
−
en fonction de z.
2
2
2
2
0
2
2
(
)
z
z
z
H
H
H
x
y
ω
ε
µ
β
∂
∂
+
+
−
=
∂
∂
0
2
(7.2)
Posons, comme précédemment :
2
2
0
0
r
κ
ω
ε
ε
µ
β
=
−
(7.3)
On reconnaît dans le membre de droite le module du vecteur d’onde, soit :
(
2
2
2
0
0
r
r
k
ω
ε
ε
µ
ε
ω
=
=
)
c
(7.4)
On voit donc que la relation (7.3) relie entre eux les modules des composantes du vecteur
d’onde suivant l’axe Oz (composante longitudinale
β
) et dans le plan transverse xOy (soit
κ
),
de la manière indiquée sur le schéma suivant :
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Guide rectangulaire
74
X
Méthode de séparation des variables : Pour résoudre
l’équation (7.2), on suppose que dans une géométrie
rectangulaire les variations du champ H
z
dans les deux
directions transversales sont indépendantes l’une de
l’autre, ce qui permet de séparer les variables x et y en
posant :
O
y
z
r
k
c
ω
ε
=
β
κ
y
κ
x
κ
(7.5)
(
,
)
(
)
(
)
z
x
H
x
y
f
x
f
y
=
y
2
y
f
x
ne dépend que de x et
f
y
ne dépend que de y.
De même il est possible de projeter la composante
transversale
κ
sur les directions x et y, de sorte que :
2
2
x
κ
κ
κ
=
+
(7.6)
La relation (7.2) prend alors la forme suivante :
2
2
2
2
2
1
1
0
y
x
x
x
y
f
f
f
x
f
y
κ
⎛
⎞
∂
⎛
⎞
∂
2
y
κ
+
+
+
⎜
⎜
⎟
⎜
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
=
⎟
⎟
x
y
(7.7)
Les fonctions entre parenthèses étant indépendantes, elles doivent être vérifiées
séparément, ce qui conduit à la solution générale suivante :
1
2
1
2
cos(
)
sin(
)
cos(
)
sin(
)
x
x
y
y
f
A
x
A
x
f
B
y
B
y
κ
κ
κ
=
+
=
+
κ
(7.8)
Les constantes A
1
, A
2
, B
1
et B
2
seront déterminées par les conditions aux limites, à la
troisième étape.
Deuxième étape
: Développons les deux premières équations de Maxwell afin d’obtenir les
relations entre les composantes des champs.
Première équation :
0
E
j
H
ωµ
∇×
= −
r
r
r
0
0
y
z
z
x
y
E
E
E
j
H
j
E
j
H
y
z
y
ωµ
β
ωµ
∂
∂
∂
−
=
−
⇒
+
=
−
∂
∂
∂
x
(7.9)
0
0
x
z
y
x
E
E
E
z
y
j
H
j
E
j
z
x
x
ωµ
β
ωµ
H
∂
∂
∂
−
=
−
⇒
−
−
=
−
∂
∂
∂
(7.10)
0
0
y
y
x
z
z
E
E
E
E
j
H
j
H
x
y
x
y
ωµ
ωµ
x
∂
∂
∂
∂
−
=
−
⇒
−
−
=
∂
∂
∂
∂
(7.11)
Deuxième équation (
0
r
ε
ε
ε
=
) :
H
j
E
ωε
∇×
=
r
r
r
y
z
z
x
y
H
H
H
j
E
j
H
j
E
y
z
y
x
ω
ε
β
∂
∂
∂
−
=
⇒
+
=
∂
∂
∂
ω
ε
(7.12)
x
z
y
x
H
H
z
y
H
j
E
j
H
j
z
x
x
E
ω
ε
β
ω
ε
∂
∂
∂
−
=
⇒
−
−
=
∂
∂
∂
(7.13)
y
y
x
z
H
H
H
H
j
E
j
E
x
y
x
y
x
z
ω
ε
ω
ε
∂
∂
∂
∂
−
=
⇒
−
=
∂
∂
∂
∂
(7.14)
Electronique B8
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Guide rectangulaire
75
Ce système d’équations se simplifie car E
z
= 0 dans le cas des modes TE. On obtient
facilement les expressions suivantes pour les champs transverses :
2
z
x
y
2
z
j
H
j
E
E
y
x
H
ω
µ
ω
κ
κ
µ
∂
∂
=
−
=
∂
∂
(7.15)
2
2
z
z
x
y
j
H
j
H
H
H
x
y
β
β
κ
κ
∂
∂
=
−
=
−
∂
∂
(7.16)
Conditions aux limites :
La composante tangentielle du champ électrique doit être nulle sur
les parois. En se reportant à la figure précédente, cela signifie que :
(
7
.
1
7
)
0
0
0
0
x
y
E
e
n
y
e
t
y
E
e
n
x
e
t
x
=
=
=
=
b
a
=
=
Composante E
x
:
(
,
)
y
z
z
x
y
x
f
H
H
x
y
f
f
f
y
y
∂
∂
=
⇒
=
∂
∂
(
7
.
1
8
)
1
2
2
2
sin(
)
cos(
)
z
x
x
y
y
y
j
H
j
E
f
B
y
B
y
y
y
ω
µ
ω
µ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
∂
⎡
⎤
=
−
=
−
−
+
⎣
⎦
∂
(7.19)
Les deux premières conditions (7.17) impliquent :
2
0
;
0,1,2,...
y
B
b
m
m
κ
π
=
=
=
(
7
.
2
0
)
Composante E
y
:
[
]
1
2
2
2
sin(
)
cos(
)
z
y
y
x
x
x
j
H
j
E
f
A
x
A
x
x
x
ω
µ
ω
µ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
∂
=
=
−
+
∂
(7.21)
soit :
2
0
;
0,1,2,...
x
A
a
n
n
κ
π
=
=
=
(
7
.
2
2
)
En reportant les expressions de
f
x
et
f
y
dans l’équation (7.5), on met H
z
sous la forme :
[
( , )
cos(
)cos(
)exp
(
)
z
n
m
n
m
H
t
r
A
x
y
j
t
z
a
b
]
π
π
ω
β
=
−
r
(7.23)
Avec A
nm
= A
1
B
1
.
•
Le mode TE
oo
n’existe pas, car pour
n = m =
0, la relation (7.23) montre que H
z
est
constant et donc que les champs transverses sont nuls.
Les expressions complètes des composantes transverses des champs sont obtenues en
reportant l’expression (7.23) de H
z
dans les relations (7.15) et (7.16). On vérifiera, à titre
d’exercice, les expressions suivantes :
0
2
( , )
cos(
)sin(
)
y
x
n
m
x
E
x
y
j
A
x
y
y
κ
ωµ
κ
κ
κ
=
(7.24)
0
2
(
,
)
s
i
n
(
)
c
o
s
(
)
x
y
n
m
x
E
x
y
j
A
x
y
y
κ
ωµ
κ
κ
κ
=
−
(7.25)
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Guide rectangulaire
76
2
(
,
)
s
i
n
(
)
c
o
s
(
)
x
x
n
m
x
H
x
y
j
A
x
y
y
κ
β
κ
κ
=
κ
(7.26)
2
( , )
cos(
)sin(
)
y
y
n
m
x
H
x
y
j
A
x
y
y
κ
β
κ
κ
=
κ
(7.27)
Ces relations permettent de se faire une représentation schématique des lignes de champ
électrique pour les premiers modes TE (voir ci-après).
II.2 – Cas des modesTM
Le champ magnétique est purement transverse (H
z
= 0). En suivant exactement la même
démarche, on trouve l’expression de E
z
qui s’annule en x = y = O ; x = a et y = b :
[
sin(
)sin(
)exp
(
)
z
n
m
n
m
E
B
x
y
j
t
z
a
b
]
π
π
ω
β
=
−
(7.28)
La relation de dispersion et les fréquences de coupures sont données par les mêmes
relations que précédemment.
La relation (7.28) montre qu’il ne peut y avoir de mode avec n = 0 ou m = 0. Par conséquent
le mode ayant la plus basse fréquence de coupure est le mode TM
11
, qui a la même
fréquence de coupure que le TE
11
.
II.3 – Relation de dispersion
Nous avons posé
2
2
2
2
(
)
(
)
x
y
n
m
a
b
2
π
π
κ
κ
κ
=
+
=
+
(7.29)
Nous avions trouvé dans le cas du guide plan :
2
(
)
n
a
2
π
κ
=
. Pour le guide rectangulaire la
solution comporte un terme supplémentaire correspondant à la dimension b. L’équation de
dispersion s’écrit :
2
2
2
0
0
(
)
(
)
r
n
m
a
b
2
π
π
ω
ε
ε
µ
β
−
=
+
(
7
.
3
0
)
La pulsation de coupure
ω
c
, correspond à
β
= 0, soit :
2
(
)
(
)
c
r
n
m
c
a
ω
2
b
π
π
ε
=
+
(
7
.
3
1
)
Cherchons les fréquences de coupure des premiers modes d’un guide standard (désignation
WR90) et traçons le diagramme de dispersion
β
= f (
ω
). Les dimensions sont
a
= 22,9 mm
(0,9 pouces) et
b
= 10,2 mm (0,4 pouces). On a posé par convention
a > b
. Le mode qui a la
plus basse fréquence de coupure est le mode TE
10
(n = 1, m = 0).
La relation (7.31) donne pour les cinq premiers modes, par ordre de fréquence croissante les
valeurs indiquées dans le tableau suivant :
Mode Fréquence de coupure (GHz)
TE
10
6,56
TE
20
13,10
TE
01
14,76
TE
11
16,16
TM
11
16,16
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Gérard Hincelin
Guide rectangulaire
77
Exprimons la relation de dispersion (7.30) en fonction de
ω
(avec
ε
r
= 1 dans l’air):
(
)
2
2
2
2
:
1
c
c
soit
c
c
c
ω
ω
ω
β
β
ω
⎛
⎞
⎛
⎞
=
−
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
ω
(7.32)
ω
c
est la pulsation de coupure du mode m,n, donnée par la relation (7.31). Cette expression
est identique à la relation (6.28) obtenue dans le cas du guide d’onde plan. Le diagramme de
dispersion
β
= f(
ω
) est représenté ci-dessous :
•
Le mode TEM, qui présente une fréquence de coupure nulle à disparu.
•
Aux fréquences comprises entre 14,76 GHZ et 16,16 GHz par exemple, les trois
modes TE
10
, TE
20
et TE
01
peuvent se propager simultanément.
•
Par contre, en utilisant la bande de fréquences comprise entre 6,56 GHz et 13,10
GHz, seul le mode TE
10
peut se propager : le guide est « monomode ». C’est
l’utilisation habituelle d’un guide d’onde, ce qui évite les instabilités par transferts
d’énergie d’un mode dans l’autre (couplage de modes).
0
4
0
100
200
300
400
TM
11
TE
11
TE
01
TE
20
TE
10
β
(m
-1
)
8
12
16
20
Fréquence (GHz)
III. LE MODE DOMINANT TE
10
III.1 - Expressions et répartition des champs
Les composantes des champs du mode TE
10
dans l’air (
ε
r
= 1), sont données par les
expressions (7.24) à (7.27) pour n = 1 et m = 0. En exprimant tous les champs par rapport à
l’amplitude E
o
de la composante E
y
, et en revenant aux expressions physiques, on trouve :
0
sin(
)cos(
)
y
x
E
E
t
z
a
π
ω
β
=
−
(
7
.
3
3
)
0
0
sin(
)cos(
)
x
x
H
E
t
a
z
β
π
ω
β
ωµ
=
−
−
(
7
.
3
4
)
0
0
cos(
)sin(
)
z
x
H
E
t
a
a
z
π
π
ω
β
ωµ
=
−
−
(7.35)
0
z
y
x
E
H
E
=
=
=
(
7
.
3
6
)
•
Noter le déphasage de
π
/2 de la composante H
z
par rapport aux autres champs.
•
On retrouve les mêmes expressions que pour le mode TE
1
du guide plan (relations
(6.37) à (6.39)).
Electronique B8
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Guide rectangulaire
78
La figure suivante indique l’allure des variations des composantes des champs au temps t = 0.
0
a/2
H
z
H
x
axe
a
x
b
a
0
E
y
y
x
z
λ
G
/4
z
•
La figure de gauche montre la variation sinusoïdale du champ électrique en fonction
de x, donné par la relation (7.33) : celui-ci est nul sur les parois verticales en x = 0 et
x = a (du fait des conditions aux limites), maximum au centre du guide et
perpendiculaire aux parois horizontales. E
y
est par ailleurs indépendant de y.
•
La figure de droite montre les variations du champ magnétique dans un plan y
quelconque (ses composantes ne dépendent pas de y) : On retrouve les boucles
caractéristiques du champ magnétique.
•
λ
G
= 2
π
/
β
est la longueur d’onde de guide.
III.2 - Courant de déplacement
La figure suivante montre la répartition du champ E
y
dans le guide, toujours au temps t = 0.
La propagation de ce champ vers les z croissants (terme
cos(
ω
t –
β
z)
), induit un courant de
déplacement proportionnel au taux de variation du champ électrique (
0
d
J
d
E
ε
=
d
t
r
r
). Ce
courant de déplacement J
d
, orienté suivant Oy, circule dans le vide entre le « plancher » et le
« plafond » (flèches en pointillés).
•
En z = 0 et z =
λ
G
/2, le champ E
y
passe par un extremum, sa dérivée est nulle, ainsi
que J
d
.
•
En z =
λ
G
/4, dE
y
/dt > 0 : le courant est positif de valeur maximum J
dmax
.
•
En z = 3/4
λ
G
, dE
y
/dt < 0 : le courant est négatif, de valeur J
dmin
).
z = 3/4
λ
G
(J
dmin
)
E
y
z = 0 (J
d
= 0)
J
d
z =
λ
G
/2
z =
λ
G
/4 (J
dmax
)
z =
λ
G
z
y
x
Champ électrique et courant de déplacement
Electronique B8
Gérard Hincelin
Guide rectangulaire
79
z = 0
z =
λ
G
/4
z =
λ
G
/2
z = 3/4
λ
G
z =
λ
G
Champ magnétique et courant de conduction
Les lignes de champ magnétique tournent autour des lignes de courant de déplacement J
d
,
dans le sens direct donné par la « règle du tire-bouchon ». Elles forment des boucles
fermées (en pointillés), centrées en x = a/2 et z =
λ
G
/4, z = 3/4
λ
G
, … etc (au temps t = 0).
III.3 - Courant de conduction
Un courant superficiel I
s
, induit par la composante tangentielle du champ magnétique en
surface H
s
, s’écoule sur la face interne des parois du guide. Le sens et la valeur de I
s
se
déduisent de la relation établie précédemment :
s
s
I
n
H
=
×
r
r
r
(7.37)
où
n
est la normale sortant de la surface.
r
Les figures ci-dessus montrent que les lignes de courant s’écoulent le long d’un circuit
continu : En z =
λ
G
/4 par exemple, le courant de déplacement J
d
circule dans le vide depuis
le « plancher » du guide, jusqu’au « plafond » , puis c’est ensuite un courant de conduction
J
c
qui s’écoule latéralement sur le « plafond », redescend le long des parois verticales et
revient au centre du « plancher ».
On vérifie sur la figure, qu’en tout point des parois horizontales ou verticales, le sens du
courant est bien conforme à la relation
(7.37)
. En particulier, sur les parois verticales, le
courant est perpendiculaire à H
z
, la seule composante tangentielle présente .
Par ailleurs, aucun courant ne traverse la ligne centrale des faces larges (plancher et
plafond). Il est possible de découper une fente fine le long de cette ligne sans perturber le
courant, ni la propagation du mode TE
10
. En
introduisant une sonde dans le guide à travers
cette ouverture, il est donc possible d’effectuer des mesures de champ.
A l’inverse, une fente découpée sur les faces latérales coupe les lignes de courant et
perturbe la propagation du mode : le mode va rayonner à travers la fente. Si la fente est de
longueur suffisante, le mode peut même cesser de se propager.
III.4 - Autres propriétés
Les champs ayant les mêmes expressions que pour le mode TE
1
du guide plan, les
caractéristiques suivantes sont identiques à celles établies au paragraphe précédent :
•
Impédance d’onde :
Elle est définie comme le rapport des amplitudes des champs
transverses E
y
et H
x
, soit d’après (7.33) et (7.34) pour le mode TE
10
:
•
(
)
0
2
10
1
TE
c
Z
ωµ
η
β
ω
ω
=
=
−
(
7
.
3
8
)
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