Étude des relations entre le comportement et la fabrication des synchronisateurs des boîtes de vitesse
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ANNEXE 3: CALCUL DE LA PERIODE DE FROTTEMENT VISQUEUX Annexe 3: Calcul de la période du frottement visqueux Au début de la période visqueuse, la distance entre les surfaces coniques est h . On la 1suppose égale à 1 mm. Le temps nécessaire pour arriver à la distance h : 12⋅(h0−h1)t1= . aCLa vitesse axiale au début de la période: v =a ·t . 0 C 1La vitesse de la roue au début de la période est ω , celle du baladeur et de la bague est R0ω = ω . C BLa distance à la fin de la période: 2 2hmin=Λ⋅ R +R a1 a2où R est la rugosité des surfaces a,i Λ≈ 5 est une constante issue de la théorie de lubrification Fig. A3-1 Modèle des surfaces coniques [11] Considérons l’équation de Reynolds pour l’écoulement entre les surfaces coniques: 3 3⎛ ρ⋅h ⎞ ⎛ ρ⋅h ⎞∂p ∂p∂ ∂⎜ ⋅ ⎟+ ⎜ ⋅ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂x µ ∂x ∂z µ ∂z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂p∂h ∂h ∂ ∂ =6⋅ρ⋅()u1−u2 +6⋅ρ⋅()w1−w2 +6⋅h⋅()ρ⋅u1+u2 +6⋅h⋅()ρ⋅w1+w2 +12⋅ρ⋅(v2−v1)+12⋅h⋅∂x ∂z ∂x ∂z ∂t 246Les vitesses: y ∂p1u=u1+()u2−u1 + ()y−h yh 2µ ∂x y ∂p1w=w1+()w2−w1 + ()y−h yh 2µ ∂zDe cela, le cisaillement: µ ∂p∂u h)τ xy=ν =()u2−u1 + (y−∂y h ∂x 2 µ ∂p∂w hτ zy=µ =()w2−w1 + (y− )∂y h ∂z 2Pour l’application des équations à la géométrie du synchronisateur, on propose les simplifications suivantes: • La roue et la bague restent concentriques, • La vitesse axiale de la bague est v , celle de la roue est nulle, 0• L’épaisseur du film d’huile est h(t)=H(t)·sin α, où H est le déplacement axial, • En supposant les surfaces ...

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ANNEXE 3: CALCUL DE LA PERIODE DE FROTTEMENT VISQUEUX
Annexe 3: Calcul de la période du frottement visqueux
Au début de la période visqueuse, la distance entre les surfaces coniques esth1.On la suppose égale à1 mm. Le temps nécessaire pour arriver à la distanceh1:
2(h0h1) t1=. aC
La vitesse axiale au début de la période: v0=aC·t1. La vitesse de la roue au début de la période estωR0, celle du baladeur et de la bague est ωC=ωB. La distance à la fin de la période:
2 2 h=Λ⋅R+Rmin a1a2
Ra,iest la rugosité des surfaces Λ≈5est une constante issue de la théorie de lubrification
Fig. A31 Modèle des surfaces coniques [11]Considérons l’équation de Reynolds pour l’écoulement entre les surfaces coniques: 3 3 ρhρh ⎛ ∂p⎞ ⎛ p∂ ∂ += xµxzµz ⎝ ⎠ ⎝ ⎠p hh∂ ∂ =6ρ(u1u2)+6ρ(w1w2)+6h(ρ(u1+u2))+6h(ρ(w1+w2))+12ρ(v2v1)+12h∂ ∂z∂ ∂zt
246
Les vitesses:
De cela, le cisaillement:
yp 1 u=u1+(u2u1)+(yh)y h2µx yp 1 w=w1+(w2w1)+(yh)y h2µz
µp u h τxy=ν=(u2u1)+y) y hx2 µp w h τzy=µ=(w2w1)+(y) y hz2
Pour l’application des équations à la géométrie du synchronisateur, on propose les simplifications suivantes: La roue et la bague restent concentriques, La vitesse axiale de la bague estv0, celle de la roue est nulle, L’épaisseur du film d’huile esth(t)=H(t)·sinα, oùHest le déplacement axial, En supposant les surfaces coniques parallèles, on a:
En supposantρ=cte, on a:
hh = =0 xz
ρρρ = = =0xzt Les cônes sont axialement symétriques, la pression varie uniquement au long de la génératrice: pp dp =0,=xz dz En appliquant toutes les simplifications, on aura pour l’équation de Reynolds: 2 d p µv0 =−12 sinα2 3 dz h
Intégrons l’expression deux fois:
µv0 2 p=−6 sinαz+c1z+c23 h
247
2 2 (2 1) zz0 3b p z vsinsi 6 pmax=(0)=µ0nα=v0α3 3 2h h
2 ⎛ ⎞ zz0) p(z)=pmax1b 0 ⎝ ⎠
De cela, le cisaillement:
La pression moyenne:
z22 2 (z2z1) 1b0 pmoy=p(z)dz=µv0sinα=4v0sinα3 3 z2z1h h z1
Fig. A32 Désignations du champ de pression [11]
y u=u1+(u2u1)h yµv0sinα w=w1+(w2w1)6(zz0)(yh)y3 h h
248
Pour simplifier les expressions des vitesses, on a: p =0x p pmaxzz0) =−2(zz0)=−12µv0sinα2 3 z b0h
Donc les expressions des vitesses:
Les conditions aux limites étantp(z1)=p(z2)=0, on a (Fig. A32): µv 0 2 p=−6 sinα(z(z1+z2)z+z1z2)3 h
Soient2z0=z1+z2et2b0=z2-z1, ainsi on a:
µ u τxy=ν=(u2u1) y h µ µv0sinα w h ( )( )( ) τzy=µ=w2w112zz0y3 y h h2
Ainsi, on reçoit l’effort axial:
πz 22 F=(p(z) sinα+τ(h=0) cosα)rdϕdz= ∫ ∫ ax xy 0z 1 3 2 ⎛ ⎞ zz⎞ ⎛zzzz(zz) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ⎜ ⎟ =2πµv rsinα+⎜ ⎟ 2πµv rsinα⎜ ⎟cosα+sinαcosαsinα 0m0m ⎜ ⎟ h h2r2hr ⎝ ⎠ ⎝ ⎠m m ⎝ ⎠ Le couple sur la bague:
2πz2z2 µ2 2 M(y=h)=τxy(y=h)r dϕdz=−2π((rm+sinα)(ωBωR)+hωBcosα)(rm+zsinα)dz= ∫ ∫h0z1z1
2 2 2 2 ⎛⎛3(z1+z2)z+z+z1z2(z1+z2)(z+z)ωR1 2 1 2 2 3 +α+α+α()⎜⎜1 sin sin sin12 3 2rmrmrmωC ⎝ ⎠ µ⎜ ⎟ 3 =−2πrm(z2z1)ωC ⎜ ⎟ h 2 2 (z1+z2)z+z+z1z2R h1 2 2ωα+α+α cossin1 sin ( ) 2 rmrm3rmωC ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ Le coefficient de frottement est donné par l’équation suivante: M(y=h)sin f=2 ⎛ ⎞ 1b2 ax m+( )α F r1 sin3rm ⎝ ⎠
Fig. A33 Raffinement du modèle [11]
Dans le cas d’un embrayage conique (Fig. II8):
249
En remplaçant cela, on a:
z1=-b, z2=b-Hcosα
z1+z2H z0= =−cosα2 2 z2z1H b0= =bcosα2 2 On remplace ces expressions dans les équations dep,Fax,Metf. Pour simplifier encore, on peut faire les approximations suivantes:H<<rm, H<<b, donc z z H 1 2 z0= =−cosα0 2 2 z2z1H b0= =bcosαb 2 2 Ainsi on obtient une nouvelle fois les expressions pourp,Fax,Metf:
2 ⎛ ⎞ z p(z)=pmax1)b ⎝ ⎠
2 b 3 pmax=p(z=0)=pmoy=6µv0sinα3 2h
2 2b3 2b2b b2 Fax=16πµv0rmsinα( )+4πµv0rmsinα( )cosα+sinαcosαsinαh h rmhrm ⎝ ⎠
2 2 ⎛⎛b⎞ ⎛b⎞ ⎞ 3b2ωRh2ωR M(y=h)=4πµv0rmωC1+sinα(1)cosα1+sinα( )2 2 h rmωCrm3rmωC ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 ⎛ ⎞R⎛ ⎞R b2ωh1b2ω + − − + 1)sinα(1)cosα1( )sinαrmωCrm3rmωC ωcrmsinα⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f= ⋅2 2 2 ⎛ ⎞b 1b2b2b2 + v01( )sinα4( )sinα+cosα+sinαcosα2 sinα 3rmh h hrm A ce point, on peut remplacer les valeurs numériques des différentes quantités. En négligeant certaines termes proches du zéro, on obtient des formules simples à utiliser. Pour des études plus approfondies, on donne leur forme adimensionnée aussi:
Forme adimensionnée:
2 ⎛ ⎞ z ) 1( ) p(z,h)=p(hmax⎜ − b ⎝ ⎠
2 b p(h)max=6µv0sinα3 h
2 b p(hmin)max=6µv0sinα3 hmin
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