Etude en radiofréquences de transistors à effet de champ MOS partiellement désertés en technologie

Daviot Renaud

Description

ANNEXES Annexe I – Aspects mathématiques Cette annexe constitue un bref rappel sur les lois de probabilité ainsi que sur le traitement du signal aléatoire. Les lois de probabilité sont employées pour définir les types de bruit. Les équations issues du traitement du signal aléatoire fournissent les éléments mathématiques nécessaires dans l'étude du bruit électronique. 1. La loi binomiale La loi binomiale est la probabilité pour qu'un événement se produise x fois sur N expériences. Elle est appelée loi de probabilités discrètes ou encore loi de Bernoulli. Cette loi s'écrit : xxN−x p()xC= pq(1) NN !xp est la probabilité de réussite. q est la probabilité d'échec et q=1-p.C = . Nx!(Nx− )!Propriétés : Moyenne : µ=N·p Variance : σ²=N·p·q 2. La loi normale L'équation de la loi de Gauss-Laplace ou loi normale s'écrit : 21 xµ−⎛⎞−⎜⎟1 2 σ⎝⎠ px() = e (2) 2⋅⋅πσLa représentation de la loi normale est illustrée à la figure 1. 0.4Propriétés : Moyenne : µ Variance : σ² 20.2 1 xµ−⎛⎞−⎜⎟1 2⎝⎠σe =1∫ 2⋅⋅πσℜ 04 2024 Figure 1 : Représentation d'une variable aléatoire gaussienne µ=0, σ²=1 iANNEXES 3. La loi de Poisson La loi de poisson s'écrit : xλ−λ px()=⋅e (3) λLorsque N tend vers ∞ et p tend vers 0, N·p tend vers la valeur λ. Propriétés : moyenne : µ = λ variance : σ² = λ 4. Éléments de traitement du signal Le bruit est défini comme un ‛‛phénomène dont l'amplitude et la fréquence varient de 1manière aléatoire” . Tout dispositif ...

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Annexe I  Aspects mathématiques

Cette annexe constitue un bref rappel sur les lois de probabilité ainsi que sur le traitement du signal aléatoire. Les lois de probabilité sont employées pour définir les types de bruit. Les équations issues du traitement du signal aléatoire fournissent les éléments mathématiques nécessaires dans l'étude du bruit électronique. 1. La loi binomiale

La loi binomiale est la probabilité pour qu'un événement se produise x  fois sur N   expériences. Elle est appelée loi de probabilités discrètes ou encore loi de Bernoulli. Cette loi s'écrit :   p ( x ) = C x N p x q N − x (1) p est la probabilité de réussite. q e C x = N ! st la probabilité d'échec et q =1-p . N !( N − x )! .    Propriétés : Moyenne : µ = N·p   Variance : σ ²= N·p·q   2. La loi normale

 

L'équation de la loi de Gauss-Laplace ou loi normale s'écrit : 1 x 2 p ( x ) = 2 ⋅ 1 π⋅σ e − 2 ⎜ ⎛ ⎝ − σ µ ⎞ ⎠ ⎟  (2) La représentation de la loi normale est illustrée à la figure 1. 0.4 Propriétés : Moyenne : µ   Variance : σ ² 1 e 2 1 x σ µ ⎠ 2 = ∫ 2 ⋅π⋅σ − ⎛ ⎝ ⎜ − ⎞ ⎟ ℜ 0   4 2 0 2 4   Figure 1 : Représentation d'une variable aléatoire gaussienne µ=0, σ ²=1  

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A NNEXES   3. La loi de Poisson La loi de poisson s'écrit :   p ( x ) = e −λ ⋅ λ x λ  (3)  Lorsque N tend vers ∞ et p tend vers 0, N · p tend vers la valeur λ . Propriétés : moyenne : µ = λ   variance : σ ² = λ   4. Éléments de traitement du signal Le bruit est défini comme un ‛‛ phénomène dont l'amplitude et la fréquence varient de manière aléatoire 1 . Tout dispositif électronique passif ou actif génère du bruit à température ambiante. L'ensemble de ces signaux aléatoires est de nature non déterministe et non reproductive. Sur k  périodes T k  suffisamment longues, un signal aléatoire x(t)  a plusieurs réalisations possibles qui sont notées x k (t) . Mathématiquement, lensemble de ces réalisations seront décrites par la variable aléatoire X(t) . En d'autres termes, x k (t)  symbolise la k-ième  valeur du signal X  à l'instant t . x k (t) est, par contre, une fonction certaine en fonction du temps. À l'instant t 0 , X(t 0 ) a une densité de probabilité d'amplitude f X (t 0 )   ∫ f ( x ) dX = 1 . La variable aléatoire est stationnaire lorsque f(X(t+ ∆ t))=f(X(t)) . Dans l'étude statistique des signaux aléatoires, deux concepts essentiels sont introduits dans les calculs : la valeur moyenne statistique et la variance du signal. La valeur moyenne statistique ou lespérance mathématique de X sobtient par :   X = E ( X ) = X ⋅ f ( X ) dX  (4) La variance est définie à partir de :  var = σ 2 ( X ) = X 2 − X 2  (5) En terme d'espérance mathématique, l'équation (5) se traduit par :   var X = E X 2 − E 2 ( X )  (6) σ (X) correspond à l'écart type de X . E(X 2 ) est la puissance instantanée de X . Les signaux aléatoires électroniques sont supposés correspondre à un processus gaussien centré. Par conséquent, X = 0 .    La corrélation entre deux variables aléatoires X et Y est définie par :   Y = ∫ ∫ XYf ( X , Y ) dXdY  (7) Si XY = 0 , les deux variables aléatoires ne sont pas corrélées. Sinon, leur coefficient de corrélation s'exprime par : c = XY  (8)   2 ⋅ Y 2 |c| ≤ 1 . Le cas où c =1 correspond à une corrélation totale entre les deux signaux.                                                   1 Voir : www.granddictionnaire.com i  

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  Avant d'introduire la notion de densité spectrale, rappelons que la fonction d'autocorrélation d'une variable aléatoire d'un processus aléatoire stationnaire s'écrit :   X ( τ ) = X ( t 1 − t 2 ) = E X ( t 1 ) ⋅ X * ( t 2 ) = E X ( t ) ⋅ X * ( t −τ )  (9) Cette fonction est indépendante de t et ne dépend que de τ . Le symbole *  correspond à la forme complexe conjuguée. Si τ =0 ,  E(X²(t))= 2 ↔  la puissance de la valeur efficace vraie du bruit. Pour plus d'informations concernant le traitement des signaux aléatoires, le lecteur peut consulter l'ouvrage de H. Reinhard [1]  ainsi que [2,3] . Le paragraphe suivant introduit la notion de densité spectrale de puissance ou de spectre de puissance du signal à partir de l'expression de la fonction d'autocorrélation définie en (9). 5. La densité spectrale de puissance

Si un signal aléatoire est un processus gaussien centré ou à valeur moyenne définie, et que sa fonction d'autocorrélation est stationnaire dans le temps, celui-ci peut être défini par sa densité spectrale de puissance :   S X ( f ) = ∫ − ∞ ∞ X ( τ ) e − j 2 π f τ d τ  (10)   Les propriétés de la densité spectrale de puissance sont : -S X (f) est un réel positif. -1 -S X (f) a pour dimension : [unité de X]² · Hz . -La fonction d'autocorrélation peut s'obtenir à partir de la densité spectrale par le théorème d'inversion : γ (τ) =  ( ) e j π f τ df . X ∫ +∞ S X f 2 −∞  

 

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A NNEXES   Annexe II  Notions de physique   1. Rappels de physique La fonction de Fermi traduit les variations du nombre d'électron en fonction du champ électrique.  f ( E ) = 1 E − E  (11)   1 + e k B T   Le travail de sortie dans les matériaux correspond à l'écart entre le niveau du vide et le niveau de Fermi de ce matériau. q Φ m q Φ s représentent le travail de sortie respectivement dans le métal et dans un semi-conducteur. Pour le cuivre, il s'élève à 4,4 eV. Pour l'aluminium, il est de 4,3 eV. L'affinité électrique, q χ , se situe entre le niveau du vide et la bande de conduction.  q χ (eV)  Si 4,01  SiO 2   1,1  AlAs 3,44  Ge 4,13  GaAs 4,07   Tableau 1 : Affinité électrique de différents matériaux La barrière de potentiel dans une structure MIS est Φ m -Φ s . 2. Transmission des ondes Une ligne à retard impose un délais qui se calcul par : τ = A ε r  (12)   c ℓ  est la longueur de la ligne, ε r  est la permittivité relative du matériau ( ε r  = 1,000649 pour une ligne à air coaxiale) et c  est la célérité de la lumière. La phase d'un signal dans cette ligne varie linéairement en fonction de la fréquence. Ainsi : = 2 π A = 2  (13)   λ πτ i  

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où φ  est la phase exprimée en radian. ℓ  est la longueur de la ligne (en mètre). f  et λ  dont respectivement la fréquence et la longueur d'onde du signal.   La représentation fréquentielle d'un signal est obtenue à partir de l'utilisation de transformée de Fourier ou de Laplace. La transformée de Laplace unilatéral est définie par :   L ( x ( t )) = X ( p ) = ∫ 0 +∞ x ( t ) e − pt dt  (14) p = j ω   La transformée de Laplace bilatéral correspond à la transformée de Fourier du signal. La puissance moyenne d'un signal s'exprime par : T v 2 T 1 v 2 t ) dt   = ∫ 0 (  (15)     3. Paramètres physiques de matériaux

SiO 2  Al   Masse atomique (g·mol -1 ) : 60,08    Masse atomique (g·mol -1 ) : 26,98 Densité atomique (cm -3 ) : 2,27·10 22 Volume molaire (cm 3 ·mol -1 ) : 10,0 Densité (g·cm -3 ) : 2,27 Constante diélectrique relative : Périmètre cristallin (Å) : 5,63 Constante diélectrique (F·m -1 ): Constante diélectrique relative : 3,8 Champ élec. de rupture (V·m -1 ): Constante diélectrique (F·m -1 ) : 3,45·10 -11 Densité atomique (cm -3 ): -1 Champ élec. de rupture (V·m ) : 10 7 Densité (g·cm -3 ) : 2,7 Energie de gap (eV) : ~9 Energie de gap (eV) : ~9 Affinité électronique (eV) : 4,07           Si   Masse atomique (g·mol -1 ) : 28,09    Volume molaire (cm 3 ·mol -1 ) : 12,06 Densité atomique (cm -3 ) : 5·10 22   Densité (g·cm -3 ) : 2,33 Périmètre cristallin (Å) : 5,43 Constante diélectrique relative : -Constante diélectrique (F·m 1 ) : 10 -11   Champ élec. de rupture (V·m -1 ) : 3·10 7   Energie de gap (eV) : 1,14 Affinité électronique (eV) : 4,05          

 

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Annexe III  Les quadripôles

Cette annexe donne un aperçu des différentes matrices utilisées pour identifier un système par un quadripôle. Avant de traiter des représentations des quadripôles, quelques définitions de base sont données ci-après. Lorsque Z s = Z 0 , le coefficient de réflexion vu en entrée d'un quadripôle s'écrit : = + 12 21  (16)   Γ in S 11 1 S − S S 22 Γ Γ l l o o a a d d Γ load  est le coefficient de réflexion de l'élément placé à la suite du quadripôle. De même que l'équation précédente, lorsque Z l = Z 0 , le coefficient de réflexion vu en sortie d'un quadripôle est donné par : 12 21  17)   22 Γ out = S + 1 S − S S 11 Γ Γ o o u u r r c c e e ( Γ source est le coefficient de réflexion de l'élément placé en amont du quadripôle. Afin de simplifier les calculs dans l'étude de quadripôle, il est possible de convertir une matrice carrée de paramètres Z en une cellule en T. Ainsi : ⎪ ⎧ Z 1 = Z 11 − Z 12 Z ⎡ Z 1 + Z 2 Z 2 ⎤ ⎨ Z 2 = Z 12 = Z 21     = ⎢ ⎣ Z 2 Z 3 + Z 2 ⎥ ⎦ ⎩ ⎪ Z = Z − Z i 1  i 2  i 1 3 22 21 i 2       Z 11  Z 22  Z 1 Z 3     v 1     Z 12  Z 21   v 2 v 1 Z 2   v 2     Quadripôl Cellule  en   Il est possible d'effectuer la même opération sur les paramètres Y. Le quadripôle est alors transformé en u 1 ne cellule en pi. ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Y 2 Y Y 3 1 = = Y Y 1 2 1 2 2 1 + = + Y − 1 2 2 Y 1 21 Y = ⎡ ⎢ Y + Y 2 − Y 2 ⎤ ⎥   = − ⎣ − Y 2 Y 3 + Y 2 ⎦ Y Y i 1    i 2  i 1 i 2     2   v 1   11     12   21   22 v 2 v 1 1 3   v 2       Cellule e Π     Dans la suite de cette annexe, à chaque représentation quadripolaire, son schéma équivalent, les matrices de conversion ainsi que les expressions matricielles sont indiquées. Ici, les paramètres Z , Y , H et ABCD sont normalisés par rapport à l'impédance caractéristique Z 0 .

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1. Paramètres chaînes

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Cette matrice est utilisée pour la facilité qu'elle offre dans la représentation de plusieurs étages électroniques mis en cascade. Une application de l'utilisation de cette matrice est l'extraction des paramètres de bruit d'un dispositif à partir de la mesure de l'ensemble : dispositif + lignes d'accès. Schéma équivalent de la matrice    i 1  i 2   v 1 = A á v 2 -B á i 2        i 1 = C á v 2 -D á i 2     v 1  v 2 ⎤         B    C    ⎢ ⎡ ⎣ v i 1 1 ⎥ ⎤ ⎦ = ⎢ ⎡ ⎣ C A D B ⎥ ⎤ ⎦ ⋅ ⎢ ⎡ ⎣ − v i 2 2 ⎥ ⎦   Signification des paramètres  A ⎛ v 1 ⎞ = ⎜ ⎝ ⎟ ⎠   Ö Gain inverse en tension v 2 2 0 i = ⎛ ⎞   Ω   B = ⎜ − v i 1 ⎟   Ö édance  ⎝ 2 ⎠ v 2 = 0 Imp C = ⎛ ⎜ i 1 ⎞ ⎟   Ö Admittance  S   ⎝ v 2 ⎠ i 2 = 0 D ⎛ i 1 ⎞ Ö = ⎜ ⎟   Gain inverse en courant i 2 ⎝ − ⎠ v 2 = 0 Propriétés  Appelons ABCD n , la n -ème matrice d'une cascade de plusieurs matrices ABCD.   ABCD total = ABCD 1 · ABCD 2 · ABCD 3 · ... ¯ Conversions en matrice ABCD     Y Z H S − Y 22 Z 11 H 12 H 21 − H 11 H 22 ( 1 + S 11 ) ( 1 − S 22 ) + S 21 ⋅ S 12 A     Y 21 Z 21 H 21 2 ⋅ S 21 − 1 Z 11 Z 22 − Z 12 Z 21 − H 11 ( 1 + S 11 ) ( 1 + S 22 ) − S 21 ⋅ S 12   B     Y 21 Z 21 H 21 2 ⋅ S 21 Y 12 Y 21 − Y 11 Y 22 1 − H 22 ( 1 − S 11 ) ( 1 − S 22 ) − S 21 ⋅ S 12 C       Y 21 Z 21 H 21 2 ⋅ S 21 − Y 1 Z 22 − 1 ( 1 − S 11 ) ( 1 + S 22 ) + S 21 ⋅ S 12   D 1    Y 21 Z 21 H 21 2 ⋅ S 21  

 

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2. Paramètres impédances

Cette matrice est utilisée pour représenter les impédances équivalentes d'un dispositif. Un exemple d'application est l'utilisation de cette matrice pour connaître les impédances extrinsèques du MOSFET SOI. Schéma équivalent de la matrice    i 1  i 2   Z 11  Z 22 v 1 = Z 11 á i 1 + Z 12 á i 2      v 2 = Z 21 á i 1 + Z 22 á i 2   v 1     Z 12 Z 21 v 2         ⎡ ⎢ ⎣ v v 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎣ ⎢ Z Z 1 2 1 1 Z Z 1 22 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⋅ ⎡ ⎣ ⎢ i i 1 2 ⎤ ⎦ ⎥   Signification des paramètres  Z 11 = ⎜ ⎝ ⎛ i v 1 1 ⎟ ⎞ ⎠ i 2 = 0   Ö Impédance  Ω    Z 12 = ⎛ ⎜ v 1 ⎞ Impédance  Ω   ⎝ 2 ⎟ ⎠ i 1 = 0   Ö   i Z ⎛ v 2 ⎞   Ö I édance  Ω 21   = ⎝ ⎜ i 1 ⎠ ⎟ i 2 = 0 mp Z = ⎛ ⎜ v 2 ⎞ Ö Impédance  Ω   22 ⎝ i 2 ⎟ ⎠ i 1 = 0   Propriétés  Appelons Z n , la n -ème matrice de plusieurs matrices mises en série : i n+1 = i n et v total = Σ v n .   Z total = Z 1 + Z 2 + Z 3 + ... Conversions en matrice Z    Y H S ABCD ¯ Y H 11 H 22 − H 12 H 21 ( 1 + S 11 ) ( 1 − S 22 ) + S 12 S 21 A     Z 11  Y 11 Y 22 2 − 2 Y 12 Y 21 H 22 ( 1 − S 11 ) ( 1 − S 22 ) − S 12 S 21 C 2 S 12 AD − CB Z 12  Y 11 Y 22 − Y − 12 Y 12 Y 21   H H 1 2 2 2   ( 1 − S 11 ) ( 1 − S 22 ) − S 12 S 21 C   Z − Y 21 − H 21 2 S 21 1 21  Y 11 Y 22 − Y 12 Y 21   H 22   ( 1 − S 11 ) ( 1 − S 22 ) − S 12 S 21 C   Y 11 1 ( 1 − S 11 ) ( 1 + S 22 ) + S 12 S 21 D      Z 22  Y 11 Y 22 − Y 12 Y 21 H 22 ( 1 − S 11 ) ( 1 − S 22 ) − S 12 S 21 C

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3. Paramètres admittances

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Cette matrice est utilisée pour représenter les admittances équivalentes d'un dispositif. Un exemple d'application est l'utilisation de cette matrice pour connaître les capacités extrinsèques ainsi que la modélisation intrinsèque du MOSFET SOI. Schéma équivalent de la matrice    i 1  i 2   i 1 = Y 11 á v 1 + Y 12 á v 2      i 2 = Y 21 á v 1 + Y 22 á v 2     v 1   11   12 21 2 v     2 2 ⎡ 1 ⎤ ⎡ 11 ⎤ ⎡ ⎤   = ⎥ ⎢   ⎣ ⎢ i i 2 ⎦ ⎥ ⎣ ⎢ Y Y 21 Y Y 2 1 2 2 ⎦ ⋅ ⎣ v v 1 2 ⎦ ⎥       Signification des paramètres  Y = ⎛ ⎜ i 1 ⎞ ⎟   Ö Admittance  S   11 ⎝ v 1 ⎠ v 2 = 0 Y = ⎛ i 1 ⎞ 12 ⎝ ⎜ v 2 ⎠ ⎟ v 1 = 0   Ö Admittance  S   Y 21 = ⎜ ⎛ i 2 ⎟ ⎞   Ö Admittance  S   v ⎝ 1 ⎠ v 2 = 0 = ⎛ 2 ⎞ Y 22 ⎜ i ⎟   Ö Admittance  S   ⎝ v 2 ⎠ v 1 = 0 Propriétés  Appelons Y n , la n -ème matrice de plusieurs matrices mises en parallèle : v n+1 = v n et i total = Σ i n .   Y total = Y + Y 2 + Y 3 + ...   1 Conversions en matrice Y  ¯   Z H S ABCD Z 1 ( 1 − S 11 ) ( 1 + S 22 ) + S 12 S 21 D Y 11   22    Z 11 Z 22 − Z 12 Z 21 H 11 ( 1 + S 11 ) ( 1 + S 22 ) − S 12 S 21 B   − Z 12 − 2 S Y 12  Z 11 Z 22 − Z 12 Z 21   H H 1 1 1 2   ( 1 + S 11 ) ( 1 − + S 1 2 2 2 ) − S 12 S 21 CB − B AD   Y 1   − Z − 21   H H 2 1 1 1   ( 1 + S 11 ) ( 1 − + 2 S S 2 2 1 2 ) S 12 S 21 − B 1 2 Z 11 Z 22 Z 12 Z 21 − Y 22   ZZ Z − 11 Z Z 1   H 11 H 22 H − 11 H 12 H 21 ( ( 1 1 + + S S 1 1 1 1 ) ) ( ( 1 1 + − S S 2 2 2 2 ) ) − + S S 1 1 2 2 S S 2 2 1 1 B A   11 22 12 2

   

 

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4. Paramètres hybrides

Cette matrice est utilisée pour représenter le comportement en petit signal des dispositifs actifs notamment des transistors bipolaires. Son paramètre H 21 permet d'estimer la valeur du gain en courant en fonction de la fréquence ainsi que la fréquence de coupure des MOSFET SOI. Schéma équivalent de la matrice      i 1 i 2   v 1 = H 11 á i 1 + H 12 á v 2        H 11 i H 21 á i 1 + H 22 á v 2   = 2     v 1     H 12 H 21 H 22 v 2   ⎡ v ⎤ ⎡ H H ⎤ ⎡ i ⎤ 1 11 12 1 = ⋅   ⎣ ⎢ ⎦ ⎥ ⎣ ⎢ ⎦ ⎥ ⎣ ⎢ ⎦ ⎥     i 2 H 21 H 22 v 2   Signification des paramètres  H 11 = ⎜ ⎝ ⎛ v i 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ v 2 = 0   Ö Impédance  Ω   H 12 = ⎝ ⎜ ⎛ v v 1 2 ⎟ ⎞ i 1 = 0   Ö Gain inverse en tension ⎠ H 21 = ⎛ i 2 ⎞ ain en courant ⎝ ⎜ 1 ⎠ ⎟ v 2 = 0   Ö G i H = i 2 ⎟ ⎝ ⎜ ⎛ v 2 ⎞ ⎠ i 1 = 0   Ö Admittance  S   22

 

        Conversions en matrice H      Y Z S 1 Z 11 Z 22 − Z 12 Z 21 ( 1 + S 11 ) ( 1 + S 22 ) − S 12 S 21 11      Y 11 Z 22 ( 1 − S 11 ) ( 1 + S 22 ) + S 12 S 21   − Y 12 Z 12 2 S 12     12  Y 11   Z 22 ( 1 − S 11 ) ( 1 + S 22 ) + S 12 S 21 − Y 21 Z 21 − 2 S 21   21  Y 11   Z 22 ( 1 − S 11 ) ( 1 + S 22 ) + S 12 S 21   Y 11 Y 22 − Y 12 Y 21 1 ( 1 − S 11 ) ( 1 − S 22 ) − S 12 S 21 22    1 − S 11 1 + S 22 + S 12 S 21   Y 11 Z 22 ( ) ( )

 

 

ABCD B   D BC − AD   D − 1   D C   D