Etude par émission acoustique associée aux méthodes électrochimiques de la corrosion et de la protection
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Transformation de Fourier discrète TRANSFORMATION DE FOURIER DISCRETE 1- Algorithme de transformation de Fourier rapide (TFR) Les signaux réels sont toujours de durée finie D et de bande passante limitée B2. si un tel signal, x(t), est échantillonné à la période d’échantillonnage T , respectant la condition de eShannon, x(t) est formé de : DN = échantillons, Te1avec T = , F représente la fréquence d’échantillonnage du signal e eFe X(f) x(t) t f -B Bande +B du signal Le signal obtenu est périodique, de période D, sa représentation fréquentielle est donc 1discrétisée avec un pas en fréquence : f = o DPour décrire tout le signal en fréquence il faut donner ses composantes fréquentielles sur une 1 Dbande totale de Hertz, il faut donc disposer de échantillons. T Te e Un signal échantillonné de durée finie, prolongé par périodisation, est représenté en temps par N échantillons x(t) : 0 ≤ t ≤ N et en fréquence par N échantillons X(f) : 0 ≤ f ≤ N La TFD est la transformation faisant passer du signal temporel, x(t), au signal fréquentiel, X(f) : X(f) = TFD [x(t)] N −1 2πjtf−NX(f) = θ x(t) ∑ e0θ est un facteur de normalisation 161Transformation de Fourier discrète La transformation de Fourier obtenue par le Logiciel Mathlab utilise un algorithme de base qui calcul un nombre de points N qui est une puissance de 2 et son gain en temps par rapport à un calcul directe de l’ordre de : Ngain = log ...

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Transformation de Fourier discrète
TRANSFORMATION DE FOURIER DISCRETE 1 Algorithme de transformation de Fourier rapide (TFR) Les signaux réels sont toujours de durée finieDde bande passante limitée B2. si un tel et signal,x(t), est échantillonné à la période d’échantillonnageTe, respectant la condition de Shannon,x(t)est formé de : D N = échantillons, Te 1 avecTe= ,Fereprésente la fréquence d’échantillonnage du signal Fe X(f) x(t) t f  BBande +B du signal Le signal obtenu est périodique, de période D, sa représentation fréquentielle est donc 1 discrétisée avec un pas en fréquence :fo= D Pour décrire tout le signal en fréquence il faut donner ses composantes fréquentielles sur une 1 D bande totale deHertz, il faut donc disposer deéchantillons. TeTe Un signal échantillonné de durée finie, prolongé par périodisation, est représenté en temps par N échantillons x(t) :0tN et en fréquence par N échantillons X(f) :0fN La TFD est la transformation faisant passer du signal temporel, x(t), au signal fréquentiel, X(f) : X(f) = TFD [x(t)] N1 2πjtf N X(f) =θx(t)e 0 θest un facteur de normalisation
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Transformation de Fourier discrète La transformation de Fourier obtenue par le Logiciel Mathlab utilise un algorithme de base qui calcul un nombre de points N qui est une puissance de 2 et son gain en temps par rapport à un calcul directe de l’ordre de : N gain = log2(N) 10 par exemple pour N = 1024 (2), la FFT est environ 100 fois plus rapide que ce que pourrait donner un calcul discret à partir de la définition de la TFD. La FFT est une version rapide de la TFD. En supposant que N est une puissance de 2, nous pouvons réécrire la TFD en distinguant la somation sur les échantillons de rang pair et sur les échantillons de rang impair. On obtient N pour0f : 2 2πjf N XN(f) = Xp(f) +XIN(f) e N 22 2πjf NN XN) = X(f +p(f) XI(f) 22e2 N N avec N 1 2 2πjkf NN 2 TFD sur les: échantillons de rang pair : XpN(f)=θx(2k) 22e k=0 N 1 2 2πjkf NN TFD sur les: échantillons de rang impair : XIN(f)=θ x(2k+1) 2 22e k=0 N On voit que l’on peut construire la TFD sur N ponts à partir de 2 TFD surpoints. N étant 2 N une puissance de 2, on peut continuer la procédure et calculer les TFD surpoints à partir de 2 N la TFD surpoints et ainsi de suite jusqu’à N = 2. 4 11 Le gain du temps de calcul est considérable, pour N = 2048 (2), la FFT est environ 186 fois plus rapide que ce que pourrait donner un calcul discret à partir de la définition de la TFD.
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Transformation de Fourier discrète 2 Effet de fenêtre sur la résolution D’une façon générale, on appelle fenêtre la suite des coefficients utilisés pour pondérer un signal. La résolution en fréquence est d’autant meilleur : que le lobe principal (central) est étroite, et que les lobes secondaires (latéraux) sont bas. L’application d’une fenêtre rectangulaire à un signal de N échantillons, peut être vu comme la multiplication terme à terme de la totalité du signal par la suite : ωN(t) ={0,…,N1}(t) cette multiplication, ou pondération, est équivalente, du point de vue spectral, à convoluer la TFD de x(t) par la TFD WN(f) de la suiteωN(t). ce qui s ‘écrit : {x(t)×ω(t)}⎯⎯→(X * WN)f) avec sin(Nπf) jπ(N1)f WN(f) = e sin(πf) Cette opération de convolution a pour effet d’introduire des ondulations parasites dans le spectre. Exemple 0,2 fenêtrerectangle 0,1 seuil 0,0 0,1 D = 242 µs 0,2 0 50100 150 200 250 300 350 Temps (µs) La fréquence d’échantillonnage du signal (Fe) est égal à la vitesse 4 MHZ d’acquisition, le système prend 4 échantillons toutes les microsecondes. entre deux points il y a 1/4000000 µs.
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Transformation de Fourier discrète Le nombre d’échantillons du signal (Ns) est égal à D x Fe= 242 x 4 = 968, le traitement par 10 Mathlab se fait avec la première puissance de 2 supérieur à Ns.càd 1024 = 2 la fréquence minimale foet la fréquence maximale fmax: 1 1 fo= == 1,953 kHz o Durée totale de la fenêtre512 µs Fréquence d'échantionnage4000 fmax= 2000 kHz= =o 2 2 2000  1,953 donc pouri0,fi) kHz= 1,953 + i (2048 3 Barycentre de la densité spectrale Vu le grand nombre de salves enregistrées dans chaque essai, l’ensemble des salves est traité de façon statistique en faisant la moyenne des résultats obtenus. D’où viens l’intérêt duFCOG « barycentrede la densité spectrale». il a été calculé à partir de l’aire correspondant aux composantes fréquentielles da la densité spectrale des salves. (f)x X fk k FCOG (kHz) = k
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