Exercices 1 et 2 sans rappel de cours

Emmanuel Jakobowicz

Description

STATISTIQUE MULTIVARIEE APPROFONDIE 2009-2010 14 octobre 2009 Corrigé des exercices Exercice 1 : On cherche la loi du couple (U,V), on a : EU()=+E(X Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)=0 EV()=−E(X Y)=E(X)−E(Y)=0 et d’autre part, var(UX)=+var(Y+Z)=var(X)+var(Y)+var(Z)=3 22var(VX)=−var(Y)=E((X−Y) )−EX−Y=var(X)+var(Y)=2 ()et cov(UV, )E (UV ) E (U )E (V )=E ((X+Y+Z )(X−Y )) 22=−EX()E(Y)+EX(Z)−E(YZ)=var(X)−var(Y)=0donc U ⎛⎞030 ⎛⎞⎛ ⎞ ∼ N , ⎜⎟ 2 ⎜⎟⎜ ⎟V 002⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠ Comme cette loi est normale alors comme les covariances sont nulles alors les variables U et V sont indépendantes. Exercice 2 : La combinaison linéaire d’une variable aléatoire multinormale est multinormale. On a E()Y=+E(AZ c)=E(AZ)+c=AE(Z)+c . Pour la variance, var(YA) = var(Z+=c) var(AZ)2 TT==EA(() ) E(AZA ) TT TAEZ()Z A Avar(Z)ATTAI A AAp 1STATISTIQUE MULTIVARIEE APPROFONDIE 2009-2010 14 octobre 2009 Exercice 3 : Afin de trouver l’ellipsoïde d’isodensité, on utilise la distance de Mahalanobis, celle-ci suit 2une loi du χ à p degré de liberté (p étant la dimension du vecteur traité, ici p=2). On calcule pdonc dans le premier cas : 2x 10⎛⎞⎛ ⎞ y22 Dx==yx+ ()⎜⎟⎜ ⎟y 014 4⎝⎠⎝ ⎠ 22 2CommeD ∼ χ , on veutP()x∈=E0,95⇒Px(<χ)=Px(<6)=0,95, le k vaudra 6, on k 2veut donc résoudre : 222yx⎛⎞⎛y⎞2x+=61⇔ + = ⎜⎟⎜⎟4 626⎝⎠⎝⎠ On a 62,45. Une ellipse de centre (0,0) et de rayon 2,45 sur les x et 4,9 sur les y. De même pour P2. 2 22x − 2() 2 ⎛⎞xy−−⎛⎞+−=⇔ + =On ...

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• Langue: Français

Extrait

S TATISTIQUE MULTIVARIEE APPROFONDIE 20092010 14 octobre 2009 Corrigé des exercices Exercice 1 : On cherche la loi du couple (U,V), on a : E(U)=E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)=0 E(V)=E(X−Y)=E(X)−E(Y)=0 et d’autre part, var(U)=var(X+Y+Z)=var(X)+var(Y)+var(Z)=3 2 2 var(V)=var(X−Y)=E((X−Y) )−E ( X−Y ) =var(X)+var(Y)=2 et cov(U,V)=E(UV)−E(U)E(V)=E((X+Y+Z)(X−Y)) 2 2 =E(X)−E(Y)+E(XZ)−E(YZ)=var(X)−var(Y)=0 donc ⎛ U⎞ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 3 0⎞ ⎞ ⎜ ⎟ ∼N ⎜ ⎜ ⎟ , ⎟ ⎜ ⎟ 2 V20 0 ⎝ ⎠⎝ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎠ Comme cette loi est normale alors comme les covariances sont nulles alors les variables U et V sont indépendantes. Exercice 2 : La combinaison linéaire d’une variable aléatoire multinormale est multinormale. On a (Y)=E(AZ+c)=E(AZ)+c=AE(Z)+c . Pour la variance, var(Y) var(AZ+c)=var(AZ) 2T T =E((AZ) )=E(AZZ A) T TT =E(ZZ)A=Avar(Z)A T T =AI A=AA p

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S TATISTIQUE MULTIVARIEE APPROFONDIE 20092010 14 octobre 2009 Exercice 3 : Afin de trouver l’ellipsoïde d’isodensité, on utilise la distance de Mahalanobis, celleci suit 2 une loi du χ à p degré de liberté (p étant la dimension du vecteur traité, ici p=2). On calcule p donc dans le premier cas : 2 1 0 2 ⎛ x ⎞⎞ ⎛ 2 y D= ( x y ) =x+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ y 4 40 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 22 Comme onveut P(∈E) 0,95P(xχ)P(x6) 0, , le k vaudra 6, on D∼χ 2 , x k = ⇒< 2 == <95 veut donc résoudre : 2 2 2 2 y ⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞ x+ =6=⇔ +1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ 4 ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 6 ⎠ On a 62, 45 . Une ellipse de centre (0,0) et de rayon 2,45 sur les x et 4,9 sur les y. De même pour P 2. 2 2 2 − ( x 2 ) 2 ⎛ x − 2 ⎞ ⎛ y − 2 ⎞ On obtient + ( y − 2 ) = 6 ⇔ + = 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ 4 ⎝ 2 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ Une ellipsoïde de centre (2,2) et de raton 4,9 sur les x et 2,45 sur les y. Exercice 4 : μ ˆ −μ 2 1)On a μ ˆ ∼ N( μ , σn ) , on aura donc π= , on utilise 2 σn P(−u≤ ≤u)=1−α 1−α1/ 2−α/ 2 2 2 ⎡ ⎤ σ σ On obtientun IC : ⎢ μ ˆ −1, 96;μ ˆ +1, 96 ⎥ n n ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Pour l’intervalle de tolérance, on utilise la formule du cours. Dans le cas univarié, on connaît la variance, on trouve une transformation afin d’avoir une loi standard. On a ⎛ 2 ⎛ 1⎞ ⎞ x − g ∼ N 0,σ1+ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ n ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ x−g ∼N(0,1) 2 ⎛ 1 ⎞ σ1 + ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠

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On a donc ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ x−g ⎜ ⎟ αP−u −α ≤ ≤u −α =1− 1 /2 1/ 2 ⎜ ⎟ 2 ⎛ 1 ⎞ σ1+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ ⎠ L’intervalle de tolérance pourxest tel que : ⎡ ⎤ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ IC: ⎢ X−uσ1+;X+uσ1+ ⎥ 1−α/ 2 ⎜ ⎟ 1−α/ 2 ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2) Si la variance est inconnue, on utilise l’estimation de celleci : n 2 1 2 ∑ i ˆ =(x−μ ˆ ) , on a que n i=1 μ ˆ −μ T ∼ n1 2 σ ˆ n−1 La loi de Student ne dépend ni de µ ni de la variance. On a donc un intervalle de confiance IC : ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ μ ˆ − μ ⎜ ⎟ P−t ( α/ 2 ) ≤ ≤t ( α/ 2 ) =1−α n−1n−1 ⎜ ⎟ 2 σ ˆ ⎜ ⎟ ⎝ n−1 ⎠ ⎡ ⎤ 2 2 σ ˆ σ ˆ IC:X t ( / 2 ) ;X t ( α/ 2 ) ⎢ − n−1 α + n−1 ⎥ n − 1n − 1 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ et un intervalle de tolérance : 2 ⎛ n(x−g) ⎞ P − f ( / 2 ) ≤ ≤ f ( α / 2 ) = 1 −α ⎜ 1,n−1,1 2n−1 ⎟ n+1σ ˆ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ + + n1 2 n1 2 g − f ( α / 2 ) σ ˆ ; g + f ( α / 2 ) σ ˆ ⎢ 1,n−1 1,n−1 ⎥ n n ⎣ ⎦

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Exercice 5 : Pour l’ellipsoïde de confiance de la moyenne, on utilise les formules du cours et on obtient donc : T −1 2 2 ⎛ −μ 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ −μ 1 ⎞ 1 =F(2; 50−2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2−μ0 42−μ 50−2 ⎝ 2 ⎠ ⎝⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 2 (2 −μ 2 1 ) 4 ⇔(2− μ )+ == 1 4 486 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎜ 2μ 1 ⎟ 2μ 2 ⇔ +=1 ⎜ ⎟ 1 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 3 ⎠ Ellipsoïde de centre (2,2) et de rayon 0,408 sur les x et 0,816 sur les y. Pour l’intervalle de tolérance, on a donc : T−1 ⎛ x−2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ x−2 ⎞ (50−1)2 50+1 = F(2; 50 − 2) ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ y−42 0y−2 50 −2 50 ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 2 (y−2) 4998 ⇔(x−2)+ =48.33 4 2400 2 2 ⎛ x−2 ⎞ ⎛ y−2 ⎞ ⇔ +=1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 8.33 ⎠ ⎝ 2 8.33 ⎠ Ellipsoïde de centre (2,2) et de rayon 2,88 sur les x et 5,77 sur les y.

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S TATISTIQUE MULTIVARIEE APPROFONDIE 20092010 14 octobre 2009 Exercice 6 : On teste l’égalité de deux moyennes avec le logiciel SAS et la proc discrim que vous étudierez plus tard dans le cours. Pages 149 – 150 : les données, p. 163, stat générales p. 155, matrices de covariances intraclasses (pour chaque classe) p. 156, moyenne des matrices de covariances intraclasses calculée par : 2 1 W=n V ∑ k k n k=1 et matrice interclasses, matrice de covariances obtenue à partir des centres de gravité de chaque classe p. 157, matrice de covariance de l’ensemble de l’ensemble de l’échantillon, distance de Mahalanobis entre les classes, calculé par : 2T−1 D=(X−X)V(X−X) ij ij ij 2 On a D=4, 94≠0 . Si on créé un intervalle de confiance autour par cette distance. On a n 1 n n−p−1 2 50⋅49 99−7−1 2 D=4, 942=16, 39 p n p(n−7(992) 99−2) et F(7, 91)=2,12 On n’a donc pas égalité entre les moyennes. Exercice 7 : 1La période est de 3. 1 1 2La densité de la loi de Cauchy est donnée par f ( x ) = . Sa fonction de 2 π1+ 1 1 −1 répartition est donc donnée par: ( t ) = + tan ( t )  (onajoute ½ afin de bien 2π π π ⎤ définir l’intervalle sur lequel la fonction est définie: −; ). On utilise la 2 2 ⎦ méthode d’inversion, on obtient donc pour une variable aléatoire R de distribution uniforme sur [0; 1] : ⎛1⎞ −1 ⎛ ⎞ x=F ( u ) =tan π u− . ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ Il suffit de simuler une variable uniforme et d’utiliser la transformation cidessus.

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S TATISTIQUE MULTIVARIEE APPROFONDIE 20092010 14 octobre 2009 3La loi de Poisson peut être reliée à la loi exponentielle. En effet, si des évènements surviennent à des dates séparées par des durées exponentielles de paramètre λ , le nombre d'évènements survenant en une unité de temps suit une loi de Poisson de même paramètre. On simule des variabl Y,Y. .... .exp es aléatoires { 1 2 i i dY i ∼λ ) à partir de la loi uniforme en utilisant la fonction de répartition inverse et on définit : ∑ X=k⋅1 { Z≤1≤Z k k+1 k≥0 k avec =Y ∑ k i i= 1 Il faut donc simuler des variables aléatoires exponentielles de paramètreλet compter le nombre de simulations nécessaires pour dépasser 1, ou bien simuler des variables aléatoires exponentielles de paramètre 1 et compter le nombre de simulations nécessaires pour dépasserλ. Exercice 8 : 1On utilisera comme bornes 5% et 95%. 2Algorithme à utiliser : a.Tirer aléatoirement B échantillons de taille n avec remise dans (X 1 ,..,X n ). On tire donc des échantillons de distribution F n (X). b b.Calculer la statistique Tpour chaque échantillon (b=1,…,B). c.La distribution d’échantillonnage G(x) de T peut être approximé par la b distribution empirique des des T: B 1 b ∑ G ( x )  I ( T≤x ) B b = 1 d.Le biais, la variance et l’intervalle de confiance à 95% associés à T peuvent être approximés par : B 1 b ∑ iais ( T ) T−θ ( F ) n B b=1  avec θ ( F paramètre calculé pour la distribution empirique. n 2 B B 2 1 b ⎛ 1 b ⎞ ∑ ⎜ ∑ ⎟ Variance ( T )  ( T ) − T B b = 1 ⎝ B b = 1 ⎠ Recherche des percentilesα/2 et 1α/2 de G(x). L’intervalle de confiance de type percentile de niveau 1αest alors défini par : ⎡ α α ⎤ IC ( T ) =v⋅,v⋅1− ( ) ⎣ 2 2 ⎦

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