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Terriez

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CHAPITRE V ECOULEMENT PERMANENT DES FLUIDES REELS Revoir le paragraphe 4 du chapitre 1 sur la viscosité des fluides. 1. Régimes d’écoulement Pour les fluides réels, deux régimes d’écoulement sont mis en évidence par l’expérience de Reynolds, qui consiste à visualiser l’écoulement à l’aide d’un filet coloré dans un tube de verre horizontal. 1. Le filet coloré reste net et régulier, parallèle à l’axe du tube : écoulement laminaire. 2. Le filet coloré oscille, vibre, se rompt : écoulement turbulent. Considérons le nombre de Reynolds, défini comme le rapport entre les forces d’inertie et les forces de viscosité (voir le chapitre 2) : VD.R =e ν V = vitesse moyenne d’écoulement (notée à l’aide d’une majuscule pour éviter toute confusion entre v et ν) D = diamètre de l’écoulement ν = viscosité cinématique (rappel : la viscosité cinématique est définie comme le rapport de la viscosité absolue µ et de la masse volumique du fluide ρ) Le régime laminaire est obtenu quand R < 2000. Les forces visqueuses sont eprépondérantes. L’écoulement est turbulent pour R > 2000. Les forces de viscosité deviennent enégligeables devant les forces d’inertie. Exemple et remarque ______________________________________________________________________ JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.5 page 1 -6 2Soit un écoulement d’eau à 20 °C (ν = 10 m /s), dans une conduite circulaire (D ...

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Extrait

CHAPITRE V

ECOULEMENT PERMANENT DES FLUIDES REELS

Revoir le paragraphe 4 du chapitre 1 sur la viscosité des fluides.

1. Régimes d’écoulement

Pour les fluides réels, deux régimes d’écoulement sont mis en évidence par l’expérience

de Reynolds, qui consiste à visualiser l’écoulement à l’aide d’un filet coloré dans un

tube de verre horizontal.

1. Le filet coloré reste net et régulier, parallèle à l’axe du tube :

écoulement laminaire

.

2. Le filet coloré oscille, vibre, se rompt :

écoulement turbulent

.

Considérons le nombre de Reynolds, défini comme le rapport entre les forces d’inertie

et les forces de viscosité (voir le chapitre 2) :

R

V

D

e

=

.

ν

V = vitesse moyenne d’écoulement (notée à l’aide d’une majuscule pour éviter toute

confusion entre v et

ν

)

D = diamètre de l’écoulement

ν

= viscosité cinématique (rappel : la viscosité cinématique est définie comme le

rapport de la viscosité absolue

µ

et de la masse volumique du fluide

ρ

)

Le régime laminaire est obtenu quand R

e

< 2000. Les forces visqueuses sont

prépondérantes.

L’écoulement est turbulent pour R

e

> 2000. Les forces de viscosité deviennent

négligeables devant les forces d’inertie.

Exemple et remarque

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JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.5

page 1

Soit un écoulement d’eau à 20 °C (

ν

= 10

-6

m

2

/s), dans une conduite circulaire (D = 100

mm).

L’écoulement sera laminaire si V < 0,02 m/s. Cette vitesse est très faible.

Cette situation est rare dans les écoulements industriels, sauf si le fluide est très

visqueux (

ν

grand).

2. Profil de vitesse, couche limite

Dans le cas des fluides réels, le profil des vitesses d’un écoulement permanent n’est pas

uniforme.

vitesse quasi

uniforme

couche limite

couche limite

Il apparaît une couche limite, à fort gradiant de vitesse (dans cette couche d’épaisseur

faible, la vitesse varie fortement).

La couche limite est fonction de la viscosité du fluide, de la vitesse moyenne de

l’écoulement, de la rugosité de la paroi.

3. Pertes de charge régulières

Elles représentent les pertes d’énergie dues au frottement, à la viscosité (nulles dans le

cas d’un fluide parfait), tout au long de l’écoulement (à ne pas confondre avec les pertes

de charge singulières, qui correspondent aux accidents ponctuels de l’écoulement : voir

le chapitre 4).

Exprimées en hauteur de fluide (donc en m), elles sont de la forme, par unité de poids

du fluide :

∆

H

L

D

V

g

= λ

2

2

avec : V = vitesse moyenne de l’écoulement, D = diamètre de l’écoulement,

L = longueur de l’écoulement.

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JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.5

page 2

λ

, coefficient de pertes de charge régulières, est fonction du régime de l’écoulement.

Ecoulement laminaire (R

e

< 2000):

λ

=

64

R

e

(loi de Poiseuille)

Ecoulement turbulent modéré (2000 < R

e

< 10

5

)

λ

=

−

0 316

0

2

5

,

,

R

e

(loi de Blasius)

Ecoulement turbulent rugueux (R

e

> 10

5

)

λ

ε

=

0 79

,

D

(loi de Blench)

ε

= rugosité (dimension moyenne des aspérités de la paroi)

La loi de Colebrook-White, valable quelque soit R

e

(abaque) :

1

2

3 7

2

5

1

λ

ε

λ

=

−

+













log

,

,

D

R

e

Il y a d’autres lois pour le calcul des pertes de charge régulières, en général établies sur

des bases expérimentales : Darcy, Hazen, Strickler, Scobey, Von Karmann ...

4. Equation de Navier-Stockes

C’est l’expression du principe fondamental pour l’écoulement des fluides réels.

Par unité de volume de fluide :

ρ

γ

ρ

.

(

)

.

(

)

.

r

r

r

r

M

g

g

r

a

d

p

F

visc

=

−

+

Rappel

Si l’axe z est choisi selon la verticale ascendante, on a :

ρ

ρ

.

.

r

r

g

g

=

−

.

z

Force de viscosité F

visc.

(viscosité absolue

µ

) :

______________________________________________________________________

JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.5

page 3

r

r

r

r

F

V

V

M

u

v

w

F

u

v

w

u

u

x

u

y

u

z

visc

v

.

.

(

)

.

.

.

(

)

=

=











=











=

+

+

µ

µ

µ

µ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∆

∆

∆

∆

∆

2

2

2

2

2

2

Les TD n° 10 et 11 portent sur le chapitre 5.

Exercices

On étudie le circuit de refroidissement d’un moteur d’automobile (cf. schéma).

La pompe a un rendement de 0,84 et débite 2 litres par seconde. Les pertes de charge

cumulées sont de 6 mètres d’eau (

ρ

= 1000 kg/m

3

).

Quelle est la puissance absorbée par la pompe ?

radiateur

moteur

pompe

transmission

sens de circulation du fluide de refroidissement

On considère un oléoduc horizontal (l = 4 km, d = 105,6 mm) où circule un fluide (

ρ

=

800 kg/m

3

,

ν

= 2 10

-4

m

2

/s), avec un débit q égal à 1200 l/mn.

Quelle est la puissance minimale nécessaire de la pompe ?

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JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.5

page 4

Une galerie de section circulaire dont la longueur est de 4 km est destinée à amener en

charge un débit de 50 m

3

/s à une centrale hydroélectrique. Brute de perforation, elle

présente un diamètre moyen de 6 m et des aspérités de l’ordre de 60 cm. On envisage

de la revêtir d’un béton dont la mise en place coûte 150 F par m

3

, ce qui amènerait son

diamètre à 4,8 m mais, en éliminant les aspérités, ramènerait son coefficient de perte de

charge à

λ

= 0,02. Sachant que l’on ne veut pas consacrer à cette opération plus de dix

fois l’économie annuelle d’énergie réalisée et calculée sur la base de 4 centimes par

Kwh et d’une durée annuelle de fonctionnement de 6000 h, déterminer s’il y a lieu de

bétonner.

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JM. Terriez - Cours de mécanique des fluides - Chap.5

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