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UniversitØ Montpellier II AnnØe universitaire 2003-2004
UFR des Sciences Deug SV, module U1MPF1GH
DØpartement de MathØmatiques MathØmatiques
MATH MA TIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE
NOTES DE COURS
TH. HAUSBERGER
1. GØnØralitØs sur les fonctions, fonctions usuelles, limites
1.1. DØ nitions. On considØrera toujours des fonctions f : D! R, oø D est un sous-ensemble
de R. Une telle fonction est une loi qui à chaque ØlØment x de D associe un et un seul nombre
rØel, notØ f(x). L’ensemble D, qui fait partie de la donnØe de f, s’appelle le domaine de dØ nition
de f. Lorsque celui-ci n’est pas prØcisØ, il est sous-entendu que D est le plus grand sous-ensemble
de R oø l’expression f(x) a un sens.
On appelle f(x) l’image de x par f. L’image de f est l’ensemble ff(x); x 2 Dg; il est notØ
f(D) ou encore Imf. Si y appartient à Imf, tout rØel x de D tel que f(x) = y est appelØ un
antØcØdent de y par f (il peut en exister plusieurs, ou aucun!)
Si chaque ØlØment y de Imf possŁde un unique antØcØdent, on dit que f rØalise une bijection de
D sur Imf, ou encore que f : D ! Imf est bijective, et la fonction qui à y associe son unique
1antØcØdent s’appelle la fonction rØciproque de f. Elle est notØe f ; son domaine de dØ nition
11est D 1 = Imf. Attention : f = !f f
f
Df
x x x y = f(x)
Imf = D 1f
1 Rf
Si f : D ! R et g : D ! R sont deux fonctions, on dØ nit leur somme et leur produit pargf
(f + g)(x) = f(x) + g(x) et (fg)(x) = f(x)g(x) (sur D \ D ). Si Imf D , on peut dØ nir lag gf
composØe g f par (g f)(x) = g(f(x)) (x2 D ).f
f g
D Df g
x x x f(x) x (g f)(x) = g(f(x))
Imf
12 TH. HAUSBERGER
1 1Si f : D ! Imf est bijective, de rØciproque f : Imf ! D , alors (f f)(x) = x 8x2 Df f f
1et (f f )(y) = y 8y2 Imf.
Le graphe de la fonction f, ou courbe reprØsentative C de f, est l’ensemble des points de coor-f
1donnØes (x;f(x)), lorsque x dØcrit D, tracØ dans un repŁre donnØ. Le graphe de f et de f ,
tracØs dans un repŁre orthonormØ, sont symØtriques par rapport à la droite y = x. En e et :
1(x;y)2C , y = f(x), x = f (y), (y;x)2C 1;f f
la transformation qui à (x;y) associe (y;x) est la symØtrie en question.
y = x
Cf
y
C 1f
x
x y
Une fonction f : D ! R est dite croissante (resp dØcroissante) sur un intervalle I si :f
0 0 0 08x;x 2 I x x ) f(x) f(x ) (resp. f(x) f(x )) :
0 0Elle est strictement croissante (resp. strictement dØcroissante sur I si x < x ) f(x) < f(x )
0(resp. f(x) > f(x )). Si f est croissante sur I et g est croissante (resp. dØcroissante) sur f(I) =
ff(x); x2 Ig, alors g f estte (resp. dØcroissante) sur I.
Une fonction f : D ! R est dite paire impaire) si :f
8x2 D ; ( x2 D et f( x) = f(x) (resp. = f(x))) :f f
Graphiquement, f est paire (resp. impaire) ssiC est symØtrique par rapport à l’axe (Oy) (resp.f
l’origine).
La fonction f est dite pØriodique s’il existe un rØel T > 0 tel que
8x2 D ; (x + T 2 D et f(x + T) = f(x)):f f
Le plus petit rØel T > 0 vØri an t cette propriØtØ s’appelle la pØriode de f. InterprØtation gra-!phique :C est invariante par translation de vecteur T { .f
1.2. fonctions usuelles.(
x si x 0
jxj =
x si x 0
n f : R3 x7! x (n2 N )n
1 n g : R 3 x7! = x (n2 N )n nxp 1
n
n h : x7! x = x (n2 N ); D = R si n est impair et D = R si n est pair. Par exemple,n h h +n np p
2x est l’unique rØel y vØri an t y = x et y 0; la fonction x 7! x est dØ nie comme la
rØciproque de la bijection f j : [0;+1[! [0;+1[ (on a restreint le domaine de dØ nition2 [0;+1[
de f ; en e et, f ne rØalise pas une bijection de R sur R = Imf !) Par contre, f rØalise2 2 + 2 3
une bijection de R sur R.
p 1 p 1
p pq q q q x = (x ) (p2 Z;q2 N ); on vØri e qu’on a aussi x = (x ) .















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U1MPF1GH MATH MA TIQUES NOTES DE COURS 2003-2004 3
2 2
1.8
1.6y 1
1.4
1.2
–2 –1 1 2 y 1
x
0.8
–1 0.6
0.4
0.2
–2
0 –2 –1 1 2
f2
f3
f4 x
(a) courbes de f , f et (b) courbes de f et g2 3 2 2
f4
R a 1 ln(a) = dt (a > 0); c’est l’aire algØbrique (i.e. comptØe positivement si a > 1 et nØga-
1 t
1tivement si a < 1) dØlimitØe par la courbe C : y = , l’axe (Ox) et les droites d’Øquation
x
1x = 1 et x = a. PropriØtØs : ln( ) = lna et ln(ab) = lna + lnb (que l’on peut dØmontrer
a
npar des considØrations d’aires); ln(a ) = nlna (n2 Z) (par rØcurrence à partir de la relation
prØcØdente). Graphe :
6
4
y
C 1
x 2
–6 –4 –2 2 4 6
x
–2
–4
1 a
–6
(c) dØ nition de ln (d) ln et exp
On note e l’unique rØel tel que lne = 1. La fonction ln :]0;+1[! R est bijective; sa fonction
rØciproque est la fonction exponentielle exp : R!]0;+1[. PropriØtØs (qui rØsultent de celles
1 nde ln) : exp1 = e, exp(a + b) = exp(a)exp(b), exp( a) = , (expa) = exp(na) (n2 Z).exp a
x x Pour a 2]0;+1[; a = 1, on dØ nit a = exp(xlna). En particlier, expx = e . PropriØtØs :
x y x+y x y xy x x xa a = a , (a ) = a , (ab) = a b .
xLa fonction exp : R3 x7! a 2 R s’appelle l’exponentielle de base a. Elle est bijective; saa
ln xfonction rØciproque est la fonction log : R 3 x7! log (x) = 2 R. En e et,+a a ln a
lnx yy = , lnx = y lna, x = exp(y lna), x = a :
lna
Graphes : cf plus loin; ils se dØduisent des graphes de ln et exp par des transformations
ØlØmentaires.4 TH. HAUSBERGER
Fonctions trigonomØtriques : soit x 2 R. On enroule une corde de longueur jxj autour du
cercle unitØ, à partir du point A(0;1) et dans le sens du signe de x. Soit M le point du cerclex
qui co ncide avec l’extrØmitØ de la corde; par dØ nition, cos x = abscisse de M , sinx =x
ordonnØe de M ; D = D = R.x cos sin
++
Mx
Nxsinx
x A 0
O cos x 1
! !
(une mesure de l’angle orientØ (OA; OM ) est alors x radians).x
sinx On dØ nit Øgalement : tanx = ; D = R f + k; k 2 Zg. Graphiquement,tancos x 2
M H N Hx xtanx = AN (distance algØbrique) (c’est ThalŁs : = )x OH OA
cos et sin sont 2-pØriodiques, tan est -pØriodique; sin et tan sont impaires, cos est paire.
Graphes :
101
8
6
y0.5
4
2
–3 –2 –1 1 2 3 –6 –4 –2 2 4 6
x
x –2
–4
–0.5
–6
–8
–1 –10
(e) sin et cos (f) tan
Formulaire (ces formules ne sont pas à savoir par coeur, mais il est bon de savoir qu’elles
existent) :
2 2 cos x + sin x = 1
cos(x + ) = cos x; sin(x + ) = sinx; tan(x + ) = tanx
1 cos(x + ) = sinx; sin(x + ) = cos x; tan(x + ) =
2 2 2 tan x
1 cos( x) = sinx; sin( x) = cos x; tan( x) =2 2 2 tan x
2tan x2 2 cos(2x) = cos x sin x; sin(2x) = 2cos xsinx; tan(2x) = 21 tan x
sin(a + b) = sinacos b sinasinb; sin(a + b) = sinacos b + cos asinb; tan(a + b) =
tan a+tan b
1 tan atan b
Aplication : f(t) = Acos(!t) + B sin(!t) s’Øcrit aussi f(t) = C cos(!t + ’), oø (A;B) d’unep
A B2 2part et (C;’) d’autre part sont reliØs par : C = A + B et cos ’ = ; sin’ = dØ nit ’
C C
( 2 prŁs).6
6
6
U1MPF1GH MATH MA TIQUES NOTES DE COURS 2003-2004 5
1.3. Transformations ØlØmentaires sur les graphes. Soit f : R! R une fonction etC : y =! !f(x) son graphe, tracØ dans un repŁre (O; { ; | ). On dØ nit g (x) = f(x)+ c, g (x) = f(x+ d),1 2
g (x) = af(x) et g (x) = f(bx), de graphes respectifs C , C , C et C . Nous allons voir que les3 4 1 2 3 4
graphes C se dØduisent de C par des transformations ØlØmentaires.i
(Oy) (Oy)
C1
y
M1
! C C Cf 2 fb {
M2y c yM M
!|
O x (Ox) O x x + d (Ox)
(g) C et C (h) C et C1 2
(Oy) (Oy)
C3
dessin :b = 2
y
M3
C C Cf 4 f
dessin : a = 2 H M4y y
a M M
H
xO x (Ox) O bx (Ox)
(i) C et C (j) C et C3 4
! M (x;y)2C , y = f(x) + c, y c = f(x), M(x;y c)2C ; M = t (M), donc C se1 1 1 c | 1!dØduit de C par translation de vecteur c | .
! ! M (x;y)2C , y = f(x + d), M(x + d;y)2C ; M = t (M), donc C = t (C).2 2 2 2d { d{
y y M (x;y) 2 C , y = af(x) , = f(x) , M(x; ) 2 C. La transformation qui à M3 3 a a
associe M s’appelle l’a nitØ d’axe (Ox), de direction (Oy) et de rapport a : M est dØ ni par3 3! !
HM = aHM, oø H est le projetØ de M sur (Ox) parallŁlement à (Oy). C est l’image de C3 3
par cette a nitØ, notØe a .((Ox);(Oy);a)
M (x;y)2C , y = f(bx), M(bx;y)2C ;C = a 1 (C).4 4 4 ((Oy);(Ox); )
b
Applications :
ln x graphe des fonctions log et exp : log : R 3 x 7! (a 2]0;+1[;a = 1. Donc C : y =+ aa a a ln a
log (x) se dØduit deC par a 1 ; si 0 < a < 1 alors r < 0; si a > 1 alors r > 0.ea ((Ox);(Oy);r= )
lna
x xln a 0 x 0exp : R3 x7! a = e , donc C : y = a se dØduit de C par a 1 . Bien sßr,a a e ((Oy);(Ox); )
lna
0C et C sont symØtriques par rapport à y = x.a a