Les PROBABILITES et la STATISTIQUE de A à Z

François Dress

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A B CDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 3 Dress_B Page 15 Samedi, 28. août 2004 11:21 11Bartlett (test de) (Bartlett test)Test d’hypothèse paramétrique utilisé pour comparer les variances observées de plusieurséchantillons statistiques. 2 2 2test de comparaison de q variances σ,,σ …σ,1 2 q• Données. q séries ou groupes, avec pour chaque k (1 ≤ k ≤ q) : un échantillon de n valeurskobservées d’une variable aléatoire numérique X d’espérance mathématique µ et dek k2variance . σkOn note N le nombre total de valeurs observées n + n + ...+ n . 1 2 q2 2 2• Hypothèse testée. H = « σ = σ = ... = σ » contre H = « il existe au moins deux0 1 2 q 1varian-ces différentes ».• Déroulement technique du test21. On calcule, avec les formules usuelles, la moyenne puis la variance débiaisée s dekl’échantillon n° k.2. On calcule une estimation commune de toutes les variances :2 2 2()n – 1 s++()n – 1 s …+()n – 1 s1 1 2 2 q q2s = -------------------------------------------------------------------------------------------------- .Nq–3. On calcule la valeur observée de la variable de test :q22tN=()–qlns – ()n – 1 lns .k k∑k = 1Les valeurs de référence de la variable de test sont à lire dans les tables de la loi du khi-deux à q – 1 degrés de liberté, pour le risque unilatéral α (qui est le risque standard destables du khi-deux).• Conditions et précautions– Ce test n’est pas robuste : il n’est valable que dans le ...

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Extrait

Bartlett (test de) (Bartlett test) Test d’hypothèse paramétrique utilisé pour comparer les variances observées de plusieurs échantillons statistiques. 2 22 test de comparaison deqvariancesσ,σ,…,σ 1 2q • Données. qséries ou groupes, avec pour chaquek(1≤k≤q) : un échantillon denvaleurs k observées d’une variable aléatoire numérique Xd’espérance mathématiqueµ et de k k 2 variance . σ k On noteNle nombre total de valeurs observéesn+n+ ...+n. 1 2q 2 22 •Hypothèse testée. H= «σ=σ= ... =σ» contre H=«il existe au moins deux 0 1 2q 1 varian-ces différentes ». • Déroulement technique du test 2 1. Oncalcule, avec les formules usuelles, la moyenne puis la variance débiaiséedse k l’échantillon n°k. 2. Oncalcule une estimation commune de toutes les variances : 2 22 (n–1)s+(n–1)s+…+(n–1)s 1 12 2q q 2 s=-. N–q 3. Oncalcule la valeur observée de la variable de test : q 2 2 t=(N–q)lns–(n–1)lns. ∑ k k k=1 Les valeurs de référence de la variable de test sont à lire dans les tables de la loi du khi- deux àq– 1 degrés de liberté, pour le risqueunilatéralα(qui est le risque standard des tables du khi-deux). • Conditions et précautions – Cetest n’est pas robuste : il n’est valable que dans le cas où les lois des échantilons sont toutes normales ; – ilest prudent de demander que chaque effectifnsoit≥5. k

Il est parfois conseillé de diviser la variable de testtpar le facteur correctif : q   1 1 1 C=1+ -  -  –-  . ∑ 3(q–1) n–1N  k   k=1 Remarque : siq= 2, ce test n’est pas équivalent au test du quotient des variances (sauf si les effectifs sont égaux).

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Bayes (formule de), Bayes (théorème de)

Bayes (formule de), Bayes (théorème de) (Bayes formula, Bayes theorem) Nom d’une formule – ou théorème – utilisée pour trouver les « probabilités des causes ».

Formule de Bayes (version simple)

Soient deux évènements A et B d’un espace probabilisé (Ω,A, P), avec P(B)≠0. Alors : P(A∩B) P(A)P(B A) P(A B)=-=-. P(B)P(B)

P(A∩B) Le terme - est la définition de la probabilité conditionnelle, et la formule de Bayes P(B) est son expression avec l’autre probabilité conditionnelle. De façon générale, il s’agit d’exprimer l’une quelconque des deux probabilités conditionnelles en fonction de l’autre. Formule de Bayes (version composée) Soient une partition (H) (ou système complet d’événements) d’un espaceΩ etun j évènement B, avec P(B)≠0. Alors : P(H j ∩B)P(H j )P(B H j ) P(H B)=-=--. j P(B)P(H)P(B H)+P(H)P(B H)+…+P(H)P(B H) 1 1 2 2k k

Les évènements Hpeuvent être considérés comme des causes, et l’évènement B comme un j résultat. Il s’agit bien entendu d’une interprétation dans le contexte d’une modélisation, tous les évènements, causes et résultat, étant de même « nature » mathématique.

Exemple 1 Un dépistage systématique est effectué sur une population dont 6% des individus présentent une certaine affection A non apparente. Ce dépistage est débuté par un test qui donne 95 % de résultats positifs pour les personnes atteintes par A (les autres étant des « faux négatifs ») et 1 % de résultats positifs pour les personnes non atteintes (les « faux positifs »).

Quelle est la probabilité conditionnelle qu’une personne prise au hasard soit atteinte par A sachant que le test a donné un résultat positif ? Soit indemne sachant que le test a donné un résultat négatif ?

On peut représenter la situation soit par un arbre, soit par un tableau à 4 cases : par exemple, dans cette deuxième représentation (S signifie sain, et A porteur de l’affection A), la probabilité de la case « S et test – » est calculée comme le produit P(S)P(test –|S) = 0,9 × 40,99 = 0,9306 ; le tableau est figuré ci-dessous:

S A

test –

0,9306 0,0030 0,9336

test +

0,0094 0,0570 0,0664

0,94 0,06 1

Benford (loi de)

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Ce tableau est complété par les probabilités «marginales », et on peut calculer notamment P(test –) = P(S et test –) + P(A et test –) = 0,9336 (somme par colonne) et de même P(test +) = 0,0664. On peut alors calculer les probabilités conditionnelles demandées : P(A et test +) 0,0570 P(+A test)=-= - ≈0,86 , P(test +) 0,0664 valeur à comparer avec la probabilitéa priori0,06 d’être porteur de A, et : P(S et test +) 0,9306 P(S testÐ)=-= - ≈0,997 , P(test Ð) 0,9336 valeur à comparer avec la probabilitéa priori0,94 d’être sain. Exemple 2 On considère une usine où trois machines fabriquent un même modèle de pièce. 40 % des pièces sont fabriquées par la machine A, qui produit 0,1 % de pièces défectueuses ; 30 % des pièces sont fabriquées par la machine B, plus ancienne, qui produit 0,3 % de pièces défectueuses ; 30 % des pièces sont fabriquées par la machine C, encore plus ancienne, qui produit 0,8 % de pièces défectueuses. On demande la probabilité conditionnelle qu’une pièce ait été fabriquée par la machine C, sachant qu’elle est défectueuse. Appelons A l’évènement « une pièce prise au hasard a été fabriquée par la machine A », B et C les évènements analogues pour les machines B et C. Appelons D l’évènement « une pièce prise au hasard est défectueuse ». Il faut commencer par traduire les pourcentages enproba- bilités et en probabilités conditionnelles : P(A) = 0,4, P(B) = 0,3, P(C) = 0,3, P(D | A)= 0,001, P(D| B) = 0,003, P(D|C) = 0,008. On peut alors calculer le dénominateur de la formule de Bayes P(D) = P(A)P(D| A) + P(B)P(D| B) + P(C)P(D| C) = 0,4×0,001 + 0,3×0,003 + 0,3×0,008 = 0,0037. Et on a enfin : P(C)P(D C) 0,0024 P(C D)=-=-=0,65 P(D)0,0037 On voit ainsi que, pour employer un vocabulaire ancien, la probabilitéa prioriqu’une pièce (prise au hasard) ait été fabriquée par C est 0,30, et que la probabilitéa posterioriqu’elle ait été fabriquée par C sachant qu’elle est défectueuse passe à 0,65. Voirconditionnelle (probabilité). Benford (loi de) (Benford distribution) Loi empirique qui régit la distribution du premier chiffre des nombres pris dans des ensem- bles de données présentant des grandes variations d’échelle. Cette loi a été découverte en 1881 par l’astronome S. Newcomb et redécouverte en 1938 par le physicien F. Benford. Elle énonce que la probabilité d’apparition du premier chiffre significatifkd’un nombre (écrit en base 10) est : 1   P(k) =log 1+- 10   k En particulier P(1) = 0,301≈30 %. L’une des justifications mathématiques de cette loi est son invariance par un changement arbitraire d’unité de mesure. ➤ Utilisation Cette loi a été utilisée dans les années 1990 pour détecter des fraudes comptables par utilisa- tion de données inventées.