Optique géométrique - Rappels de cours et exercices

Agnès Maurel, Jean-Marie Malbec

Description

Chapitre 1Notion de rayons, lois de Descartes, principe de Fermatet stigmatismeUn peu d’histoireLa loi de la réfraction : de Ptolémée à FermatDepuis longtemps les scientifiques avaient constaté que la lumière se divise lorsqu’elle ar-rive à la surface de séparation entre deux milieux, une partie étant réfléchie, l’autre subis-sant une déviation au passage dans le second milieu. Dès l’antiquité, l’égalité des angleseincident et réfléchi est connue. Mais il faudra attendre la fin du XVI siècle pour que la loide la réfraction sous sa forme actuelle (n sin i = n sin i ) soit énoncée. 1 1 2 2On trouve une ébauche de description des rayons réfractés dans les essais de Ptolémée etles savants arabes donneront des tables des angles réfractés en fonction des angles inci-dents pour l’interface eau-verre. Mais c’est seulement en 1611 qu’on trouve la premièreloi de la réfraction dans le « Dioptrique » de Kepler, énoncée sous la forme simplifiée n i1 1= n i (valable pour les faibles angles). C’est un peu injustement que la loi de la réfraction2 2porte le nom de Snell-Descartes car c’est sans doute au mathématicien anglais ThomasHarriot qu’on doit le premier énoncé de cette loi telle qu’on le connaît aujourd’hui. Enfait, Snell l’a probablement trouvé expérimentalement en 1621 puisqu’il n’en proposeaucune démonstration tandis que Descartes en propose une mais très discutable. À l’épo-que, le mathématicien français Fermat s’élève d’ailleurs avec véhémence contre ...

Informations

• Publié par: Udde
• Nombre de lectures: 129
• Langue: Français

Extrait

1 C h a p i t r e N otion de rayons, lois de Descartes, principe de Fermat et stigmatisme

U np e ud ’ h i s t o i r e

La loi de la réfraction : de Ptolémée à Fermat

Depuis longtemps les scientifiques avaient constaté que la lumière se divise lorsqu’elle ar- rive à la surface de séparation entre deux milieux, une partie étant réfléchie, l’autre subis- sant une déviation au passage dans le second milieu. Dès l’antiquité, l’égalité des angles e incident et réfléchi est connue. Mais il faudra attendre la fin du XVI siècle pour que la loi de la réfraction sous sa forme actuelle (n 1 sini 1 =n 2 sini 2 ) soit énoncée. On trouve une ébauche de description des rayons réfractés dans les essais de Ptolémée et les savants arabes donneront des tables des angles réfractés en fonction des angles inci- dents pour l’interface eau-verre. Mais c’est seulement en 1611 qu’on trouve la première loi de la réfraction dans le « Dioptrique » de Kepler, énoncée sous la forme simplifiéen 1 i 1 =n 2 i 2 (valable pour les faibles angles). C’est un peu injustement que la loi de la réfraction porte le nom de Snell-Descartes car c’est sans doute au mathématicien anglais Thomas Harriot qu’on doit le premier énoncé de cette loi telle qu’on le connaît aujourd’hui. En fait, Snell l’a probablement trouvé expérimentalement en 1621 puisqu’il n’en propose aucune démonstration tandis que Descartes en propose une mais très discutable. À l’épo- que, le mathématicien français Fermat s’élève d’ailleurs avec véhémence contre la pseudo- démonstration donnée par le philosophe. Fermat s’attaque alors à l’optique et il énonce en 1650 le principe de moindre temps : par- mi toutes les courbes joignant deux points de l’espace, c’est celle qui correspond au temps de parcours minimal qui est effectivement suivie par la lumière. Mais Fermat n’est pas physicien et ce n’est qu’une dizaine d’années plus tard que la loi de la réflexion est retrou- vée grâce à son principe. Fermat veut aller plus loin et déclare à propos de la loi de la ré- fraction « Il me semble que la chose est aisée et qu’un peu de géométrie pourra nous tirer d’affaire ». Il a raison ! En 1661, il effectue la démonstration de la loi de la réfraction à partir de son principe, offrant ainsi le premier exemple de calcul variationnel appliqué à la physique. Il déclare à ce propos : « Le fruit de mon travail a été le plus extraordinaire, le plus imprévu et le plus heureux qui fût jamais car j’ai trouvé que mon principe donnait justement et précisément la même proportion des réfractions que Monsieur Descartes a établie ».

5

Rappel de cours

1. L’ OPTIQUEGÉOMÉTRIQUE L’optique géométrique se propose de décrire la propagation de la lumière en considérant le trajet derayons lumineux, dont la direction et le sens représentent la direction et le sens de propagation de l’onde lumineuse. Ainsi, dans un milieu transparent, homogène, isotrope, caractérisé par son indice de réfraction, la lumière se propage en ligne droite. Il faut garder à l’esprit que l’optique géométrique n’est valable que si toutes les dimensions du problème, notamment la dimension des diaphragmes qui limitent les faisceaux, sont très supérieures à la longueur d’onde. Sans quoi des phénomènes de diffraction intervien- nent, et la notion même de rayon n’a plus de sens.

◗◗◗ 2. C ARACTÉRISTIQUESD ’ UNMILIEUOPTIQUE 2.1. Milieux transparent, homogène, isotrope Un milieu est dit : - transparents’il laisse passer la lumière (par opposition à un milieu opaque) ; - homogènesi ses caractéristiques optiques sont indépendantes de l’espace ; - isotropesi ses caractéristiques optiques sont indépendantes de la direction selon laquel- le se propage le rayon lumineux.

2.2. Indice d'un milieu c On définit l’indice optiquend’un milieu par :n= - >1 , où c est la vitesse de propaga- v tion de la lumière dans le vide etv sa vitesse de propagation dans le milieu considéré. Plus l’indice d’un milieu est élevé, plus le milieu estréfringent. Dans un milieu transparent inhomogène, l'indice optiquendépend du point de l'espace considéré dans ce milieu.

◗◗◗ 3. P ROPAGATIONDESRAYONSLUMINEUX 3.1. Le chemin optique Le chemin optique entre deux points A et A' correspond à la longueur parcourue par la lumière dans le vide pendant le même temps qu'elle mettrait à parcourir le trajet AA' dans le milieu considéré d’indicen:

’ ’ t A L= cd t = nds AA’ ∫ ∫ A t

3.2. Le principe de Fermat Le principe de Fermatprévoit que le trajet suivi par la lumière du point A au point A' est celui pour lequel le chemin optique est extrémal.

6

Lorsque le milieu est homogène (n= cte), la lumière se propage en ligne droite. La propagation d'un rayon lumineux dans un milieu transparent inhomogène est gouver- née par l'équation dite « équation des rayons » et qui s'écrit : d(nu) grad(n) =- ds oùnest l'indice au point courant M, uest le vecteur unitaire tangent au rayon en M ets l'abscisse curviligne le long du rayon.

M u

3.3. Lois de Descartes • Réflexion et réfractionUn rayon lumineux et la normale au point d’incidence sur la sur- face d’un dioptre ou d’un miroir définissent un plan appelé plan d’incidence. Sii 1 désigne l’angle d’incidence,i’ l’angle réfléchi eti 2 l’angle réfracté par rapport à la normale les lois de Descartes s’énoncent ainsi : Le rayon réfléchi et le rayon réfracté appartiennent au plan d’incidence. Pour la réflexion, on ai’ =i 1 . Pour la réfraction, on an 1 sini 1 =n 2 sini 2 .

• Incidence critique et réflexion totaleLe rayon réfléchi existe toujours ; en revanche, si le rayon se propage d’un milieu vers un autre milieu moins réfringent, il existe un angle d’incidence critiquei c tel que : n 2 sini c =- n 1 Pour un angle d’incidence supérieur ài c y a réflexion totale., il

i 1 i’ n n<n 1 1 2 n 2 i 2

i’

i 2

n n>n 1 1 2 n 2 i<i 1 c

1.NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET STIGMATISME 7

Émergence rasante i c n n>n 1 1 2 n 2 π i=i 1 c 2

Réflexion totale i’

n n>n 1 1 2 n 2 i>i 1 c

4. I NSTRUMENTSOPTIQUES 4.1. Dioptre et miroir On appelledioptreune surface de séparation entre deux milieux homogènes, transpa- rents et isotropes et on considère unmiroircomme un dioptre particulier. Le comporte- ment d’un rayon lumineux à la surface d’un dioptre ou d’un miroir est régi par les lois de Descartes.

4.2. Stigmatisme Un système optique (S) est ditrigoureusement stigmatiquepour deux points A et A’, si tout rayon lumineux issu de A passe par A’ après avoir traversé (S) ; Cette condition cor- respond à un chemin optiqueL AA' constant quel que soit le rayon lumineux considéré. On dit que les points A et A’ sontconjuguéspar rapport à (S). Les cas de stigmatisme rigou- reux étant rares (miroir plan ou dioptre sphérique aux points de Weierstrass), on se con- tente souvent d’unstigmatismeapproché, obtenu pour deux points A et A’ lorsque tout rayon issu de A passe au voisinage de A’ après avoir traversé (S).L AA' n'est alors constant qu'au premier ordre. La relation liant les positions relatives de deux points conjugués est appelée relation de conjugaison.

8