Probabilités et statistique

Jean-Louis Poss

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Extrait

Probabilités
et
Statistiques
Version 2.1 Jean Louis POSS
Mai 20032Table des matières
1 Notion de probabilité 7
1.1 Événements. Espace probabilisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Formule de BAYES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Variables aléatoires discrètes 13
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Couple aléatoire. Variables indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Loi d’un couple aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Espérance mathématique. Variance. Coefficient de corrélation . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Variable aléatoire à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Inégalité de BIENAYMÉ-TCHEBYCHEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7 Lois de probabilité discrètes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7.1 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7.2 Loi multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7.3 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7.4 Loi géométrique (ou loi de PASCAL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7.5 Loi de POISSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Variables aléatoires absolument continues 33
3.1 Variable et vecteur aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Fonction de répartition. Densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Variable aléatoire à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Espérance, variance, coefficient de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Détermination de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Lois de probabilités continues classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
34
3.6.3 Loi normale (ou loi de LAPLACE-GAUSS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6.4 Loi gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6.5 Loi bêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6.6 Loi du khi deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6.7 Loi de STUDENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6.8 Loi de FISHER-SNEDECOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Convergences stochastiques 65
4.1 Différents types de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.2 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Théorème central limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 Application : approximations de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.1 Approximation normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.2 de POISSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Chaînes de MARKOV 71
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Méthodes algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.1 Relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.2 Matrices stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.3 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4 Classification des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.2 Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4.3 Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 Estimation 87
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.2 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2.3 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3 Estimation par intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.2 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4 Estimation d’une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4.1 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4.2 par intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5 Comparaison de moyennes et de variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5.1 Intervalle de confiance de la différence de deux moyennes . . . . . . . . . . 99
6.5.2 Intervalle de du rapport de deux variances . . . . . . . . . . . . . 102
6.6 Méthode du « Bootstrap » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
7 Tests 105
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2 Tests paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2.1 Test de la moyenne pour une loi normale (σ connu) . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2.2 Test de la moyenne pour une loi (σ inconnu) . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.3 Test de l’écart type pour une loi normale (m inconnue) . . . . . . . . . . . . 109
7.2.4 Comparaison de proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2.5 de deux moyennes (observations appariées) . . . . . . . . . . . 111
7.2.6 de plusieurs moyennes (observations non appariées) – analyse
de variance pour un facteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2.7 Probabilité critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3 Test du khi deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8 Régression linéaire 119
8.1 Introduction : lignes de régression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1.2 Cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.2 Régression linéaire simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.2.1 Estimation des paramètres par les moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2.2 Estimation des paramètres par le maximum de vraisemblance . . . . . . . . 126
8.3 Régression linéaire multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.3.1 Estimation des paramètres par les moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . 135
8.3.2 des par le maximum de vraisemblance . . . . . . . . 139
A Dénombrements 143
A.1 Suites. Arrangements sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.2 Combinaisons sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.3 Arrangements avec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B Fonctions eulériennes 145
C Tables numériques 149
C.1 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
C.2 Loi du khi deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
C.3 Loi de STUDENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .