Produit scalaire 2D, cours, avancé

Marcel Délèze

Description

ProduitScalaire-Cours_avance.nb 8Géométrie métriqueEdition 2007-2008 / DELM§ 2 Produit scalaireŸ Liens hypertextesExercices correspondants de niveau avancé:http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/ProduitScalaire2D/ProduitScalaire-Exercices_avance.pdfCours de niveau standard:http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/ProduitScalaire2D/ProduitScalaire-Cours_standard.pdfExercices de niveau standard:http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/ProduitScalaire2D/ProduitScalaire-Exercices_standard.pdfSupports de cours de mathématiques, niveau secondaire II (page mère):http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/index.html§ 2.1 Norme d'un vecteur, vecteur unitaireŸ Norme d'un vecteurNous avons étudié, en première année, que l'on peut représenter un vecteur par des flèches. Celles-ci représentent lemême vecteur si elles ontla même direction,le même sens etla même longueur.fiufiLe vecteur 0 est représenté par un point.fi fi fiDéfinition: la longueur du vecteur u est appelée norme de u et est notée þ uþ.Ÿ Propriétés de la normefi fiPour tous les vecteurs u, v et pour tous les nombres réels k, on afiþuþ ‡0fifi fiþuþ =0 – u = 0fi fiþk ×uþ = ýký × þuþfi fi fi fi fi fiý þuþ - þv þ ý £ þu +v þ £ þuþ + þv þCette propriété est appelée inégalité triangulaire car pour tout triangle (éventuellement dégénéré), la longueur d'un côtéest supérieure ou égale à la différence des longueurs des deux autres côtés mais inférieure ou égale à la somme deslongueurs des deux autres côtés. Le ...

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Extrait







§ 2 Produit scalaire

® u

® ® Pour tous les vecteursu,vet pour tous les nombres réelsk, on a

Propriétés de la norme

Nous avons étudié, en première année, que l'on peut représenter un vecteur par des flèches. Cellesci représentent le même vecteur si elles ont la même direction, le même sens et la même longueur.

® Le vecteur 0 est représenté par un point.

Géométrie métrique

Supports de cours de mathématiques, niveau secondaire II (page mère): http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/index.html

§ 2.1

Edition 20072008 / DELM

® ® ® Définition: la longueur du vecteuruest appelée norme deuet est notéeþuþ.

Norme d'un vecteur, vecteur unitaire

Cours de niveau standard: http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/ProduitScalaire2D/ProduitScalaireCours_standard.pdf

ProduitScalaireCours_avance.nb

Liens hypertextes

8

® þ þ³ u0 ® ® ® þ þ==  u0u0 ® ® þ×þ=ý ý×þ þ k u k u ® ® ® ® ® ® ý þ þ-ýþ þ £þ+þ£þ þ+þ þ u v u v u v

Norme d'un vecteur

Exercices de niveau standard: http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/ProduitScalaire2D/ProduitScalaireExercices_standard.pdf

Exercices correspondants de niveau avancé: http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/ProduitScalaire2D/ProduitScalaireExercices_avance.pdf

Exemple: La distance entre les pointsAH-2; 3LetBH4;-5Lest

0.8 Exemple: le vecteur est unitaire car -0.6

-H-L 4 2 6 þ þ=þ K O þ=O þþ K = AB - - -5 3 8

® þ þ= u

0

y 1

A

¹

Remarque: Attention

+ 9 16

2 2 + 3 4

=

=1.

= + = 3 4 7

=

25

16

Cette propriété est appelée inégalité triangulaire car pour tout triangle (éventuellement dégénéré), la longueur d'un côté est supérieure ou égale à la différence des longueurs des deux autres côtés mais inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. Le lecteur est invité à illustrer cette propriété.

ProduitScalaireCours_avance.nb

Expression de la norme dans un repère orthonormé

y

vecteurs

Définition: un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1.

2 2 0.8+H-0.6L

þ þ= AB

2 2 H-L+H-L x 2 x 1 y 2 y 1

B

x 1

AB

x 2

y 2

2 2 + x y

+ 9

Vecteur unitaire

®   ® Proposition: un vecteur non nulvétant donné, il existe exactement deux vecteursu 1 ,u 2 qui sont à la fois liés àvet unitaires.



= 5



® u

® ® x ® = = × + × =K O uOPx i y j y ® ® -x 2 x 1 =H-L× +H-L× =K O ABx 2 x 1 i y 2 y 1 j -y 2 y 1

mais

2 2 +H-L 6 8

2 2 + 3 4

x

P

9

® ® Par rapport à un repère orthonorméO,i,j, on donne les pointsPHx,yL,AHx 1 ,y 1 L,BHx 2 ,y 2 ) et on considère les

= 10

ProduitScalaireCours_avance.nb

u 2

u 1

® v

® Eneffet, nous cherchons des vecteurs de la formek×vqui sont unitaires

® þ×þ= k v1

On obtient deux solutions





1 =ou k 1 ® þ þ v 1 ® = u 1 v ® þ þ v

® ý ý×þ þ= k v1

= k 2

§ 2.2

ou

Rappel du théorème du cosinus

-1 ® þ þ v

= u 2

- ® 1 v ® þ þ v



ý ý= k

1 ® þ þ v

Produit scalaire de deux vecteurs

10

2 2 2 Dans le théorème du cosinusa=b+c-2b ccosHΑLterme, le -2b ccosHΑL représente la correction à apporter au théorème de Pythagore. Isolons la moitié de ce terme correctif:

1 2 2 2 b ccosHΑL=Ib+c-aM 2

C'est cette forme du théorème du cosinus que nous allons appliquer au triangle formé par deux vecteurs.



Théorème du cosinus pour deux vecteurs

v 1  =H L v v 2

Α

A

 - + v u

® ® Il s'agit de récrire le théorème du cosinus avec les vecteursu,v: ® ® AC=v;b=þvþ;

 u 1 =H L u u 2

ProduitScalaireCours_avance.nb ® ® AB=u;c=þuþ; ® ® ® ® CB=CA+AB= -v+u;a=þu-vþ;   L'angleΑ.désigne l'angle entre les deux vecteurs u et v Le théorème du cosinus devient

2 2 2   1     °u´ °v´cosHΑL=K°u´+°v´-²u-v¶ O 2

Le membre de droite peut s'exprimer avec les composantes des vecteurs par rapport à une base orthonormée

Finalement,



2 2 1     2 1 2 2 2 2 2 2 u v u v u u v v v K° ´+° ´-²-¶ O=II 1 + 2 M+I 1 + 2 M-IHu 1 -v 1 L+Hu 2 - 2 L MM 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 u u v v u2u v v u =I 1 + 2 + 1 + 2 - 1 + 11 - 1 - 2 +2u 2 v 2 -v 2 M 2 =u 1 v 1 +u 2 v 2

  °u´ °v´cosHΑL=u 1 v 1 +u 2 v 2

Définitions du produit scalaire

  Chacun des deux membres de l'équation précédente est dénommé produit scalaire et est notéu.v ® ® Ainsi, par rapport à une base orthonormée, en notantΑ =Ju,vN,

    =þ þ þ þHΑL u.v u vcos u 1 v 1   =K O×K O= + u.v u 1 v 1 u 2 v 2 u 2 v 2

HVoirFormulaires et tablesL

® ® ® ®   Dans le cas particulier oùu=0 ouv=0, on convient queu.v=0.



Si

du produit scalaire, ortho

® ® En tenant compte des propriétés de la norme dans l'expressionþuþ þvþcosHΑL, on obtient

® ® × > u v0

® ® × < u v0

® ® × = u v0













® ® ® ® K¹ ¹ u0,v0 ® ® ® ® K¹ ¹ u0,v0

® ® ® ® K¹ ¹ u0,v0 ® ® ® ® K¹ ¹ u0,v0

® ® ® ® K= = u0,v0 ® ® ® ® K= = u0,v0

et

HΑL>O cos 0

etΑest aiguO

et

HΑL<O cos 0

etΑest obtusO

ou

HΑL=O cos 0

ouΑest droitO

® ® ® ® ¦ Dans ce dernier cas, on dit que les vecteursuetvsont orthogonaux et on noteu v. ® ® ® ® u ¦ vv u 0  × = En composantes dans une base orthonormée

u 1 v 1 ¦ K O K O u 2 v 2



 + = u 1 v 1 u 2 v 2 0

11

ProduitScalaireCours_avance.nb

Interprétation géométrique du produit scalaire

Dans la figure suivante, H est le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur la droite AB (on dit alors que AH est la

projection orthogonale de AC sur la direction de AB).

12

Perpendiculairement à AB en A, on a reporté la longueur de AB (il s'agit plus précisément de l'image du vecteur AB par une rotation de 90° dans le sens rétrograde autour de A).

A

þ þ AB

Α

× AB AC

C

H

B

C

H

- × AB AC

Α

A

þ þ AB

Dans le cas où l'angleΑest aigu, l'aire de la surface grisée représente le produit scalaire AB×AC

þ þ×þ þ=þ þ×þJ þ HΑLN= × AB AH AB AC cos AB AC

B

Dans le cas où l'angleΑest obtus, l'aire de la surface grisée est égale à l'opposé du produit scalaire AB×AC



þ þ×þ þ=þ þ×þJ þ H° - ΑLN= AB AH AB AC cos 180

þ þ×J-þ þHΑLN= - × AB AC cos AB AC

Propriétés du produit scalaire

® ® ® Pour tous les vecteursu,v,wet pour tous les nombres réelsk, on a

® ® ® ® ® ® ® ×J+N= × + × u v w u v u w

HdistributivitéL

® ® ® ® × = ×HcommutativitéL u v v u ® ® ® ® ® ® JN× = ×JN=J×N k u v u k v k u v

® 2 ® 2 =J þ þN u u

Hle carré scalaire est égal au carré de la normeL

Pour les démonstrations, on peut exprimer tous les vecteurs dans une base orthonormée. Par exemple, pour la commutativité, exprimons chacun des deux membres en composantes puis comparons:

u 1 v 1 ® ® × =K O×K O= + u v u 1 v 1 u 2 v 2 u 2 v 2 ® ® v 1 u 1 × =K O×K O= +ce qui établit l 'égalité. v u v 1 u 1 v 2 u 2 , v 2 u 2

Le lecteur est invité à démontrer les autres propriétés.

13



B

ProduitScalaireCours_avance.nb

=

Angle entre deux vecteurs

Exemple 1 (problème résolu)

Calculez les produits scalaires AB×AC, BK×BC, AB×BL, CA×KB,

 + u 1 v 1 u 2 v 2 2 2 2 2 + + u 1 u 2 v 1 v 2

× =þ þ þ þJJ NN×= × H°L= AB AC AB AC cos AB, AC 6 6 cos 60 18

L

K

7 2 × =K O×K O= × +H-L×H-L= AB AC 7 2 2 6 26 - -2 6

Dans un repère orthonormé, on donneAH-2; 3L,H5; 1L,CH0;-3L. Calculez le produit scalaire AB×AC.

® ® × u v HΑL= cos   þ þ þ þ u v

Dans un repère orthonormé, on donneAH2; 3L,BH5; 1L,CH4; 0L. Calculez les angles du triangle.



ABC est un triangle équilatéral de 6 cm de côté; K est le milieu du segment AC; L est le milieu du segment KB.



Exemple 2 (problème résolu)

6 3 × =þ þþ þ JJ NN×= × H°L= BK BC BK BC cos BK, BC 6 cos 30 27 2 3 3 27 × =þ þþ þ JJ NN= × ×H°L= -AB BL AB BL cos AB, BL 6 cos 150 2 2 CA ¦ KB 0KB CA donc× =



De la définition du produit scalaire, on tire

Exemple 3 (problème résolu)

C

ProduitScalaireCours_avance.nb

3 =K O AB , -2

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

-0.5 2 =K O AC , -3

1

A

2

3

-1 =K O BC -1

4 C

B

5

× × +H-L×H-L AB AC 3 2 2 3 HΑL== = cos þ þ þ þ 3 2 2 2 AB AC +H-L +H-L 3 2 2 3 12 Α = » ° arccos 22.62 13 Durant le calcul précédent, on aura remarqué que le triangle est isocèle. Par suite



° - Α 180 Β = Γ = » ° 78.69 2

Produit scalaire et théorème du cosinus

12 13 13

12 = 13

14

C'est en appliquant le théorème du cosinus à la géométrie vectorielle que nous avons construit le produit scalaire. Celui ci est donc apparu comme une conséquence du théorème du cosinus. Nous montrons maintenant que la réciproque est vraie, à savoir que le théorème du cosinus peut se déduire des propriétés du produit scalaire. En effet, pour un triangle de sommets ABC, en utilisant les notations usuelles, on a

2 2 2 2 2 = =J+N= + × + aAC AC2 BA AC BA BC BA 2 2 2 2 = - × + = -þ þ þ þHΑL+ BA 2 AB AC AC BA 2 AB AC cos AC 2 2 2 2 = -HΑL+ = + -HΑLà c2c bcoscb b 2b ccos

Ceci montre que, en calcul vectoriel, il est possible de se passer du théorème du cosinus. Il est d'usage de remplacer ce dernier par les propriétés du produit scalaire.



Définition

§ 2.3 Projections orthogonales [Niveau avancé]

® ® ® ® ® ® Etant donné deux vecteursu,vavecu¹0, on définit la projection orthogonaleP ® JvN du vecteurvsur la direction de u ® ude la manière suivante (les vecteurs représentés ont une origine commune):

ProduitScalaireCours_avance.nb

1) 2)

® v

® H L P v ® u

® ® de l'extrémité dev, on abaisse une perpendiculaire sur le support deu; ® ® P ® JvNest un multiple deu. u

® u

15

® ® ® Attention: la projection orthogonaleP ® JuN du vecteurusur la direction devdonne généralement un tout autre vecteur: v

® v

® H L P u ® v

® u

Dans une projection orthogonale, il est essentiel de bien repérer où se trouve l'angle droit.



Calcul

® ® ® La détermination de la projection orthogonaleP ® JvN du vecteurvsur la direction deuest basée sur les relations u suivantes

L 1

L 2

® ® e ¦ u

où

® ® J N= P v k u ® u

La première relation s'écrit aussi ® ® ® v P v × u0 J- + ® J NN= u

® v

® ® ® = - + ® J N e v P v u

® e

® H L ® P v u

En substitutant la deuxième dans la première, il vient sucessivement

® u

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® ® ® v k u × u0 J- +N= ® ® ® ® v × u k u × u0 - + = ® 2 ® ® k u v × u  = ® ® v × u = k ® 2 u D'après la deuxième relation ® ® v × u ® ® ® J N= P v u u ® 2 u

Remarque: En écrivant en composantes

HVoirFormulaires et tablesL

®  + v 1 u 1 v 2 u 2 u 1 ® J N=K O P v u + u 2 2 2 u 1 u 2 ® ® v × u ® ® on voit bien que, dans l'expression , il n'est pas possible de simplifier par . u u ® 2 u

16