Support de cours MMI2

Nicoud

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Méthodes Mathématiques pour ll’’IngéénieuurSuite de la boite à outils …en 5 séances de cours + 5 séances de TD1Sommaire• Vecteurs et valeurs propres des matrices• Applications aux systèmes d’équations différentielles• Innttégrallees currvviligness et mmultipllees2Objectifs –Auto-évaluationA la fin de la matière, l’étudiant doit pouvoir:• calculer les valeurs et vecteurs propres d’une matrice de dimension 2 ou 3.• appppliqueerr la ddéécomppoositionn en éélémennts propres à la résolution d’un système d’équations différentielles• calculer des intégrales curvilignes, de surface, de volume avec changement de variables3Vecteurs et valeurs propres des matrices4lIntroductionDeux grandes classes de problèmes en algèbre linéaire:• Résoudre un système linéaire d’équationsAX = bDéjà vu en STE3• Trouver les éléments propres d’une matricesAX =λXX: vecteur propre: valeur propreL’objectif de ce cours5Pourquoi faire ?• La détermination des éléments propres d’une ma tricecarrée a de multiples applications: résonnance, traitement d’image, géométrie, recherche sur le , webbaallaançoiree,, vibrattiioon, maarrcché finnaancier, rrésolutt iiooddne certaines équations aux dérivées partielles (éqouna tdie la chaleur), des systèmes d’équations différenetise llordinaires (EDO), …• Voici un exemple concret à partir du système d’EDO suivant …6--Exemple introductifdv= 4v 5wdt• Système différentiel de taille 2:(S)dw• Les inconnues sont ...

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Extrait

Suite de la boite à outils … en 5 séances de cours + 5 séances de TD

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nt gra es curv

gnes et mu t p es

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app quer a compos t on en ments propres à la résolution d’un système d’équations différentielles calculer des intégrales curvilignes, de surface, de volume avec changement de variables

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propres des matrices

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Trouver les éléments propres d’une matrices AX1λX X: vecteur propre l: valeur propre

L’objectif de ce cours

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       certaines équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur), des systèmes d’équations différentielles ordinaires (EDO), …

Voici un exemple concret à partir du système d’EDO suivant …

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Il s’agit d’un problème aux conditions initiales tel que souvent rencontré en pratique (ex: modèle de type proie-prédateur) Ici on prendra v(0)=8 et w(0)=5 et le but du jeu est de trouver v(t) et w(t) pourt>0

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Le système différentiel (S) est alors équivalent à: d dt U 1 U(0)AU, avec1    8 5    C’est une équation linéaire du premier ordre pour la nouvelle inconnue U(t)

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u •

1u e, en a :u1eu e1ucose Le comportement pour les grandes valeurs detdépend de la valeur du paramètre (éventuellement complexe)a= a +i b : –a> 0: solution instable –a< 0: solution amortie qui tend vers zéro –b≠0: solution oscillante amortie, instable ou à amplitude constante

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   l e e l t t z y14 e e l t t y%5e l l t t z l l 12 l y%3e z

•Qui se simplifie en % 1 o en    4 2y y % 5 3z z 1 l l y z  u

notation matricielleAX1λX avec X1    z y   

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dire déterminer la ou les valeurs propreslet les vecteurs propres associés      X      1    [    y        z   ]  t , alors on connait la solution du système différentiel (S):

  v(t)1ye lt  w(t)1ze lt

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