these
70 pages
Français
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres
70 pages
Français
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

Table des matièresIntroduction Générale 40.1 Note historique ................................ 40.2 Linéarisation .................... 50.3 Contribution..................... 61Rappels 81.1 Introduction............. 81.2Linéarisationoptimale............................ 91.3 Dérivation optimale................. 101.3.1 Estimationdel’erreur........................ 142Influence du Choix de la Condition Initiale pour l’Application de laDérivée Optimale 172.1 Introduction. ................................. 172.2 Problématique 182.3 Applications..................... 182.3.1 Exemple-1- .............................. 182.3.2 Exemple-2- . 262.3.3 Exemple-3- . 32.4Conclusion................................... 4113 RelationEntrelaDérivéeOptimaleetlaDérivationauSensdeFréchet. 433.1 Introduction.................................. 433.2 Relation entre la dérivée optimale et la dérivation au sens de Fréchet en 0. 443.3 Problématique.................... 43.4 Applications............. 453.5Analysedesrésultats............................. 514 Applications-Ecueilsàlabonneutilisationdelalinéarisationclassique 534.1 Introduction.................................. 534.2 Applications 544.2.1 Cas où la fonction n’est pas di fférentiableen0........... 544.2.2 Cas où la di fférentieleenzéroestnule............... 564.2.3 Casd’unnoeud............................ 58Conclusion Générale 62Bibliographie 642Introduction Générale3Introduction Générale0.1 Note historiqueLe ...

Informations

Publié par
Nombre de lectures 45
Langue Français

Extrait

Table des matières Introduction Générale 4 0.1 Note historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.2 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.3 Contribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Rappels 8 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Linéarisation optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Dérivation optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Estimation de lerreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Inla Condition Initiale pour lApplication de lauence du Choix de Dérivée Optimale 17 2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1 Exemple-1- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.2 Exemple-2- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.3 Exemple-3- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1
3 Relation Entre la Dérivée Optimale et la Dérivation au Sens de Fréchet. 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Relation entre la dérivée optimale et la dérivation au sens de Fréchet en 0. 3.3 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Analyse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Applications - Ecueils à la bonne utilisation de la linéarisation classique 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Cas où la fonction nest pas diérentiable en 0 . . . . . . . . . . . 4.2.2 Cas où la di . . . . . . . . . . . . . . .érentielle en zéro est nulle 4.2.3 Cas dun noeud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion Générale
Bibliographie
2
43 43 44 44 45 51
53 53 54 54 56 58
62
64
Intro
duction
Générale
3
Introduction Générale
0.1 Note historique
Le premier enseignement sur les équations diérentielles fondé explicitement sur les théo-ries principales de la topologie générale est celui deS.Lefchetz(1948). Cet auteur à été suivi avec raison par pas mal dautres ouvrages [28], [44], [19] [45] consacrés à ce sujet. Mais les diérents travaux consacrés aux équations diérentielles sont devenus moins accessibles aux utilisateurs. De nos jours beaucoup de non-mathématiciens, quils soient ingénieurs, physiciens, économistes, ... ont besoin de plus en plus de la théorie des équa-tions diquils nont pas reçu une formation mathématique assezérentielles, sachant avancée pour entrer de plein-pied dans des ouvrages comme ceux deJ.K.Hale(1969) ou deA.Halanay(1966) (pour nen citer que ces deux). Il faut savoir que la plupart de ces équations sont globalement de nature non linéaire. Lanalyse dun système non linéaire pose un problème que lon a essayé de résoudre au moyen des méthodes analytiques. Lutilisation des variables détat pour la représentation des systèmes est apparue en premier lieu en automatique. Son application sest généralisée à diérents domaines en particulier en électronique et électrotechnique. Cette utilisation sest avérée pratique car elle permet décrire des rela-tions vectorielles et matricielles simpliées. Parmi ces problèmes non linéaires, une classe importante est modélisée par des équations diérentielles ordinaires non linéaires de la
4
forme
ddtx=F(x, t) x(0) =x0,
(0.1)
t:est le temps (variable indépendante). x:est le vecteur détat composé de variables détat. La théorie des équations diérentielles ordinaires constitue lun des principaux instru-ments des mathématiques, elle permet détudier une quantité de processus dévolution déterministes,nis et diérentiables.
0.2 Linéarisation Les méthodes de linéarisation jouent donc un rôle très important dans létude de ces systèmes non linéaires qui sont en général, modélisés par des équations diérentielles ordinaires non linéaires. Si beaucoup de systèmes peuvent admettre un domaine de com-portement linéaire, la linéarité représente une approximation de la réalité. Lapproxima-tion la plus classique est celle déterminée par la dérivée au sens de Fréchet de léquation non linéaire. Sagissant de létude du comportement des solutions dune équation non linéaire autour dun point singulier, la linéarisation classique ne permet pas de répondre par exemple, dans le cas où la fonction nest pas assez régulière où elle est nulle. Ce qui justie la recherche dautres techniques de linéarisation pouvant donner des résul-tats satisfaisants concernant létude de ces problèmes non linéaires. Parmi ces techniques on peut citer la méthode de linéarisation optimale introduite par Vujanovic [15] et elle est basée sur le principe des moindres contraintes de Gauss. Elle consiste à minimiser lécart au sens des moindres carrés entre léquation non linéaire et léquation linéaire. En sinspirant du même principe de base (ArinoBenouaz) [51],[57],[64],[58] ont associé une matrice optimaleAnissant une application linéaire (Dérivée optimale) à une équation diordinaire non linéaire. Le système linéaire obtenu est une sorte deérentielle
5
valeur moyenne des dérivées de la fonction non linéaire le long des trajectoires partant dex0et allant à lorigine. Celle-ci sera vue comme une alternative à la dérivée au sens de Fréchet, indispensable dans le cas déquations comportant des fonctions non régulières et en général non dérivables.
0.3 Contribution
Depuis lévénement voici une trentaine dannées dordinateurs puissants, les méthodes numériques remplacent de plus en plus les méthodes analytiques. Plusieurs travaux ont été consacrés à ce sujet citons à titre dexemple [39] [40] [41] [45] [46]... La contribution dans cette thèse est le prolongement des travaux entrepris parBendah-maneetChikhaoui(2000) [66] [67] etBelkhoucheetSabri(2001) [69] [70], à la suite de (Aazouen-Bnori) [54] [53] [49] [52] [51] [57] [64] [56] . Après une introduction, nous présentons des rappels des diérentes méthodes de linéari-sation dans le premier chapitre. Le chapitre deux est consacré aux tests concernant linuence des conditions initiales. Ainsi, on compare les résultats obtenus en calculant la linéarisation classique au point déquilibre et les résultats donnés par la dérivation optimale en choisissant des conditions initiales de plus en plus proche du point déquilibre. La comparaison est faite en calculant lerreur quadratique. Dans le troisième chapitre, on étude la relation entre la linéarisation classique au point déquilibre et la dérivée optimale. Enlapplication de la linéarisation classique au pointn, les écueils qui ne permettent pas déquilibre sont abordés au quatrième chapitre ainsi que lutilisation de la dérivation op-timale comme alternative. Une conclusion termine notre mémoire.
6
Premier
Rapp
els
Chapitre
7
Chapitre 1
Rappels
1.1 Introduction
Les méthodes de linéarisation jouent un rôle important dans létude des équations dié-rentielles ordinaires non linéaires, dont on peut dire que tout système linéaire nest jamais que le modèle simplique lon veut ignorer. Bien entendu,é dun système non- linéaire un certain nombre de questions propres aux problèmes linéaires peuvent se généraliser aux problèmes non linéaires si, dune part, les perturbations dues aux non-linéarités sont petites et, dautre part, à la structure des problèmes linéarisés correspondants qui intro-duit assez de régularité. Cest pourquoi, on parvient à rester dans le domaine dapplication du modèle linéaire qui est séduisant par sa simplicité dans les calculs et, pour lequel la disponibilité dune théo-rie relativement complète permet de résoudre totalement les équations linéaires. Cette théorie est en fait une branche de lalgèbre linéaire. La linéarisation la plus classique est celle déterminée par la dérivée au sens de Fré-chet en ces points. Lexistence décueils importants à la bonne utilisation de cette mé-thode (fonction non-linéaire ou dérivée nulle, etc..), a suscité plusieurs recherches pour établir dautres techniques de linéarisation permettant dapprocher mieux les systèmes non linéaires; lune delles, appeléeLinéarisation optimale,est basée sur le principe de
8
moindres contraintes de Gauss, a été introduite à lorigine parVujanovic(1973), [15] initialement pour létude des vibrations non linéaires. Récemment, elle a été utilisée par Jordan et al., [32][33][34] dans le cas du transfert de chaleur et de la linéarisation des équations détats non linéaires [30]. Une nouvelle méthode de linéarisation, appeléedérivée optimale,a été introduite par Arino-Benouaz[51],[57],[58],[64], basée sur le principe des moindres carrés elle permet dassocier une application linéaire à une équation non linéaire. Elle est conçue comme une alternative à la dérivée au sens de Fréchet, indispensable au cas déquations comportant des fonctions non régulières et en général non dérivables.
1.2 Linéarisation optimale
Considérons léquation non-linéaire suivante dtdx=F(x) x(0) =x0,
(1.1)
lappliquation de la méthode de linéarisation optimale nécessite la vérication des hypo-thèses suivantes: i)La solution de léquation du système non linéaire(1.1)existe et elle est unique. ii)Les circuits étudiés oscillent lentement avec le temps. iii)Les systèmes non linéaires étudiés et les systèmes linéaires obtenus sont stables, cest à dire que la matrice de léquation linéarisée admet des valeurs propres dont les parties réelles sont négatives. Le but étant dassocier une application linéaire à léquation non linéaire(1.1)de la forme dx =Ax dt(1.2) x(0) = 0. 9
En minimisant lécartε(t)entre(1.1)et(1.2) :
ε(t) =F(x(t))Ax(t),
au sens des moindres carrés le long de la solution du système ddxt=Ax(t) x(0) = 0,
(1.3)
(1.4)
Aétant la Jacobienne deFen 0 oùDF(x)existe. La résolution du problème doptimisation ainsi posée se réduit à la résolution de léquation suivante k=Xn1aikZ0+dt xkxj=Z+0dt xjfi(i= 1,2,· · ·, n;j= 1,2,· · ·, n),(1.5) ce qui permet daboutir au problème linéaire optimale1
x=Ax,
sous les mêmes conditions initiales que le problème non linéaire.
1.3 Dérivation optimale
(1.6)
Aallons rappeler la méthode de la dérivéen de mieux situer la problématique, nous optimale qui est en fait une approximation globale,[51],[57],[58], [64], qui se distingue du cas linéaire classique au voisinage dun point stationnaire. Lapproche suivie est de type optimisation. Son utilisation est liée aux cas déquations comportant des fonctions non régulières et, en général, non dérivables. Elle permet dassocier une matrice optimaleAnissant une 1Les programmes ont été élaborés dans les travaux de Bensnane dans le cadre de sa thèse de Magister. 10
(1.7)
(1.8)
application linéaire(1.7) : dxdx(t=0)Ax =x0 à une équation diérentielle ordinaire non linéaire tdxd=F(x) x(0) =x0, dans laquelleFvérie les hypothèses suivantes H1)F(0) = 0 . H2)Le spectreσ(DF(x))est contenu dans lensemble{z:Rez <0}pour toutx6= 0, dans un voisinage de0, oùDF(x)existe. Cette hypothèse permet un choix de la matrice initiale pour démarrer la procédure de calcul de la méthode. A cet eet les valeurs propres de la matrice initiale choisie doivent être à partie réelle strictement négative. Dans la pratique, toute matrice initiale stable permet de retrouver le résultat escompté par lapplication de cette procédure. H3)Fet Lipschitzienne. Cette hypothèse assure la régularité de presqueest continue, partout diérentiable. La méthode consiste à déterminer une application linéaireAde(1.7)qui permet dappro-cher léquation non linéaire(1.8)sous les mêmes conditions initiales. Elle est basée sur la minimisation au sens des moindres carrées de lécartε(t)entre la partie non linéaire F(x(t))et la partie linéaireAx(t),soit :
ε(t) =F(x(t))Ax(t).
Pour ce faire, on considère la fonctionnelle suivante kF(x(t))Ax(t)k2dt. G(A) =Z+0
11
(1.9)
(1.10)
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • Podcasts Podcasts
  • BD BD
  • Documents Documents