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dwwfdwpfwdf173ANNEXE GOnde électromagnétique et PolarisationUne onde plane électromagnétique est définie par son vecteur d’onde k (contenant la direction et le sens depropagation, ainsi que la pulsation de l’onde sous la forme = k.c où c est la célérité de la lumière dans lemilieu), et la variation de son champ électrique E(t) au cours d’une période 2 / . Cette notation compacte n’estpas très facile à manipuler. C’est ainsi qu’ont été introduits les paramètres de Stokes [Kraus, 1966]. Ils décriventles propriétés de puissance et de polarisation de l’onde. Pour décrire complètement un onde électromagnétique, ilconviendra d’ajouter à ces paramètres un vecteur unitaire colinéaire au vecteur d’onde qui donnera la direction etle sens de propagation de l’onde.G.1 Paramètres de Stokesˆ ˆ ˆOn définit le repère de l’onde tel que le vecteur Z soit parallèle au vecteur d’onde, X et Y complètent la basew w wˆ ˆ ˆorthonormée directe (voir figure G.1). On écrit alors le champ électrique sur ces axes (X ,Y ,Z ):w w w a exp(i( t+ ))1 0E= a exp(i( t+ )+ i ) (G.1)2 0 0où est la phase à t = 0.0Les corrélations entre les composantes non nulles du champ électrique (E et E ) s’écrivent de la manièreX Ysuivante : 2< E .E > = < a > X X 1 2< E .E > = < a >Y Y 2 (G.2)< E .E > = < a a exp( i )> X 1 2Y < E .E > = < a a exp(i )>Y 1 2XUne moyenne temporelle, dénotée < >, est effectuée sur un temps plus long que la période (c’est le tempsd’intégration ...

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ANNEXE G

Onde électromagnétique et Polarisation

Une onde plane électromagnétique est définie par son vecteur d’ondek(contenant la direction et le sens de propagation, ainsi que la pulsation de l’onde sous la formew=k.coùcest la célérité de la lumière dans le milieu), et la variation de son champ électriqueE(t)au cours d’une période 2p/w. Cette notation compacte n’est pas très facile à manipuler. C’est ainsi qu’ont été introduits les paramètres de Stokes [Kraus, 1966]. Ils décrivent les propriétés de puissance et de polarisation de l’onde. Pour décrire complètement un onde électromagnétique, il conviendra d’ajouter à ces paramètres un vecteur unitaire colinéaire au vecteur d’onde qui donnera la direction et le sens de propagation de l’onde.

G.1 Paramètresde Stokes ˆ ˆˆ On définit le repère de l’onde tel que le vecteurZ w soit parallèle au vecteur d’onde,X w etY w complètent la base ˆ ˆ ˆ orthonormée directe (voir figure G.1). On écrit alors le champ électrique sur ces axes(X w ,Y w ,Z w ): a 1 exp(i(wt+f 0 )) E= a 2 exp(i(wt+f 0 ) +id) (G.1)  0 oùf 0 est la phase àt=0. Les corrélations entre les composantes non nulles du champ électrique (E X etE Y ) s’écrivent de la manière suivante :  ∗2 <E>=< X .E X a> 1   ∗2 <E Y .E>=<a> Y 2 (G.2) ∗ <E X .E>=<a 1 a 2 exp(−id)> Y   ∗ .E>=<a aexp(id)> <E Y X1 2

Une moyenne temporelle, dénotée<∙ ∙ ∙>, est effectuée sur un temps plus long que la période (c’est le temps d’intégration du récepteur par exemple).

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ANNEXE G.ONDE éLECTROMAGNéTIQUE ET POLARISATION

ˆ ˆ ˆˆ F IG . G.1 –Repère de l’onde associé à une antenneh. Le repère(O,X w ,Y w ,Z w )est construit tel que Z w soit co ˆ ˆ linéaire àket que l’antennehsoit dans le plan(O,X w ,Y w ). Le champ électriqueE(t)est défini par sa norme E(t) et son azimuthf(t). Il décrit une ellipse, représentée en grisé, inscrite dans un cercle de rayon E 0 . La phase du champ électrique est définie parf(t) =wt+f 0 , oùwest la pulsation de l’onde etf 0 la phase à t=0. L’antenne ˆ hest inclinée d’un angleqpar rapport à l’axe Z w .

G.2. ELLIPSEDE POLARISATION

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On définit les paramètres de Stokes [Kraus, 1966] qui sont les paramètres décrivant complètement le flux et la 1 polarisation de l’onde. Le premier,S) :, caractérise le flux (c’est le module du vecteur de Poynting moyen

∗ ∗ 2 2 <E X .E>+<E Y .E > <a>+<a> X Y 1 2 S= = 2Z 0 2Z 0 p avecZ 0 =µ 0 /e 0 =120p W. Deux autres,QetU, caractérisent la polarisation linéaire de l’onde :

∗ ∗ 2 2 <E X .E X >−<E Y .E > <a>−<a> Y 1 2 Q= = ∗ ∗ <E X .E>+<E Y .E>2Z 0 S X Y

∗ ∗ E> <E X . Y .E +<E Y X > <a 1 a 2 cosd> U= = ∗ ∗ <E X .E>+<E Y .E>Z 0 S X Y Le dernier,V, caractérise la polarisation circulaire :

∗ ∗ <E.E>−<E. >asind> Y XX E Y <a 1 2 V= = ∗ ∗ i(<E X .E>+<E Y .E>)Z 0 S X Y

(G.4)

(G.5)

(G.6)

(G.7)

2 3 La convention(IRE )adoptée en 1942 sur le sens de polarisation des ondes impliqueV= +1 pour une onde est 4 polarisée circulairement à gauche (LHC) etV=−1 pour une onde est polarisée circulairement à droite (RHC). On tire des définitions cidessus:  ∗ <E X .E>=Z 0 S(1+Q)  X  ∗ <E Y .E>=Z 0 S(1−Q) Y (G.8) ∗ =Z <E X .E Y > 0 S(U−iV)   ∗ <E Y .E>=Z 0 S(U+iV) X

G.2 Ellipsede Polarisation Le champ électrique d’une onde électromagnétique quelconque dont les composantes sont données par l’ex pression G.1 décrit une courbe dans le plan d’onde. Cette courbe fermée est une ellipse dont a va trouver les paramètres. Les composantes du champs électrique dans le plan d’onde sontE x =a 1 coswtetE y =a 2 cos(wt+d). En développantE y et en y injectantE x on obtient : s   2 E x E x E y =a 2 cosd−a 2 1−sind(G.9) a 1 a 1 Ceci nous mène a l’expression suivante :    2 2 E x E y 2E x E y cosd 2 +−=sind(G.10) a 1 a 2 a 1 a 2 1. Le module du vecteur de Poynting instantané est : 2 −→ E∧B|E(t)| p µ 0 Z 0   = =(G.3)  

2. Cette convention est l’inverse de celle prise par les opticiens [Born et Wolf, 1993] . 3. International RadioElectric  4. LHC correspond à une rotation deEdans le sens direct quand on regarde dans la direction dek( ⊗ ).

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ANNEXE G.ONDE éLECTROMAGNéTIQUE ET POLARISATION

F IG . G.2 –L’ellipse de polarisation

2 2 On reconnaît l’expression d’une ellispe,E1, dans sa forme la plus génerale, avec A x − B E x E y + C E=les coeffi y cients suivants : 1 2cosd1 A = B = C =.(G.11) 2 22 22 asinda 1 a 2 sindasind 1 2 Par définition, une ellipse est l’ensemble des points du plan dont la somme des distances á deux points fixesF 1 etF 2 (appelés foyers) séparés d’une distance 2cest une constante positive 2a. Pour simplifier les calculs, on place le centre du segment[F 1 F 2 ]en O, c’est le centre de l’ellipse. Les coordonnées deF 1 sont(ccost,csint)et celles deF 2 sont(−ccost,−csint). L’ensemble des points de l’ellipse est donc décrit par l’équation suivante : q q 2 22 2 2a= (x+ccost() +y+csint) +(x−ccost) +(y−csint)(G.12) Celleci peut s’écrire sous la forme : 2 2 22 2 2 2 a−ccosta−csint2ccostsint 2 2 x+y−xy=1 (G.13) 2 22 22 22 22 a(a−c)a(a−c)a(a−c) Après identification des termes, on trouve que : 2 2Z 0 SV 2 2 OA=a= p = p (G.14) 2 2 2 2 A + C −( A − C ) + B 1−Q+U 2 2Z 0 SV 2 2 OB=b= p = p (G.15) 2 2 2 2 A + C + ( A − C ) + B 1+Q+U B 2a 1 a 2 cosdU tan 2t== =(G.16) 2 2 C − A a− a Q 1 2 Le rapport des axes vaudra donc : s p 2 2 OA1+Q+U = p (G.17) 2 2 OB 1−Q+U G.3 Equivalencedes 2 notations On décrit les caractéristiques de polarisation d’une onde de deux manières : – Leflux totalI, le taux de polarisation linéaireP L , le taux de polarisation circulaireP C (dont le signe indique le sens de polarisation) et l’angle de polarisation linéaireA PL (qui désigne l’angle de la direction de polarisation linéaire en fonction d’une direction de référence).

G.4. ROTATIONDU REPèRE

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– Lesquatre paramètres de Stokes,S,Q,UetVque l’on a déjà vu. P L etP C sont les fractions du flux total qui sont polarisée respectivement linéairement et circulairement. Ces deux ensembles de paramètres sont des descriptions équivalentes. En effet, on a déjàI=S. Le taux de polarisation p 2 2 linéaire estP L =U+Q. Le taux de polarisation circulaire estP C =V. La position angulaire du grand axe de l’ellipse de polarisation est 1/2 arctan(U/Q), comme on l’a vu au paragraphe précédent.

G.4 Effetde la rotation du repère autour du vecteur d’onde sur les paramètres de Stokes Les expressions des paramètres de Stokes obtenues précédemment sont valables pour le repère(X w ,Y w ,Z w ). 0 0 0 Effectuons une rotation d’angleade ce repère autour de l’axeZ w . On appelera(X w ,Y w ,Z w )ce nouveau repère. On obtient l’expression suivante pour le champ électrique : 0 w aw d a E X =a 1 exp(i t)cos+a 2 exp(i t+i)sin E= E Y =a 2 exp(iwt+id)cosa−a 1 exp(iwt)sina (G.18) 0  E Z 0 = 0 Les expressions des corrélations entres les champs électriques mesurés sur les antennes deviennent :  ∗ 2 2 2 2 >=<a+<a>sina+2<a acosd>cosasina <E X .E X >cosa 2 12 1 ∗ 2 2 2 2 <E Y .E>=<a>cosa+<a>sina−2<a 1 a 2 cosd>cosasina  Y 2 1  ∗ 2 .E>=<a aexp(−id)>−2<a acosd>sina <E X Y1 21 2 (G.19) 2 2 −(<a>−<a>)cosasina 1 2 ∗ 2 <E Y .E>=<a 1 a 2 exp(id)>−2<a 1 a 2 cosd>sina  X  2 2 −(<a>−<a>)cosasina 1 2 En reprenant les expressions des paramètres de Stokes, on obtient la relation suivante :     S0 01 0S Q0 cos(2a)sin(2a)0Q  =(G.20)     U0−sin(2a)cos(2a)0U V0 00 1V a0 Les paramètres de polarisation linéaireQetUdépendent donc de l’orientation des axesX w etY w . Il convient donc de bien spécifier l’orientation des ces axes avant d’interpréter les valeurs de ces paramètres. Les expressions des paramètres de Stokes (équations G.4 à G.7) sont données dans le repère de l’onde. Dans le cas qu’on étudie ici (onde plane électromagnétique), le champ électrique est dans le plan d’onde (X w ,Y w ). Le repère de l’onde est défini par la direction de propagation, perpendiculaire au plan d’onde, et par un des axes du plan d’onde dont l’orientation est choisie en fonction de l’objet observé. On ne considère donc pas les rotations dont l’axe n’est pas le vecteurZ w . Les expressions G.4 à G.7 ne seraient alors plus valides.

Propriété 2 21/2 Le fluxS, le taux de polarisation circulaireV, le taux de polarisation linéaire(Q+U)sont conservés cette transformation et ne dépendent donc pas de l’orientation du repère de l’onde.