These : Systèmes optimaux basés sur le modèlede Navier-Stokes

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249Annexe D Systèmes optimaux basés sur le modèlede Navier-Stokes SommaireD.1 Minimisation de la traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250D.1.1 Méthode des multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251D.1.2 Approche du gradient par les sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256D.1.3 Approche du gradient par l’équation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . 257D.2 Écoulement cible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258L’objectif de cette annexe est de déterminer, pour une fonctionnelle coût donnée, le système optimalassocié au cas où le modèle de Navier-Stokes est utilisé comme équations d’état. Cette approche, à l’opposéde ce qui est réalisé dans ce mémoire, a jusqu’ici rencontré un grand intérêt en contrôle d’écoulement: citonspar exemple les travaux de Joslin et al. (1995); Gunzburger (1999, 2000); He et al. (2000); Bewley et al.(2001); Protas et Styczek (2002); Homescu et al. (2002) et cela en dépis d’un formalisme assez lourd à mettreen œuvre comme le lecteur pourra le constater par la suite.Dans ce mémoire, nous cherchons à minimiser la traînée générée par un cylindre circulaire et cela en lefaisant tourner autour de son axe principal de manière instationnaire. Cet objectif peut se traduire mathé-matiquement par différentes fonctionnelles J que l’on souhaite optimiser sous les contraintes du modèle deNavier-Stokes. A la section D.1, on prendra comme ...

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Extrait

Annexe

D

Systèmes optimaux de NavierStokes

Sommaire

basés

sur

le

modèle

D.1 Minimisation de la traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 D.1.1 Méthode des multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 D.1.2 Approche du gradient par les sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 D.1.3 Approche du gradient par l’équation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 D.2 Écoulement cible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

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L’objectif de cette annexe est de déterminer, pour une fonctionnelle coût donnée, le système optimal associé au cas où le modèle de NavierStokes est utilisé comme équations d’état. Cette approche, à l’opposé de ce qui est réalisé dans ce mémoire, a jusqu’ici rencontré un grand intérêt en contrôle d’écoulement : citons par exemple les travaux de Joslinet al.(1995); Gunzburger (1999, 2000); Heet al.(2000); Bewleyet al. (2001); Protas et Styczek (2002); Homescuet al.(2002) et cela en dépis d’un formalisme assez lourd à mettre en uvre comme le lecteur pourra le constater par la suite.

Dans ce mémoire, nous cherchons à minimiser la traînée générée par un cylindre circulaire et cela en le faisant tourner autour de son axe principal de manière instationnaire. Cet objectif peut se traduire mathé matiquement par différentes fonctionnellesJque l’on souhaite optimiser sous les contraintes du modèle de NavierStokes. A la section D.1, on prendra comme fonctionnelle objectif directement la traînée (Gunzburger, 1997b). Par la suite, nous poserons le problème différemment (section D.2), et nous chercherons à déterminer le contrôle qu’il faut appliquer à l’écoulement pour que celuici tende vers une autre organisation connue pour générer une plus faible traînée. D’après Protas et Wesfreid (2002), l’écoulement générant, pour un nombre de Reynolds donné, le plus faible coefficient de traînée, est l’écoulement instable correspondant, solution qu’il est relativement aisé à calculer.

Pour déterminer le système optimal associé à la minimisation de la fonctionnelle représentative de la traî née (§ D.1), les trois méthodes d’optimisation présentées à la section 2.4, à savoir méthodedes multiplicateurs de Lagrange, approche du gradient parles sensibilitéset approche du gradient parl’équation adjointeseront successivement utilisées. Dans le cas où l’on souhaite approcher l’écoulement de la solution instable (§ D.2), seule la méthode des multiplicateurs de Lagrange sera mise en uvre.

Nous considérons encore dans ce chapitre, que la loi de contrôle à déterminer est la vitesse tangentielle du cylindre que l’on cherche sous la forme d’une fonction harmoniqueγ(t) =Asin(2π St f t)oùAest l’amplitude etSt f le nombre de Strouhal du contrôle. La loi de contrôle comportant deux degrés de liberté, la méthode des sensibilités sera moins efficace que les deux autres méthodes car il sera alors nécessaire de résoudre un système d’équations linéaires supplémentaire.

Le système optimal donnera donc les gradients de la fonctionnelle à optimiser par rapport à l’amplitude Aet au nombre de StrouhalSt f du contrôle. Une fois ces gradients évalués, une des méthodes de gradient

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présentées à l’annexe C pourra être utilisée pour minimiser la fonctionnelle objectifJ.

Les équations d’état sont données par le modèle de NavierStokes (1.3) auquel on ajoute des conditions initiales et aux limites appropriées au problème :  ∂u1 + (u∙ ∇)u+∇p−Δu=0 ∂t Re

∇ ∙u= 0   u(x, t) =Asin(2πSt f t)t(x)

u(x, t) =b(x, t)surΓ\Γ c   u(t= 0) =u 0 (x).

surΓ c

(D.1)

où,best une fonction donnée, qui peut éventuellement dépendre du temps pour tenir compte des condi tions aux limites de type non réflectif imposées à la simulation numérique (section 1.3.2) et oùtest le vecteur tangent au cylindre au pointx.

Le système (D.1) peut s’écrire formellementF(u, p, A, St f ) =0.

Dans un premier temps, nous allons déterminer le la traînée (§ D.1), puis nous déterminerons le système d’un écoulement donné (§ D.2).

D.1

Minimisation de la traînée

système optimal

optimal correspondant à la minimisation de lorsque l’on souhaite approcher l’écoulement

Dans cette section, notre objectif est de minimiser une quantité physique représentative de la traînée. Le 1 problème revient donc à minimiser la fonctionnelle objectif donnée par l’expression :

Z Z Z Z T T 1 J(u, p, A, St f ) =−p∇ ∙udΩdt+D(u) :D(u)dΩdt Re 0 Ω 0 Ω Z Z   (D.2) T α β 2 2 +A+St dΓdt f 2 2 0 Γ c   1 T oùD(u) =∇u+∇uest le tenseur des vitesses de déformation. 2 2 Les deux premiers termes de la fonctionnelle (D.2) modélisent mathématiquement la traînée (Gunzbur ger, 1997b). Le troisième terme est un terme dit de régularisation, pour des valeurs deαetβfaibles, ou de pénalisation, pour des valeurs deαetβélevés, qui permettent de prendre en compte l’importance du coût lié au contrôle.

Le problème d’optimisation avec contraintes peut alors s’énoncer de la manière suivante :

Déterminer les variables d’état(u, p)et les variables de contrôle(A, St f )qui minimisent la fonctionnelle objectifJ(u,p,A,St f )sous contraintes des équations d’étatF(u,p,A,St f ) =0.

Ce problème peut se résoudre de trois manières (voir section 2.4) : 1. par la méthode des multiplicateurs de Lagrange (§ D.1.1),

1. Attention : on a convenu ici de noterA:B=A ij B ji le produit doublement contracté. D’autres auteurs font le choix inverse. 2. En raison de l’incompressibilité du fluide (∇∙u= 0), le premier terme de cette fonctionnelle devrait être omis, mais pour des raisons qui devriendront claires lors des développements ultérieurs, nous conservons ce terme dans la formulation de la fonctionnelle.

D.1 Minimisation de la traînée

2. par l’approche du gradient par les sensibilités (§ D.1.2), 3. par l’approche du gradient par l’équation adjointe (§ D.1.3).

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D.1.1 Méthode des multiplicateurs de Lagrange ∗ ∗ ∗ 3 Cette méthode consiste à introduire des multiplicateurs de Lagrange (u,, p ξ) pour imposer chacune des contraintes du problème. On introduit alors une nouvelle fonctionnelle, dite fonctionnelle de Lagrange :

∗ ∗ ∗ L(u, p, A, St f ,u, p ,ξ) =J(u, p, A, St f ) Z Z Z Z T T ∗ ∗ −p∇ ∙udΩdt−ξ∙(u−Asin(2π St f t)t)dΓdt 0 Ω 0 Γ c Z Z   T ∂u1 ∗ −u∙+ (u∙ ∇)u+∇p−ΔudΩdt. ∂t Re 0 Ω

Le problème d’optimisation initial avec contraintes est alors remplacé par un problème d’optimisation sans contrainte que l’on peut énoncer de la manière suivante :

∗ ∗ ∗ Déterminer les variables d’état(u,p), les variables de contrôle(A, St f )et les variables adjointes(u, p ,ξ) telles que la fonctionnelle de LagrangeLprésente un extremum.

La fonctionnelle LagrangienneLadmet un extremum lorsqueLest rendue "stationnaire" par rapport à chacun de ses arguments. En effet, le calcul des variations impose alorsδL= 0, soit :

∂L∂L∂L∂L∂L∂L∂L ∗ ∗ ∗ δL=δu+δp+δA+δSt f +δu+δp+δξ= 0. ∗ ∗ ∗ ∂u∂p ∂A ∂St f ∂u∂p ∂ξ ∗ ∗ ∗ 4 5 En supposant par la suite, les variables(u, p, A, St f ,u,, p ξ)les dérivées de Fréchetindépendantes , 6∗ ∗ deLdoivent être identiquement nulles dans toutes les directions admissiblesu,p,u,p,A,St f ,i.e.quelles ∗ ∗ que soient les variationsδu, δ, δp u, δp, δA, δSt f . ⊲Annulation de la dérivée de Fréchet deLsuivant les variables adjointes

∗ On remarque immédiatement que l’annulation des dérivées de Fréchet suivant les variables adjointesu, ∗ ∗ petξredonne les équations d’état (D.1).

⊲Annulation de la dérivée de Fréchet deLsuivantu:

Z Z Z Z T T ∂L2 δu=−p∇∙δudΩdt+D(u) :D(δu)dΩdt ∂uRe 0 Ω 0 Ω Z Z Z Z T T ∗ ∗ −p∇∙δudΩdt−ξ∙δudΓdt 0 Ω 0 Γ c Z Z   T ∂δu1 ∗ −u∙+ (∇u)δu+ (∇δu)u−∇∙(∇δu)dΩdt= 0. ∂t Re 0 Ω

∗ ∗ 3. La variableupermet d’imposer l’équation de NavierStokes du système d’état, la variablepl’équation de ∗ continuité et la variableξles conditions aux limites surΓ c . Les autres conditions aux limites seront imposéesa posteriorisur chacune des solutions. 4. Ce qui est faux en toute rigueur car les variables d’état(u, p)et les variables de contrôleAetSt f sont liées par l’équation d’étatF(u, p, A, St f ) =0. 5. Par définition, la dérivée de Fréchet deLau pointx 0 dans la directionδx:est donnée par L(x 0 +εδx)− L(x 0 ) lim. ε ε−→0

6. On rappelle que cette condition n’est qu’une condition nécessaire à l’obtention d’un extremum global. Par cette approche, nous ne sommes donc pas assurés que l’extremum trouvé soit global.

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7 Afin de mettre en évidence l’équation adjointe, il reste à factoriser chaque terme intégral parδu. Pour faciliter la lecture, nous allons maintenant regrouper les termes qui vont être intégrés de la même manière.

Z Z Z Z Z Z T T T ∂L2 ∗ ∗ δu=−(p+p)∇∙δudΩdt+D(u) :D(δu)dΩdt−ξ∙δudΓdt ∂uRe 0 Ω 0 Ω 0 Γ c | {z } | {z } | {z } I II III Z Z Z Z T T ∂δu ∗ ∗ −u∙dΩdt−u∙((∇u)δu+ (∇δu)u)dΩdt ∂t 0 Ω 0 Ω | {z } | {z } IV V Z Z   T 1 ∗ +u∙∇∙(∇δu)dΩdt= 0. Re 0 Ω | {z } V I ⋄Contribution du termeI:

En appliquant la relation (D.3), on obtient :

Z Z Z Z Z Z T T T ∗ ∗ ∗ −(p+p)∇∙δudΩdt=−(p+p)δu∙ndΓdt+δu∙∇(p+p)dΩdt. 0 Ω 0 Γ 0 Ω ⋄Contribution du termeII:

En utilisant la définition du tenseur des vitesses de déformation, puis en tenant compte de la relation T T A:B=A:B(D.4)

valable pour tout couple(A,B)de tenseur d’ordre deux, et, enfin, en remarquant que le tenseurD(u)est symétrique, on trouve :

  1 T D(u) :D(δu) =D(u) :∇δu+D(u) : (∇δu) 2   1 T =D(u) :∇δu+D(u) :∇δu 2 =D(u) :∇δu. Or, pour tout tenseur du second ordreAet pour tout vecteurU, on a : T ∇∙(AU) =U∙(∇∙(A)) +A:∇U.

d’où T D(u) :D(δu) =D(u) :∇δu=∇∙(D(u)δu)−δu∙(∇∙(D(u) )). 8 Finalement, on en déduit que :

(D.5)

Z Z Z Z Z Z T T T 2 2 2 D(u) :D(δu)dΩdt= (D(u)δu)∙ndΓdt−δu∙∇∙(D(u))dΩdt Re Re Re 0 Ω 0 Γ 0 Ω Z Z Z Z T T 2 2 T =δu∙(D(u)n)dΓdt−δu∙∇∙(D(u))dΩdt. Re Re 0 Γ 0 Ω 7. Pour cela, nous allons devoir réaliser plusieurs intégrations par parties en utilisant la relation : Z Z Z f∇∙gdΩ +g∙∇f dΩ =fg∙ndΓ.(D.3) Ω Ω Γ

8. Pour tout tenseur du second ordreAet tout couple de vecteurs(U,V):, on a T V∙AU=AV∙U.

(D.6)

D.1 Minimisation de la traînée

⋄Contribution du termeIII:

Le produit scalaire étant commutatif, on obtient tout simplement :

⋄Contribution du termeIV:

Z Z Z Z T T ∗ ∗ ξ∙δudΓdt=δu∙ξdΓdt. 0 Γ c 0 Γ c

∗ ∗ ∂δu∂(u∙δu)∂u ∗ Puisqueu∙=−δu∙:, on a ∂t ∂t ∂t

Z Z Z Z Z T T ∗ ∂δu∂u ∗ ∗ t=T −u∙dΩdt=−[u∙δu]dΩ +δu∙dΩdt. t=0 ∂t ∂t 0 Ω Ω 0 Ω

⋄Contribution du termeV:

253

Pour tout couple de vecteurs(U,V), on a∇∙(U⊗V) = (∇∙V)U+ (∇U)V. Par conséquent, en considérant que∇∙u=∇∙δu= 0:, on peut en déduire

(∇u)δu+ (∇δu)u=∇∙(δu⊗u+u⊗δu). En utilisant la relation (D.5), on obtient immédiatement :

∗ ∗ ∗ u∙(∇∙(δu⊗u+u⊗δu)) =∇∙[(δu⊗u+u⊗δu)u]−(δu⊗u+u⊗δu) : (∇u). | {z } | {z } T 1 T 2 Pour simplifier le termeT 1 , on utilise la relation(X⊗Y)W= (Y∙W)X, valable pour tout triplet de vecteurs(X,Y,W). On trouve alors, d’une part, que

et, d’autre part, que

∗ ∗ (δu⊗u)u= (u∙u)δu

∗ ∗ (u⊗δu)u= (δu∙u)u ∗ = (u∙δu)u ∗ = (u⊗u)δu.

Pour simplifier le termeT 2 , on peut montrer, en développant terme à terme les deux membres de l’ex pression, que :   ∗ ∗ ∗ T (δu⊗u+u⊗δu) :∇u=δu∙∇u+ (∇u)u. Finalement, on obtient :

Z Z Z Z T T ∗ ∗ ∗ −u∙((∇u)δu+ (∇δu)u)dΩdt=−δu∙((u∙u)n+ (u⊗u)n)dΓdt 0 Ω 0 Γ Z Z T   ∗ ∗ T +δu∙∇u+ (∇u)udΩdt. 0 Ω ⋄Contribution du termeV I:

254

En utilisant à nouveau la relation (D.5) (une fois dans un sens, une fois dans l’autre) et l’expression (D.4), on trouve : ∗T∗T ∗ u∙(∇∙(∇δu)) =∇∙((∇δu)u)−(∇δu() : ∇u) T ∗ ∗ T =∇∙((∇δu)u)−(∇u) : (∇δu) T ∗ ∗ T ∗ =∇∙((∇δu)u)−∇∙((∇u)δu) +δu∙(∇∙(∇u)).

Finalement, on aboutit à :

" Z Z   Z Z Z Z T T T 1 1 ∗T ∗ ∗ u∙∇∙(∇δu)dΩdt= ((∇δu)u)∙ndΓdt−δu∙(∇u)ndΓdt Re Re 0 Ω 0 Γ 0 Γ # Z Z T ∗ +δu∙(∇∙(∇u))dΩdt . 0 Ω

Récapitulation :

9 En regroupant tous les termes évalués précédemment, il vient :

Z Z   T ∗ ∂u1 2 ∗ ∗ ∗ δu∙+ 2D(u)u+∇p+ Δu+∇p−∇∙(D(u))dΩdt ∂t Re Re 0 Ω Z Z      T 2 1 1 ∗ ∗ T∗ +δu∙D(u)−u⊗u−∇u n+ (∇δu)u∙ndΓdt Re Re Re 0 Γ Z Z Z Z Z T T ∗ ∗ ∗ ∗ T −δu∙((p+p+u∙u)n)dΓdt−δu∙ξdΓdt−[δu∙u]dΩ = 0. 0 0 Γ 0 Γ c Ω Cette égalité doit être vérifiée quelle que soit la valeur deδu. Il faut donc qu’elle le soit en particulier si on choisit : 1.δu6=0dansΩ,δu=0et(∇δu)n=0surΓ, etδu=0àt=T:. On obtient alors

∗ ∂u1 2 ∗ ∗ ∗ + 2D(u)u+∇p+ Δu=−∇p+∇∙(D(u)) ∂t Re Re

dansΩ.

2.δu6=0surΓ c ,δu=0surΓ\Γ c ,(∇δu)n=0surΓ, etδu=0àt=T:. On obtient alors

  1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ξ=−(p+p+u∙u)n−u⊗u+∇u−D(u)n Re Re

3.δu=0surΓet(∇δu)n6=0surΓ, alors :

∗ u=0

4.δu6=0surΩ. Puisqueδu=0àt= 0, on obtient :

∗ u=0

surΓ.

àt=T

surΩ.

surΓ c .

(D.7)

(D.8)

(D.9)

(D.10)

9. Il est éventuellement encore possible de transformer cette expression en faisant intervenir l’équation d’état (D.1).